ザリスキー接空間のソースを表示

[[代数幾何学]]において，'''ザリスキー接空間'''は[[代数多様体]] {{mvar|V}}（あるいはより一般の対象）上の点 {{mvar|P}} における[[接空間]]を定義する構成である．[[微分法]]は用いず，[[抽象代数学]]に直接基づいており，最も具体的な場合は単に[[線型方程式系]]の理論である．

== 定義 ==
[[局所環]] <math>(R, \mathfrak{m})</math> の'''余接空間'''は
:<math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>
と定義される．これは[[剰余体]] <math>k := R/\mathfrak{m}</math> 上の[[ベクトル空間]]である．その[[双対線型空間]]は {{mvar|R}} の'''接空間'''と呼ばれる<ref>{{harvnb|Eisenbud|1998|loc=I.2.2, pg. 26}}</ref>．

[[概型|スキーム]] {{mvar|X}} の点 {{mvar|P}} における接空間 <math>T_P(X)</math> と余接空間 <math>T_P^*(X)</math> は <math>\mathcal{O}_{X,P}</math> の（余）接空間である．[[環のスペクトル#関手として|{{math|Spec}} の関手性]]により，自然な商写像 <math>f \colon R\rightarrow R/I</math> は準同型 <math>g \colon \mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}</math> を誘導する．ただし {{math|1=''X'' = Spec(''R'')}} であり，{{mvar|P}} は {{math|1=''Y'' = Spec(''R''/''I'')}} の点である．これは <math>T_P(Y)</math> を <math>T_{f^{-1}P}(X)</math> に埋め込むのに用いられる<ref>''Smoothness and the Zariski Tangent Space'', James McKernan, [http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/10-11/Spring/18.726/lectures.html 18.726 Spring 2011] Lecture 5</ref>．体の間の射は単射だから，{{mvar|g}} から誘導される剰余体の全射は同型である．すると余接空間の間の射 {{mvar|k}} が {{mvar|g}} から誘導され，次で与えられる：

:<math>\begin{align}
\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2
 &\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I) \\
 &\cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I) \\
 &\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).
\end{align}</math>

これは全射だから，[[転置写像|転置]] <math>k^* \colon T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X)</math> は単射である．

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|接錐|en|Tangent cone}}
* {{仮リンク|ジェット (数学)|en|Jet (mathematics)}}

==参考文献==
{{reflist}}

==本==
*{{Hartshorne AG}}
*{{cite book
 | author = [[David Eisenbud]]
 |author2=Joe Harris |authorlink2=Joe Harris (mathematician) 
 | year = 1998
 | title = The Geometry of Schemes
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | isbn = 0-387-98637-5
}}

== 外部リンク ==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Zariski_tangent_space Zariski tangent space]. V.I. Danilov (originator), Encyclopedia of Mathematics. 

{{algebraic-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:さりすきいせつくうかん}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:微分環]]
[[Category:数学に関する記事]]