ザリスキ環のソースを表示

[[可換環論]]において、'''ザリスキ環''' (Zariski ring) は可換[[ネーター環|ネーター]]位相環 ''A'' であってその位相が[[ジャコブソン根基]]、すべての[[極大イデアル]]の共通部分、に含まれるイデアル ''m'' によって定義されているものである。それらは {{harvs|txt|first=Oscar|last=Zariski|year=1946|authorlink=Oscar Zariski}} によって今では幾分違うことを意味する「[[半局所環]]」(semi-local ring) の名前で導入され、{{harvtxt|Samuel|1953}} によって「ザリスキ環」(Zariski ring) と名付けられた。ザリスキ環の例はネーター[[局所環]]と、[[ネーター環]]の <math>\mathfrak a</math>-進[[完備化 (環論)|完備化]]である。

''A'' をネーター環とし <math>\widehat{A}</math> をその <math>\mathfrak a</math>-進完備化とする。このとき以下は同値である。
* <math>\widehat{A}</math> は ''A'' 上[[忠実平坦]]である（一般には、平坦でしかない）。
* すべての極大イデアルは <math>\mathfrak a</math>-進位相で閉である。
* ''A'' はザリスキ環である。

==参考文献==

* M. Atiyah, I. Macdonald ''Introduction to commutative algebra''  Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969
*{{citation|mr=0054995|last=Samuel|first= Pierre|title=Algèbre locale|series=Mémor. Sci. Math.|volume= 123|publisher= Gauthier-Villars|place= Paris|year= 1953}}
*{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=Generalized semi-local rings |mr=0022835 | year=1946 | journal=Summa Brasil. Math. | volume=1 | issue=8 | pages=169–195}}
*{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra. Vol. II | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90171-8 |mr=0389876 | year=1975}}

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