シェファー列のソースを表示

[[数学]]における'''シェファー列'''（シェファーれつ、{{Lang-en-short|Sheffer sequence}}）あるいは'''パワーロイド'''（{{lang-en-short|poweroid}}; 擬冪）は、[[多項式列]]（つまり、各添字がその多項式の次数に等しいような多項式の列）{{math| {&thinsp;''p''<sub>''n''</sub>(''x'') : ''n'' {{=}} 0, 1, 2, 3, ……&thinsp;} }}で、[[組合せ論]]における[[陰計算]]と関連する条件を満たすものを言う。{{仮リンク|イサドラ・シェファー|en|Isador M. Sheffer}}の名にちなむ。

== 定義 ==
多項式列 {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} を固定する。多項式上の線形作用素 {{mvar|Q}} を
: <math>Qp_n(x) = np_{n-1}(x)</math>
で定める（これだけで、任意の多項式に対する {{mvar|Q}} の作用が定まっていることに注意する）。この線形作用素 {{mvar|Q}} がちょうどシフト同変となっているとき、多項式列 {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} は'''シェファー列'''と呼ばれる。ここで多項式上の線形作用素 {{mvar|Q}} がシフト同変 (shift-equivariant) であるとは、
: 「{{math|''f''(''x'') {{=}} ''g''(''x'' + ''a'') {{=}} ''T''<sub>''a''</sub>''g''(''x'')}} が ''g''(''x'') の「シフト」ならば必ず {{math|(''Qf'')(''x'') {{=}} (''Qg'')(''x'' + ''a'')}} が成り立つ」
ことを言う。すなわち、{{mvar|Q}} は任意の[[シフト作用素]]と可換（{{math|''T''<sub>''a''</sub>''Q'' {{=}} ''QT''<sub>''a''</sub>}}）である。そのような {{mvar|Q}} は[[デルタ作用素]]である。

== 性質 ==
シェファー列すべてからなる集合は、以下のように定義される'''陰合成'''（umbral composition）を演算として[[群 (数学)|群]]を成す。ふたつの[[多項式列]]{{math| {&thinsp;''p''<sub>''n''</sub>(''x'') : ''n'' {{=}} 0, 1, 2, 3, ……&thinsp;}, {&thinsp;''q''<sub>''n''</sub>(x) : ''n'' {{=}} 0, 1, 2, 3, ……&thinsp;} }}が
:　<math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k,\quad q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k</math>
で与えられるとき、これらの陰合成 {{math|''p'' ∘ ''q''}} は、その第 {{mvar|n}}-項が多項式

: <math>(p_n\circ q)(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x)=\sum_{0\le k \le \ell \le n} a_{n,k}b_{k,\ell}x^\ell</math>

で与えられる多項式列のことを言う（ここで {{mvar|p{{sub|n}}}} にだけ下付き添字 {{mvar|n}} を付け、{{mvar|q}} の方には添字を付けていないのは、右辺の和において {{mvar|p{{sub|n}}}} は第 {{mvar|n}}-項の多項式の係数しか考えない一方、{{mvar|q}} の方は（一つの項だけではなくて）全ての項を考えるからである）。

この群の[[単位元|中立元]]は、標準単項式基底

:<math>e_n(x) = x^n = \sum_{k=0}^n \delta_{n,k} x^k</math>

である。この群の二つの重要な部分群として、{{仮リンク|アペル列|en|Appell sequence}}全体の成す群（これらの上で作用素 {{mvar|Q}} は単に微分となる）と、[[二項型多項式列]]全体の成す群（多項式列が二項型であるとは、等式

:<math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)p_{n-k}(y)</math>

を満たすことである）が挙げられる。

シェファー列{{math| {&thinsp;''p''<sub>''n''</sub>(''x'') : ''n'' {{=}} 0, 1, 2, ……&thinsp;} }}が二項型となるための必要十分条件は、

:<math>p_0(x) = 1,\quad p_n(0) = 0 (n \ge 1)</math>

を満足することである。

アペル列の群は[[アーベル群]]であるが、二項型列の群はそうではない。アペル列の群はシェファー列の群の[[正規部分群]]であるが、二項型列の群はそうではない。実はシェファー列の群はアペル列の群と二項型の列の群との[[半直積]]である。したがってシェファー列の群をアペル列の群で割った各[[剰余類|傍系]]は、二項型の列をちょうど一つ含む。この剰余類分解において、二つのシェファー列が同一の傍系に属するための必要十分条件は、それらの列の「デルタ作用素」（上で述べた作用素 {{mvar|Q}}）が線型作用素として一致することである（一般に、デルタ作用素は多項式上のシフト同変な線形作用素で次数を 1 減らすものをいう。その用語は F. Hildebrandt による）。

シェファー列 {{math|''s''<sub>''n''</sub>(''x'')}} とデルタ作用素を共有する唯一の二項型列 {{math|''p''<sub>''n''</sub>(''x'')}} に対し

:<math>s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)s_{n-k}(y)</math>

が成り立つ（「シェファー列」を、適当な二項型列に対してこの関係式を満たすものとして定義することもある）。特に、{{math| {&thinsp;''s''<sub>''n''</sub>(''x'')&thinsp;} }}がアペル列ならば

:<math>s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ks_{n-k}(y)</math>

と書くことができる。[[エルミート多項式]]列 {{math|{''H''{{sub|''n''}}(''x'')} }}や[[ベルヌーイ多項式]]列 {{math|{''B''{{sub|''n''}}(''x'')} }}および[[単項式]]列{{math| {&thinsp;''x<sup>n</sup>'' : ''n'' {{=}} 0, 1, 2, …&thinsp;} }}は、アペル列の例である。

シェファー列 {{math|''p''<sub>''n''</sub>}} は、次の[[母関数|指数型母関数]]によって特徴付けられる。

:<math> \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)).</math>

（ただし {{mvar|A, B}} は、{{mvar|t}} についての[[形式冪級数|（形式的）冪級数]]である）。従って、シェファー列は[[一般化アペル多項式]]の例であり、したがって付随する[[漸化式]]が存在する。

== 例 ==

シェファー列であるような多項式列の例として、以下が挙げられる。
* [[アーベル多項式]]列
* [[ベルヌーイ多項式]]列
* [[中心階乗多項式]]列<ref group="注">see also {{MathWorld| title=Central Factorial | urlname= CentralFactorial}}</ref>
* [[エルミート多項式]]列
* [[ラゲール多項式]]列
* [[マーラー多項式]]列
* [[単項式]]列 { ''x<sup>n</sup>'' : ''n'' = 0, 1, 2, ... }
* [[モット多項式]]列

== 注釈 ==
{{reflist|group="注"}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal | authorlink=ジャン・カルロ・ロタ | author=G.-C. Rota | coauthors=D. Kahaner, and [[:en:Andrew Odlyzko|A. Odlyzko]] | title=On the foundations of combinatorial theory VIII: Finite Operator Calculus | journal=Journal of Mathematical Analysis and its Applications | volume=42 | issue=3 | date=June 1973 | pages=684–750 | doi=10.1016/0022-247X(73)90172-8 }} Reprinted in the next reference.
* {{cite book | author=G.-C. Rota | title=Finite operator calculus | coauthors=P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley | publisher=Academic Press | year=1975 | isbn=0-12-596650-4 }}
* {{cite journal | author=I. M. Sheffer |authorlink=:en:Isador M. Sheffer| title=Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero | journal=[[:en:Duke Mathematical Journal|Duke Mathematical Journal]] | volume=5 | pages=590–622 | year=1939 | doi=10.1215/S0012-7094-39-00549-1 | issue=3 }}
*{{Cite book | last1=Roman | first1=Steven | title=The umbral calculus | url=https://books.google.co.jp/books?id=JpHjkhFLfpgC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=London | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-594380-2 | mr=741185 Reprinted by Dover, 2005 | year=1984 | volume=111 | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Sheffer Sequence|urlname=ShefferSequence}}

{{DEFAULTSORT:しえふああれつ}}
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]