シェルピンスキー数のソースを表示

'''シェルピンスキー数'''（シェルピンスキーすう、''Sierpinski number''）とは、全ての[[自然数]] ''n'' に対して ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> + 1 が[[合成数]]（[[素数]]ではない 2 以上の整数）となるような正の[[奇数]] ''k'' のことである。

言い換えると、''k'' がシェルピンスキー数ならば次の[[集合]]の元は全て合成数となる。
:<math>\left\{\,k \times 2^n + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}</math> 

[[1960年]]に、[[ポーランド]]の数学者[[ヴァツワフ・シェルピニスキ|ヴァツワフ・シェルピンスキ]] (Waclaw Sierpinski, [[1882年|1882]]–[[1969年|1969]]) は、全ての ''n'' について ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> + 1 が決して素数とならない正の奇数 ''k'' が無限にあることを証明した。

[[1962年]]に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、''S''<sub>''n''</sub> = 78557 &times; 2<sup>''n''</sup> + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって ''S''<sub>''n''</sub> は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば ''n'' が偶数ならば ''S''<sub>''n''</sub> は 3 で割り切れ、''n'' が 4 で割って 1 余る数ならば ''S''<sub>''n''</sub> は 5 で割り切れる。

知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。
:78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, … （{{OEIS|id=A076336}}）

== シェルピンスキーの問題 ==
78557 がシェルピンスキー数であることは証明されているが、この数が最小のシェルピンスキー数であるかどうかはまだ分かっていない。最小のシェルピンスキー数を求める問題を、''シェルピンスキーの問題''という。

=== Seventeen or Bust ===
{| class="wikitable infobox"
|+ Seventeen or Bust により発見された素数
! ''k'' !! ''n'' !! ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup>+1 の桁数 !! 発見日
|-
| 46157 || 698207 || 210,186 || 2002年11月27日
|-
| 65567 || 1013803 || 305,190 || 2002年12月3日
|-
| 44131 || 995972 || 299,823 || 2002年12月6日
|-
| 69109 || 1157446 || 348,431 || 2002年12月7日
|-
| 54767 || 1337287 || 402,569 || 2002年12月22日
|-
| 5359 || 5054502 || 1,521,561 || 2003年12月6日
|-
| 28433 || 7830457 || 2,357,207 || 2004年12月30日
|-
| 27653 || 9167433 || 2,759,677 || 2005年6月8日
|-
| 4847 || 3321063 || 999,744 || 2005年10月15日
|-
| 19249 || 13018586 || 3,918,990 || 2007年5月5日
|-
| 33661 || 7031232 || 2,116,617 || 2007年10月30日
|-
| 10223  || 31172165 || 9,383,761 || 2016年10月31日
|}
[[分散コンピューティング]]によるプロジェクト "Seventeen or Bust" では、シェルピンスキーの問題の解決を目的として、78557 より小さいシェルピンスキー数の候補に対して[[素数]]の検索を行っている。プロジェクト名の由来は、プロジェクトを開始した[[2002年]][[3月]]の時点で17個の候補があったためである。検索している全ての候補について素数が発見されたならば 78557 が最小のシェルピンスキー数ということになる。

このプロジェクトにより、2016年10月の時点で12個の素数が発見されており、2016年11月現在、素数となる数が見つかっていない ''k'' は、21181, 22699, 24737, 55459, 67607 の5個である。

2004年12月30日には、''k'' = 28433 の系列で2,357,207桁の素数 28433 &times; 2<sup>7830457</sup> + 1 が発見された。発見時には、38番目の[[メルセンヌ素数]]である 2<sup>6972593</sup> - 1（2,098,960桁）を抜いて、当時知られていた素数の中では4番目に大きなものとして記録された。2007年5月5日には、''k'' = 19249 の系列で3,918,990桁の素数 19249 &times; 2<sup>13018586</sup> + 1 が発見された。2012年6月の時点で知られている素数の中では10番目に大きい（9番目までは全てメルセンヌ素数）。

2016年10月31日には、''k'' = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 &times; 2<sup>31172165</sup> + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい（6番目までは全てメルセンヌ素数）。<ref>The Prime Pages, [http://primes.utm.edu/largest.html#biggest The Top Ten Record Primes]</ref>。

== リーゼル数 ==
'''リーゼル数''' (''Riesel number'') とは、シェルピンスキー数と似た定義の数であり、全ての自然数 ''n'' に対して ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> &minus; 1 が合成数となる正の奇数 ''k'' である。スウェーデンの数学者[[ハンス・リーゼル]]に因む。知られているリーゼル数は
:509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … ({{OEIS2C|A101036}})
と続く。509203 が最小のリーゼル数かどうかは知られていない。シェルピンスキー数に対する Seventeen or Bust と同様の取り組みとして、リーゼル数に対しては [[Riesel Sieve|Riesel Sieve Project]] が立ち上げられ、その後 [[PrimeGrid]] が作業を引き継いでいる。509203 より小さく、''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> &minus; 1 の形で素数となるものが見つかっていない ''k'' は2020年12月の時点で48個ある<ref>PrimeGrid, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=9441#145638 Message 145638]</ref><ref>PrimePages, [https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=131405 The Prime Database: 146561 *2^11280802-1]</ref>。

== ブリエ数 ==
'''ブリエ数''' (''Brier number'') とは、シェルピンスキー数でもあり、リーゼル数でもある数である。つまり、全ての自然数 ''n'' に対して ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> + 1 および ''k'' &times; 2<sup>''n''</sup> &minus; 1 が合成数となる正の奇数 ''k'' のことである。

知られているブリエ数は
3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, … ({{OEIS2C|id=A076335}})
と続く。これより小さなブリエ数があるかどうかは分かっていない。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[数学上の未解決問題]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Sierpinski Number of the Second Kind|urlname=SierpinskiNumberoftheSecondKind}}
* The Prime Golssary, [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/SierpinskiNumber.html Sierpinski number]
* [http://www.seventeenorbust.com/ Seventeen or Bust]
* PrimeGrid, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1647&nowrap=true#20691 Seventeen or Bust and the Sierpinski Problem]
* {{MathWorld|title=Riesel Number|urlname=RieselNumber}}
* The Prime Golssary, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=RieselNumber Riesel number]
* PrimeGrid, [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=1731&nowrap=true#55910 About the Riesel Problem]
* Wilfrid Keller, [http://www.prothsearch.net/rieselprob.html The Riesel Problem: Definition and Status]
* The prime puzzles & Problem connection, [http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm Problem 29.- Brier Numbers]

{{デフォルトソート:しえるひんすきいすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:ヴァツワフ・シェルピニスキ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]