シグマモデルのソースを表示

[[物理学]]では、'''シグマモデル'''(sigma model)は次の形の[[ラグランジアン (場の理論)|ラグラジアン密度]]を記述する[[系 (自然科学)|物理系]]である。

:<math>\mathcal{L}(\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n g_{ij} \; \mathrm{d}\phi_i \wedge {*\mathrm{d}\phi_j}</math>

g<sub>ij</sub> の中のスカラーに依存して、この系が線型シグマモデルか、もしくは、[[非線型シグマモデル]]かという区分けを持つ。一般に、場 φ<sub>i</sub> は、{{仮リンク|世界面|label=ワールドシート|en|worldsheet}}と呼ばれる基礎となる多様体から、内部対称性により互いに関係つけられたスカラーの対象（リーマン）多様体への[[写像]]をもたらす。（しかし、弦理論では、実際の[[時空]]であると解釈されていることがよくある。）

シグマモデルは、{{harvtxt|Gell-Mann|Lévy|1960|loc=section 5}} により導入された。名前の '''σ-model''' は、シュウィンガー(Schwinger)により早期に導入されていたスカラーが、σ(sigma) と呼ばれるスピンを持たないメソンにを表す場のモデルであることに由来している。モデルは、O(4) から O(3) への[[自発的対称性の破れ]]を重要な典型例である。対称性のやぶれた 3つの軸性生成子は、最も単純な{{仮リンク|カイラル対称性の破れ|en|chiral symmetry breaking}}(chiral symmetry breaking)の記述となっている。このときに、復活した対称性のやぶれていない O(3) はアイソスピンを表す。

基本的な例は、一次元の[[場の量子論]]である[[量子力学]]によりもたらされる。このシグマモデルは、基礎となる多様体は時間（区間、または円など）を実数の線型パラメータを持ち、対象空間は実数の直線である。

[[捩率テンソル|トーション]](torsion)項を持つ場合の議論は、さらに興味深い[[WZWモデル]]を提供する。

==参考文献==

*{{Citation
 | last1=Gell-Mann | first1=M.
 | last2=Lévy | first2=M.
 | year=1960
 | title=The axial vector current in beta decay
 | journal=[[Il Nuovo Cimento]]
 | volume=16 | pages=705–726
 | doi=10.1007/BF02859738
}}

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[[Category:場の量子論]]