シフラー点のソースを表示

[[File:Schiffler Point.svg|thumb|三角形ABCの内心(I)とシフラー点(Sp)。黒い細線が3つの三角形のオイラー線。]]

[[平面幾何学]]における[[三角形]]の'''シフラー点'''（シフラーてん・{{lang-en|Schiffler point}}）は、任意の三角形から一意的に定義できる点である<ref>{{Cite journal|author=Lev Emelyanov,Tatiana Emelyanova|year=2003|title=A Note on the Schiffler Point|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200312.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volume 3|pages=113–116}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Charles Thas|year=2004|title=On the Schiffler center|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200412.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volume 4|pages=85-95}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Antreas P. Hatzipolakis, Floor van Lamoen, Barry Wolk, Paul Yiu|year=2001|title=Concurrency of Four Euler Line|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200109.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volume 1|pages=59–68}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Khoa Lu Nguyen|year=2005|title=Onthe Complement of the Schiffler Point|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200521.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volume 5|pages=149–164}}</ref>。名称は1985年にこの点を定義した[[クルト・シフラー]]に由来する。

== 定義 ==
[[三角形]]ABCの[[三角形の内接円と傍接円|内心]]を I とする。3つの三角形 IAB,IBC,ICA の[[オイラー線]]は ABC のオイラー線上の一点で交わる。この交点をシフラー点とする。

== 証明 ==
3本のオイラー線が1点で交わることは以下のように証明できる<ref>『幾何学大辞典』補巻2 P.51</ref>。

三角形 ABC の[[三角形の内接円と傍接円|内心]]を I、[[外心]]を O、[[垂心]]を H とする。三角形 IBC の外心を O'、垂心をH' とし、O'H' が OH と交わる点を P、AH と交わる点を A' とする。ABC の[[外接円]]の半径を R とする。

O' は ABC の外接円の弧BC の中点である。よって OO'=R。BC の中点を M とすると、2MO'=IH'。IH' と AH は平行なので IH':AA'=O'I:O'A。これらを整理すると HA'=AH+BH+CH となる。

OP:PH=OO':HA' は、A,B,C の取り方によらず一定である。よって3本のオイラー線は1点で交わる。

== 座標 ==
三角形の3辺の長さを ''a'', ''b'', ''c'' としたとき、シフラー点の[[三線座標]]は以下のようになる。
:<math>\left[\frac{1}{\cos B + \cos C}, \frac{1}{\cos C + \cos A}, \frac{1}{\cos A + \cos B}\right]</math>
:<math>\left[\frac{b+c-a}{b+c}, \frac{c+a-b}{c+a}, \frac{a+b-c}{a+b}\right]</math>
[[重心座標]]では以下のとおりである。
:<math>\left[\frac{a}{\cos B + \cos C}, \frac{b}{\cos C + \cos A}, \frac{c}{\cos A + \cos B}\right]</math>
:<math>\left[\frac{a(b+c-a)}{b+c}, \frac{b(c+a-b)}{c+a}, \frac{c(a+b-c)}{a+b}\right]</math>

== 歴史 ==
Kurt Schiffler は、1985年にカナダの雑誌 ''[[Crux Mathematicorum]]'' に問題を発表した。1986年に2人のオランダの数学者 G.R.Veldkamp と W.A.van der Spek によって証明が与えられている。この証明の掲載時にこの点を「シフラー点」と命名している。

4本のオイラー線が1点に交わる条件はこの問題が発表されるより50年以上前に研究されており、[[フランク・モーリー]]と Frank Vigor Morley によって「点P が外接円上か[[ノイベルグ三次曲線]]上にある場合に4本のオイラー線が1点で交わる」と結論付けられている<ref>{{MathWorld|title=Neuberg Cubic|urlname=NeubergCubic}}</ref>。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
*{{cite journal
 | author = Schiffler, Kurt
 | name-list-style=amp
 | title = Problem 1018
 | year = 1985
 | journal = [[Crux Mathematicorum]]
 | volume = 11
 | pages = 51
 |url = https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v11n02_Feb.pdf }}
*{{cite journal
 | author1=Veldkamp, G. R.
 | author2=van der Spek, W. A.
 | name-list-style=amp
 | title = Solution to Problem 1018
 | year = 1986
 | journal = [[Crux Mathematicorum]]
 | volume = 12
 | pages = 150–152
 |url = https://cms.math.ca/crux/backfile/Crux_v12n06_Jun.pdf}}
* 岩田至康『幾何学大辞典』補巻2 ISBN 4837506119

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Schiffler Point|urlname=SchifflerPoint}}

{{DEFAULTSORT:しふらあてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]
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