シムソンの定理のソースを表示

[[画像:Pedal line illustration.svg|thumb|三角形 ''ABC'' のシムソン線]]
[[画像:Simson-deltoid-anim.gif|thumb|シムソン線（赤）は、スタイナーのデルトイド（青）に接する]]
[[幾何学]]における'''シムソンの定理'''とは、{{math2|[[三角形|△]]ABC}} の[[外接円]]上の点 {{math|P}} から三角形の各辺 {{math2|BC, CA, AB}} におろした垂線の足 {{math2|L, N, M}} がすべて同一直線上にある（[[共線関係]]にある）という定理である。この直線のことを'''シムソン線'''（'''シムソンライン'''）と呼ぶ。この定理は[[ロバート・シムソン]]から名づけられた<ref>{{Cite web |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Gibson_history_7.html |title=Gibson History 7 - Robert Simson |accessdate=2008-11-11}}</ref>。しかし、最初に[[1797年]]にこの[[概念]]を出版したのは[[ウィリアム・ウォレス (数学者)|ウィリアム・ウォレス]]<ref>{{Cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml |title=Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles |accessdate=2008-09-23}}</ref>である。

== シムソン線の性質 ==
* 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
* Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は[[九点円]]上にある。
* 三角形のABCの[[垂心]]をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの[[中点]]を通る。
* 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
* シムソン線による[[包絡線]]は[[デルトイド]]（[[内サイクロイド]]の一種）となる。このデルトイドを[[ヤコブ・シュタイナー|スタイナー]]（シュタイナー）のデルトイドという。
* 三角形の外接円上に点{{Mvar|P}}をとる。[[ポンスレの閉形定理]]よりこの三角形と、内接円と外接円を共有する三角形は無数に存在するが、これらの三角形における{{Mvar|P}}のシムソン線は、定点を通る。これをグリーンヒル-ディクソンの定理（Greenhill-Dixon theorem）という<ref>{{Cite journal|和書|last=小林|first=幹雄|date=1929|title=Simson線ニ就テ|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsmet/11/2/11_66/_article/-char/ja|journal=日本中等教育数学会雑誌|volume=11|issue=2|pages=66–71|doi=10.32296/jjsmet.11.2_66}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Kubota|first=Tadahiko|date=1928|title=Some Theorems on Poncelet's Problem in Closure, I|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/29/0/29_0_296/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=29|pages=296–299}}</ref>。[[アルフレッド・ジョージ・グリーンヒル|サー・ジョージ・グリーンヒル]]と[[アルフレッド・カーデュー・ディクソン|A. C. ディクソン]]の名を冠する<ref>{{Cite book|title=The Morden Geometry of the Triangle.|year=1910 |publisher=F. Hodgson, n.d. |url=https://ia801309.us.archive.org/21/items/cu31924001522782/cu31924001522782.pdf |author=William Gallatly}}</ref>。後述の双心多角形におけるシムソン線でも同様に成立する<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |year=1932 |publisher=[[共立出版|共立社書店]] |page= |pages=81-84 |author=窪田忠彦 |author-link=窪田忠彦 |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref>。

== 証明 ==
=== 初等幾何による証明 ===
{{hidden begin|title = 初等幾何による証明|titlestyle = text-align:center; |border = thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em}}A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。
∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.
∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。
A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから
∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。
Nは直線BA上の点だから
直線NAに対してPとMは反対側にあるから
NとAは四角形APNMの対角点となるから
∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。
B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから
直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから
直線BAに対してLとCは反対側にあるから
直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから
直線BNに対してLとPは同じ側にあるから
BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから
∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから
(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.
∠PAC+∠CBP=180度だから
∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。[[Q.E.D.]]{{hidden end}}

=== 複素数による証明 ===
{{math proof|△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。

外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数を{{mvar|a}},{{mvar|b}},{{mvar|c}},{{mvar|d}},{{mvar|e}},{{mvar|f}}とする。

{{mvar|x}} の共役複素数を <math>\bar{x}</math> とすると

A,B,C,Pは単位円上の点だから、
<math>|a|=|b|=|c|=1.</math>…(1)

PL と BC のなす角は直角だから、
<math>(d-1)(\bar{c}-\bar{b})+(\bar{d}-1)(c-b)=0.</math>…(2)

L,B,C は同一直線上にあるから、
<math>(d-b)(\bar{c}-\bar{b})-(\bar{d}-\bar{b})(c-b)=0.</math>…(3)

<math>b\bar{b}=c\bar{c}=|b|^2=|c|^2=1</math> である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、

<math>2d=b+c-bc+1.</math>

同様にして、<math>2e=c+a-ca+1, \ \ 2f=a+b-ab+1.</math>

次に <math>(e-d)(\bar{f}-\bar{d})-(\bar{e}-\bar{d})(f-d)</math> を求めると、

<math>\begin{align}4((e-d)(\bar{f}-\bar{d})-(\bar{e}-\bar{d})(f-d)) &=((\bar{a}b-\bar{ab})(|c|^2-1)+(\bar{b}c-\bar{bc})(|a|^2-1)+(\bar{ac}-\bar{ca})(|b|^2-1) \\ &\ +a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2) \\ &\ +\bar{a}(|b|^2-|c|^2)+\bar{b}(|c|^2-|a|^2)+\bar{c}(|a|^2-|b|^2)).\end{align}</math>

となり、<math>|a|=|b|=|c|=1</math> だから
<math>(e-d)(\bar{f}-\bar{d})-(\bar{e}-\bar{d})(f-d)=0</math>
となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。[[Q.E.D.]]|drop=yes|title=複素数による証明}}
== 一般化 ==
=== 一般化1 ===
[[File:A generalization of the Simson line.svg|thumb|250px|一般化1]]
{{Math|1=△''ABC''}}と、[[外心]]を通る直線{{Mvar|l}}、点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|AP,BP,CP}}と{{Mvar|l}}の交点の{{Mvar|BC,CA,AB}}における[[直交射影]]は共線である。また{{Mvar|P}}と[[垂心]]の中点もこの直線上にある。{{Mvar|P}}を{{Mvar|l}}上に置けば、{{Mvar|l}}と一致する<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/GeneralizationSimson.shtml|title=A Generalization of Simson Line|publisher=Cut-the-knot|date = April 2015|accessdate= 2024-11-04}}</ref><ref>{{citation|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20231023035726/https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf|author= Nguyen Van Linh|title= Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem|journal= [[Forum Geometricorum]]|volume= 16|year=2016|pages= 57–61|archive-date=2023-10-23}}</ref><ref name=NguyenLePhuocandNguyenChuongChi>{{Cite journal|last=Phuoc|first=Nguyen Le|last2=Chi|first2=Nguyen Chuong|date=2016-07|title=100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/10024-a-synthetic-proof-of-daos-generalisation-of-the-simson-line-theorem/9CE7AA808F87FF05E290A7ED641FE9C4|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=100|issue=548|pages=341–345|language=en|doi=10.1017/mag.2016.77|issn=0025-5572}}</ref>。
=== 一般化2 ===
[[File:A propjective Simson line.svg|thumb|right|250px|シムソン線の射影幾何学的な一般化]]
[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]{{Mvar|Γ}}と、平面上の2点{{Mvar|P,Q}}について、直線{{Mvar|PA,PB,PC}}と{{Mvar|Γ}}の第二交点をそれぞれ{{Math|''A''{{sub|1}},''B''{{sub|1}},''C''{{sub|1}}}}とする。{{Mvar|P}}と、{{Math|''QA''{{sub|1}},''QB''{{sub|1}},''QC''{{sub|1}}}}と{{Mvar|BC,CA,AB}}の交点延べ4点が共線であることと、{{Mvar|Q}}が{{Mvar|Γ}}上にあることは同値<ref>{{citation|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fulltextType=XX&fileId=S0025557215020549|first= Geoff|last= Smith|year=2015|title= 99.20 A projective Simson line|journal= The Mathematical Gazette|volume= 99|issue=545|pages=339–341|doi= 10.1017/mag.2015.47|s2cid= 124965348}}</ref>。
===一般化3 ===
三角形のシムソン線から出発して、帰納的に任意の[[円内接多角形]]におけるシムソン線を定義することができる<ref>{{Cite journal|last=Steggall|date=1895-02|title=On the envelope of the Simson line of a polygon|url=https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/on-the-envelope-of-the-simson-line-of-a-polygon/7859995AE155003BAC17C84A12131406|journal=[[Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society]]|volume=14|pages=122–126|language=en|doi=10.1017/S0013091500031874|issn=1464-3839}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Loong|first=Chi-Ho|date=1940|title=Further Generalizations of Simson Line, Kantor Plint and Kantor Line|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/46/0/46_0_173/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=46|pages=173–180}}</ref><ref>{{Cite book |title=The Educational Times and Journal of the College of Preceptors |url=https://archive.org/details/educationaltimes51educ/mode/2up |publisher=Francis Hodgson, London |date=1898 |others=The UCL Institute of Education |last=The Educational Times and Journal of the College of Preceptors}}</ref>。これは大抵[[E. M. ラングレー]]に帰される。特に[[円に内接する四角形]]に拡張したものはよく知られる<ref>{{Cite journal|last=Cyster|first=R. F.|date=1941|title=1507. The Simson Lines of a Cyclic Quadrilateral|url=https://www.jstor.org/stable/3606490|journal=The Mathematical Gazette|volume=25|issue=263|pages=56–58|doi=10.2307/3606490|issn=0025-5572}}</ref>。

:円に内接する{{Mvar|n}}角形とその外接円上の点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|n}}角形の頂点のうち、{{Math|''n'' - 1}}個からなる多角形における{{Mvar|P}}のシムソン線延べ{{Mvar|n}}本に、{{Mvar|P}}から降ろした垂線の足はすべて共線である。これを{{Mvar|n}}角形におけるシムソン線と定義できる。
=== 一般化4 ===
円錐曲線{{Math|Γ}}上に7点{{Mvar|A, B, C, A', B, C', I}}を、{{Math|△''ABC'', △''A'B'C' ''}}が{{Mvar|S}}を中心に[[配景]]となるように配置する。このとき{{Mvar|IA'}}と{{Mvar|BC}}、{{Mvar|IB'}}と{{Mvar|CA}}、{{Mvar|IC'}}と{{Mvar|AB}}のそれぞれの交点と{{Mvar|S}}は共線である<ref>{{Cite journal|和書|journal=日本中等教育数学会雑誌|year=1934|title=しむそん線ノ射影幾何學並ニ擬眞幾何學ヘノ擴張 I．|volume=16|issue=6|pages=361-379|last=平野|first=幸太郎|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsmet/16/6/16_361/_article/-char/ja|doi=10.32296/jjsmet.16.6_361}}</ref><ref>{{Cite journal|journal=[[Nouvelles annales de mathématiques]]|year=|title=Sur une généralisation du théorème de Pascal donnant neuf points en ligne droite|volume=8|issue=3|pages=529-535.|last=Aubert|first=|url=http://www.numdam.org/item/NAM_1889_3_8__529_1/}}</ref>。{{Mvar|S}}を無限遠に置き、{{Mvar|Γ}}を円とすれば、任意角に一般化されたシムソン線を得る。

他にも多くの拡張が知られる<ref>{{Cite journal|last=Ogino|first=Shusaku|date=1937|title=On the Extension of Simson's Theorem|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_304/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=43|pages=304–309}}</ref><ref>F. G.-M., Exercise de Géométrie, Éditions Jacques Gabay, 1991</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=清宮俊雄|authorlink=清宮俊雄|date=1988-03|title=幾何学　発見的研究法|edition=改訂版|publisher=[[科学新興新社]]|isbn=978-4-89428-188-2|url=http://foruma.co.jp/sankousyo/sankousyo2679|ref={{Harvid|清宮|1988}}}}
*{{Cite book|和書|author=清宮俊雄|origdate=1972-05|date=2002-08|title=初等幾何学|series=基礎数学選書 7|publisher=[[裳華房]]|chapter=4.7|isbn=978-4-7853-1107-0|url=https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1107-0.htm|ref={{Harvid|清宮|2002}}}} - [[2002年]]に[[オンデマンド印刷]]で復刊。
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|date=1996-12|title=近世数学史談・数学雑談|edition=復刻版|publisher=共立出版|pages=90-93|isbn=978-4-320-01551-7|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015517|ref={{Harvid|高木|1996}}}}
* {{Cite journal|和書|last=中居|first=重四郎|date=1930|title=擴張セルしむそん線ニ就テ|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsmet/12/6/12_389/_article/-char/ja|journal=日本中等教育数学会雑誌|volume=12|issue=6|pages=389–392|doi=10.32296/jjsmet.12.6_389}}
*{{Cite journal|和書|last=下田|first=虎美|date=1941|title=垂心トしむそん線|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjsmet/23/5/23_183/_article/-char/ja|journal=日本中等教育数学会雑誌|volume=23|issue=5|pages=183–190|doi=10.32296/jjsmet.23.5_183}}
*{{Cite journal|last=Takamatsu|first=Shûzô|date=1937|title=On the Deltoid and Simson Line|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_338/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=43|pages=338–350}}
*{{Cite journal|last=Takamatsu|first=Shûzô|last2=Ogino|first2=Shûsaku|date=1937|title=On Some Cubics connected with Simson Lines|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/43/0/43_0_99/_article/-char/ja|journal=Tohoku Mathematical Journal, First Series|volume=43|pages=99–103}}
== 関連項目 ==
*[[垂足三角形]]
*[[直極点]]

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Simson line|シムソンの定理}}
*{{高校数学の美しい物語|864|シムソンの定理とその２通りの証明}}
*{{PDFlink|[http://sintakenoko.la.coocan.jp/Cabri/CSimson.pdf シムソンの定理]}}
*{{MathWorld |urlname=SimsonLine |title=Simson Line |author=[[:en:Frank Jackson|Jackson, Frank]] and [[:en:Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]]}}
*[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml Simson Line: What is it?] - Cut The Knot
*[https://artofproblemsolving.com/community/c6h560673p3264204 A Generalization Simson's line,carnot theorem, Collings-Carn]- AoPS

{{DEFAULTSORT:しむそんのていり}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学のエポニム]]