シャウダーの不動点定理のソースを表示

[[数学]]において'''シャウダーの不動点定理'''（シャウダーのふどうてんていり、{{Lang-en-short|Schauder fixed point theorem}}）は、[[ブラウワーの不動点定理]]を無限次元であることもある[[線型位相空間]]に拡張したものである。<math>K</math> を、[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]線型位相空間 <math>V</math> の[[凸集合|凸部分集合]]とし、<math>T</math> を <math>K</math> からそれ自身への連続写像で <math>T(K)</math> が <math>K</math> の[[コンパクト空間|コンパクト部分集合]]であるようなものとする。このとき、<math>T</math> は[[不動点]]を持つというのが定理の主張である。

その結果として得られる'''シェファーの不動点定理'''（Schaefer's fixed point theorem）と呼ばれるものは、{{仮リンク|非線型微分方程式|en|Nonlinear differential equation|label=非線形}}[[偏微分方程式]]の解の存在を示す上で特に有用となる。シェファーの定理は実際、{{仮リンク|ユリウス・シャウダー|en|Juliusz Schauder}}と[[ジャン・ルレイ]]によって発見されていたルレイ＝シャウダーの定理の特別な場合である。その内容は次のようなものである：

<math>T</math> をバナッハ空間 <math>X</math> からそれ自身への連続かつコンパクトな写像で、集合

: <math>
\{ x \in X : x = \lambda T x \quad (0 \leq {}^\exists\lambda \leq 1) \}
</math>

が有界となるようなものとする。このとき <math>T</math> は不動点を持つ。

== 歴史 ==

この定理は、ユリウス・シャウダーによって1930年、バナッハ空間のような特別な場合に対して証明が与えられていた。一般の場合に対する彼の予想は、[[:en:Scottish Café|Scottish book]] において発表されていた。1934年、{{仮リンク|アンドレイ・チコノフ|en|Andrey Nikolayevich Tychonoff}}は、この定理を ''K'' が[[局所凸位相ベクトル空間]]のコンパクト凸部分集合である場合に証明した。この場合の定理は、'''シャウダー＝チコノフの不動点定理'''（Schauder-Tychonoff fixed point theorem）としても知られている。B. V. Singbal は、この定理をより一般に ''K'' がコンパクトでない場合も含めて証明した。その証明は、Bonsall の本（参考文献を参照）の補遺に示されている。局所凸性も仮定しない完全な結果は、Robert Cauty によって2001年に証明された。

== 関連項目 ==
* [[不動点定理]]
* [[バナッハの不動点定理]]
* [[角谷の不動点定理]]

== 参考文献 ==
*J. Schauder, ''Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen'', Studia Math. 2 (1930), 171–180
*A. Tychonoff, ''Ein Fixpunktsatz'', Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
*F. F. Bonsall, ''Lectures on some fixed point theorems of functional analysis'', Bombay 1962
*Robert Cauty, ''Solution du problème de point fixe de Schauder'', Fund. Math. 170 (2001), 231-246
*D. Gilbarg, [[:en:Neil Trudinger|N. Trudinger]], ''Elliptic Partial Differential Equations of Second Order''. ISBN 3-540-41160-7.
* E. Zeidler, ''Nonlinear Functional Analysis and its Applications, ''I'' - Fixed-Point Theorems''

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Schauder theorem|urlname=Schauder_theorem}}
* {{planetmath reference|title=Schauder fixed point theorem|id=4455}} with attached proof (for the Banach space case).

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しやうたあのふとうてんていり}}
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[[Category:不動点定理]]
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[[Category:数学のエポニム]]