シャッテンノルムのソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年8月}}
[[数学]]の、特に[[関数解析学]]の分野における'''シャッテンノルム'''（{{Lang-en-short|Schatten norm}}）あるいは'''シャッテン＝フォン・ノイマンノルム'''とは、[[トレースクラス|トレースクラスノルム]]や[[ヒルベルト＝シュミット作用素|ヒルベルト＝シュミットノルム]]と同様に、''p''-可積分性の一般化として考え出された[[ノルム]]である。{{仮リンク|ロバート・シャッテン|en|Robert Schatten}}の名にちなむ。

== 定義 ==
<math>H_1</math> と <math>H_2</math> を可分なヒルベルト空間とし、<math>T</math> を <math>H_1</math> から <math>H_2</math> への（線型）[[コンパクト作用素]]とする。<math>p\in [1,\infty)</math> に対して、作用素 <math>T</math> のシャッテン p-ノルムは次のように定義される：

: <math> \|T\| _{p} := \bigg( \sum _{n\ge 1} s^p_n(T)\bigg)^{1/p}. </math>

ここで、<math> s_1(T) \ge s_2(T) \ge \dotsb \ge s_n(T) \ge \dotsb \ge 0</math> は <math>T</math> の[[特異値]]、すなわち、コンパクトエルミート作用素 <math>|T|:=\sqrt{(T^*T)}</math> の固有値であるとする。正作用素 ''T*T'' に関する[[汎函数計算]]により、次式が従う：

: <math> \|T\| _{p}^p = \operatorname{tr} (|T|^p) </math>

シャッテンノルムが有限であるような作用素は'''シャッテンクラス作用素'''と呼ばれ、そのような作用素からなる空間は <math> S_p(H_1,H_2)</math> と表される。シャッテンノルムについて、空間 <math> S_p(H_1,H_2)</math> は[[バナッハ空間]]であり、''p=2'' の場合は[[ヒルベルト＝シュミット作用素]]からなる[[ヒルベルト空間]]である。

== 性質 ==

シャッテンノルムはユニタリ不変である。すなわち、ユニタリ作用素 <math> U </math> と <math> V </math> に対して、

: <math> \|U T V\| _{p} = \|T\| _{p} </math>

が成り立つ。

{{仮リンク|極分解|en|polar decomposition}}により、''p''-次シャッテンクラス作用素の空間は ''B(H)'' 内のイデアルであることが証明される。<math>\|\ \| _{2} </math> はヒルベルト＝シュミットノルム（[[ヒルベルト＝シュミット作用素]]を参照）であり，また <math>\|\ \| _{1} </math> はトレースクラスノルム（[[トレースクラス]]を参照）であることに注意されたい。

=== 双対性 ===

''p'', ''q'' を共役指数 (1/''p'' + 1/''q'' = 1) の対，''S'' &isin; ''S''<sub>''p''</sub>，''T'' &isin; ''S''<sub>''q''</sub>とするとき，対応するシャッテンノルムは次の形式の[[ヘルダーの不等式]]を満たす：

: <math> \| S T\| _{S_1} \leq \| S\| _{S_p} \| T\| _{S_q}. </math>

''H'' 上の[[コンパクト作用素]]からなる、[[作用素ノルム]]についてのバナッハ空間を <math> S_\infty</math> とすれば、上の形式のヘルダーの不等式は <math> p \in [1,\infty] </math> に対しても成立することが分かる。このことから、<math> \phi : S_p \rightarrow S_q '</math>,  <math> T \mapsto \mathrm{tr}(T\cdot ) </math> は [[well-defined]] な[[縮小写像]]であることが従う（ここで、プライム記号 ' は（位相空間論的な）[[双対]]を表す）。

== 関連項目 ==
* [[行列ノルム]]


{{DEFAULTSORT:しやつてんのるむ}}
[[Category:作用素論]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]