シュタイナー楕円のソースを表示

[[File:Steiner ellipse.svg|300px|thumb|right|[[三角形]]のシュタイナー楕円。三角形の内部の線は[[中線]]であり、交点である重心はこの楕円の中心である。]]
[[File:Steiner-inellipse-1.svg|230px|right|thumb|
{{legend-line|solid #333333|任意の三角形 {{math|△''ABC''}}}}
{{legend-line|solid blue|シュタイナーの内接楕円}}
{{legend-line|solid red|シュタイナーの（外接）楕円}}
{{legend-line|dashed #e053bb 2px|長軸および短軸}}]]
[[幾何学]]における[[三角形]]の'''シュタイナー楕円'''（シュタイナーだえん）は、三角形の3[[頂点]]を通り[[重心]]を中心とする[[楕円]]である<ref name=Weisstein>{{MathWorld|title=Steiner Circumellipse|urlname=SteinerCircumellipse}}</ref>。名前は[[ヤコブ・シュタイナー]]に由来する。[[シュタイナーの内接楕円]]との比較から、シュタイナーの'''外接'''楕円と呼ばれることもある。

シュタイナー楕円の面積は元の三角形の <math>\frac{4 \pi}{3\sqrt{3}}</math>倍であり、シュタイナーの内接楕円の4倍である。三角形に外接する楕円（[[外接円]]を含む）のうち、最も面積が小さい<ref name=Weisstein/>。

以下の解説で特に説明がない場合、 ''a, b, c'' は三角形の3辺の長さを表す。

== 三角形上の座標による表記 ==
シュタイナー楕円の[[三角形の中心#三線座標と重心座標|三線座標]]による表記は、以下の式で表される<ref name=Weisstein/>。
:<math>bcyz+cazx+abxy=0</math>

重心座標の場合は以下の式になる。
:<math>yz+zx+xy=0</math>

== 軸と焦点 ==
長軸と短軸の長さは以下の式で表される<ref name=Weisstein/>。
:<math>\frac{1}{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},</math>
焦点間の長さは以下になる。
:<math>\frac{2}{3}\sqrt{Z}</math>
ただし、Ｚ は以下の式で表される値である。
:<math>Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.</math>

2つの焦点は '''Bickart points''' と呼ばれ、[[クラーク・キンバリング]]のBICENTRIC PAIRS OF POINTSではP(116),U(116)として登録されている<ref>{{Cite web |title=BICENTRIC PAIRS |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html#P116 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-24}}</ref>。その[[重心座標]]は以下の式で表される。すなわち、
:<math>V=2a^2b^2c^2Z^3, W = b^6c^6 + c^6a^6 + a^6b^6 - 3a^4b^4c^4 - (b^4c^4 + c^4a^4 + a^4b^4)Z^2,</math>
:<math>f(a,b,c)=2(b^2 - c^2)(a^4 - b^2c^2 - a^2Z) +\sqrt{V - W}</math>
として、
:<math>f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\; , \; f(a,c,b):f(b,a,c):f(c,b,a)</math>

== その他 ==
* [[外接円]]とは4点で交わる。このうち3点は頂点である。残りの1点は[[シュタイナー点]]である。
* [[接円錐曲線|外接円錐曲線]]の一つである。
* シュタイナー内接楕円とは重心を共有するとともに[[図形の相似|相似]]の関係にあり、相似比は 2:1 であるとともに、両楕円の長軸および短軸はそれぞれ同一直線上に在る。したがって両楕円の焦点もまた同一直線上に在り、[[離心率]]は等しく、面積比は 4:1 である。

== 出典 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:しゆたいなあたえん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:ヤコブ・シュタイナー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]