シュニレルマン密度のソースを表示

{{要改訳}}
{{仮リンク|加法的整数論|en|additive number theory}}(additive number theory)では、'''シュニレルマン密度''' (''Schnirelmann density'') は、整数列の密度の概念の一種である。これは、後に{{仮リンク|ユーリ・リンニク|label=リンニク|en|Yuri Linnik}}(Yuri Linnik)や{{仮リンク|イワン・マッツベーエビッチ・ヴィノグラードフ|label=ヴィノグラドフ|en|Ivan Matveyevich Vinogradov}}(Ivan Matveyevich Vinogradov)の仕事に重要なアイデアをもたらした。この概念を定義・研究した数学者[[レフ・ゲンリホーヴィッチ・シュニレルマン|L.G.シュニレルマン]](L.G.Schnirelmann)に因む。<ref name=Schnirelmann1>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]" が最小に出版されたのは、"Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, であり、"Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25 で再出版された。</ref><ref name=Schnirelmann2>Schnirelmann, L.G. (1933). 最初に"Mathematische Annalen" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690 で"[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" として出版され、"[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46 として再出版された。</ref>
<!---In [[additive number theory]], the '''Schnirelmann density''' of a [[sequence]] of numbers is a way to measure how "dense" the sequence is. It gaves the basic idea to the works of [[Yuri Linnik|Linnik]] and [[Ivan Matveyevich Vinogradov|Vinogladov]]. It is named after [[Russia]]n [[mathematician]] [[L.G. Schnirelmann]], who was the first to study it.<ref name=Schnirelmann1>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref name=Schnirelmann2>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "Mathematische Annalen" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref>-->

==定義==
A を自然数からなる集合とし、 <math>A(n)</math> を A の元のうち 1 以上 n 以下のものの個数とする。このとき、実数

<div style="text-align: center;">
<math>\sigma A := \inf_{n} \frac{A(n)}{n}</math>
</div>

が必ず定義され、これを A のシュニレルマン密度という。inf は「全ての部分列の中の最も小さな下界を採用する」ことを意味する。<ref>"Infimum"の略であり、整数列 2, 3, 4,… の inf は、2 である。1 は下界ではあるが、inf {2, 3, 4,…} ではない。</ref><ref name=N961912>Nathanson (1996) pp.191–192</ref>
<!---==Definition==
The '''Schnirelmann density''' of a set of [[natural number]]s ''A'' is defined as
:<math>\sigma A = \inf_n \frac{A(n)}{n},</math>
where ''A''(''n'') denotes the number of elements of ''A'' not exceeding ''n'' and inf is [[infimum]].<ref name=N961912>Nathanson (1996) pp.191–192</ref> 

The Schnirelmann density is well-defined even if the limit of ''A''(''n'')/''n'' as {{nowrap|''n'' → ∞}} fails to exist (see [[asymptotic density]]).-->

===例===

* 自然数全体の集合のシュニレルマン密度は 1 である。
* [[奇数]]全体の集合のシュニレルマン密度は 1/2 である。
* [[偶数]]全体の集合 E のシュニレルマン密度は 0 である (A(1)=0 であるため)。
* 1 と偶数全体からなる集合のシュニレルマン密度は 1/2 である。
* 1 と[[素数]]からなる集合のシュニレルマン密度は 0 である。
* 1 と2つの素数の和で表される整数からなる集合のシュニレルマン密度は 正 である（後述）。

===性質===

次の性質は定義から明らかである。

* <math>0 \le \sigma A \le 1.</math>
* すべての n に対して <math>A(n)\ge n \sigma A.</math>
* <math>\sigma{A} = 1\quad</math> ならば <math>A = \mathbb{N}.\quad</math>
* <math>k \notin A</math> ならば <math>\sigma A \le 1-1/k</math>.
: 特に、 A が 1 を含まなければ、 <math>\sigma A = 0</math> である。また、 A が 2 を含まなければ、 <math>\sigma A \le 1/2</math> である。
* <math>\sigma A=0</math> ならば、任意の正の &epsilon; に対して、 <math> A(n) < \epsilon n</math> となる n が存在する。
* A が 1 を含んでおり、正の下極限密度を持つとき、 <math>\sigma A>0</math> である。

:※追記 ： 定義より全ての n に対して、0 ≤ A(n) ≤ n であり nσA ≤ A(n) であるから、0 ≤ σA ≤ 1 かつ σA = 1 であることは A = '''N''' であることと同値である。さらに、
:: <math>\sigma A=0 \Rightarrow \forall \epsilon>0\ \exists n\ A(n) < \epsilon n.</math>
:シュニレルマン密度は集合の最初の値に対して敏感である．
:: <math>\forall k \ k \notin A \Rightarrow \sigma A \le 1-1/k</math>.
:特に、
::<math>1 \notin A \Rightarrow \sigma A = 0</math> かつ <math>2 \notin A \Rightarrow \sigma A \le \frac{1}{2}</math>　である。
:結局、偶数と奇数のシュニレルマン密度はそれぞれ、0 と 1/2 である。シュニレルマンとリンニクは、以下に見るように、この敏感さを利用した。（シュニレルマン密度は A の小さな部分に強く依存する。しかし、比較的容易に加法的整数論に関する定理を得ることができるため、シュニレルマンによって早くから研究がなされた。）

<!---==Properties==
By definition, {{nowrap|0 &le; ''A''(''n'') &le; n}} and {{nowrap|''n'' σ''A'' &le; ''A''(''n'')}} for all ''n'', and therefore {{nowrap|0 &le; σ''A'' &le; 1}}, and {{nowrap|σ''A'' {{=}} 1}} if and only if {{nowrap|''A'' {{=}} '''N'''}}. Furthermore,
: <math>\sigma A=0 \Rightarrow \forall \epsilon>0\ \exists n\ A(n) < \epsilon n.</math>

===Sensitivity===
The Schnirelmann density is sensitive to the first values of a set:
: <math>\forall k \ k \notin A \Rightarrow \sigma A \le 1-1/k</math>.
In particular,
:<math>1 \notin A \Rightarrow \sigma A = 0</math>
and
:<math>2 \notin A \Rightarrow \sigma A \le \frac{1}{2}.</math>
Consequently, the Schnirelmann densities of the even numbers and the odd numbers, which one might expect to agree, are 0 and 1/2 respectively. Schnirelmann and [[Yuri Linnik]] exploited this sensitivity as we shall see.-->

==シュニレルマンの定理==

以下、 <math>a+b (a\in A, b\in B)</math> と表されるもの全体の集合を <math>A + B</math> と記す。また、<math>a_1+a_2+\ldots+a_n (a_i\in A)</math> と表されるもの全体の集合を nA と記す。 nA が自然数全体の集合と一致する最小の n に対して A を位数 n の'''加法的な基'''(additive basis)もしくは単に基であるという。たとえば[[四平方定理]]より 0 と平方数からなる集合は位数 4 の基である。
どのような整数列が基であるか、また基であるときにその位数がいくつかを知ることが加法的整数論の中心的な課題である。

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''定理'''　''A'' と ''B'' を自然数の集合で、共に 0 を含むものとする。 <math>C=A+B</math> とすると、

<div style="text-align: center;">
<math>\sigma C \geq \sigma A + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B</math>
</div>

が成り立つ。
</blockquote>

このことは次のようにして分かる。<math>0<a_1<a_2< \ldots </math> を A の元全体とする。 <math>\sigma A=0</math> ならば 上の不等式の右辺は <math>\sigma B</math> に等しいから  <math>\sigma A>0</math> （よって <math> a_1=1</math> である）の場合を考える。
<math>b\in B</math> かつ <math>1\leq b\leq a_{i+1}-a_i-1 </math> ならば、 <math>a_i+b</math> は C の元であるが A の元ではない。 B が 0 を含んでいることより C は A の元を含んでいるから、 <math>r=A(x)</math> とおくと、

<div style="text-align: center;">
<math>C(x)\ge r+\sum_{i=1}^{r-1} B(a_{i+1}-a_i-1)+B(x-a_r),</math>
</div>
ここで <math>\sigma B\leq B(x)/x</math> が常に成り立つことから
<div style="text-align: center;">
<math>C(x)\ge r+\sigma B (x-a_r+\sum_{i=1}^{r-1} (a_{i+1}-a_i-1))\ge x\sigma B + r(1-\sigma B)</math>
</div>
となる。 <math>r=A(x)\ge x\sigma A</math> が常に成り立つから、
<div style="text-align: center;">
<math>C(x)\ge x\sigma B + x\sigma A (1-\sigma B)=x(\sigma A+\sigma B-\sigma A \cdot \sigma B)</math>
</div>
である。これより定理が示された。


この定理を変形すると
<div style="text-align: center;">
<math>(1-\sigma (A+B)) \leq (1-\sigma A)(1-\sigma B)</math>
</div>
となる。これを帰納的に適用して、
<div style="text-align: center;">
<math>1-\sigma (A_1+A_2+\ldots A_n) \leq \prod_i(1-\sigma A_i)</math>
</div>
を得る。<ref>この最後の式は、左辺の i をインデックスとして、1 を移行し書き換えると、
<div style="text-align: center;">
<math>\sigma(\bigoplus_i A_i) \ge 1 - \prod_{i}(1 - \sigma A_i).</math>
</div>
となる。</ref>
<!---==Schnirelmann's theorems==
If we set <math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math>, then [[Lagrange's four-square theorem]] can be restated as <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1</math>. (Here the symbol <math>A\oplus B</math> denotes the [[sumset]] of <math>A\cup\{0\}</math> and <math>B\cup\{0\}</math>.) It is clear that <math> \sigma \mathfrak{G}^2 = 0</math>. In fact, we still have <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0</math>, and one might ask at what point the sumset attains Schnirelmann density 1 and how does it increase. It actually is the case that <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6</math> and one sees that sumsetting <math>\mathfrak{G}^2</math> once again yields a more populous set, namely all of <math>\N</math>. Schnirelmann further succeeded in developing these ideas into the following theorems, aiming towards Additive Number Theory, and proving them to be a novel resource (if not greatly powerful) to attack important problems, such as [[#Waring's problem|Waring's problem]] and [[#Goldbach's conjecture|Goldbach's conjecture]].

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Theorem.''' Let <math>A</math> and <math>B</math> be subsets of <math>\N</math>. Then

<center>
<math>\sigma(A \oplus B) \ge \sigma A + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B.</math>
</center>
</blockquote>

Note that <math>\sigma A + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B = 1 - (1 - \sigma A)(1 - \sigma B)</math>. Inductively, we have the following generalization.

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Corollary.''' Let <math>A_i \subseteq \N</math> be a finite family of subsets of <math>\N</math>. Then

<center>
<math>\sigma(\bigoplus_i A_i) \ge 1 - \prod_{i}(1 - \sigma A_i).</math>
</center>
</blockquote>-->

===定理の意味と加法的な基===
シュニレルマンの定理は、和集合がどのように蓄積されるかについて、最初の見方を与えている。この結論は、一見、<math>\sigma</math> が[[優加法性]](superadditive)を持っていることが、不幸に見えるが、シュニレルマンは次のような結果を示し、彼の目指した目的へほぼ到達した。

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''定理.''' <math>A</math> と <math>B</math> を自然数 <math>\N</math> の部分集合とする。<math>\sigma A + \sigma B \ge 1</math> であれば、

<div style="text-align: center;">
<math>A \oplus B = \N.</math>
</div>
となる。言い換えると、<math>\sigma A+\sigma B>1</math> かつ A が 0 を含んでいるならば A + B はすべての整数を含んでいる。</blockquote>

実際、 <math>n\notin A+B</math> ならば、 n および <math>n-a_i</math> の形の数は B に含まれないから、 <math>B(n)\leq n-1-A(n-1)\leq n-A(n)</math>となり、よって <math>\sigma A+\sigma B\leq (A(n)+B(n))/n\leq 1</math>となる。

上記の二つの定理から、A が 0 を含んでおり、正のシュニレルマン密度を持つならば、ある自然数 n に対して <math> \sigma (n-1)A >1/2</math> となり、よって <math>2(n-1)A</math> はすべての整数を含んでいることがわかる。つまり

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''定理.''' ('''シュニレルマン''') <math>A \subseteq \N</math> とする。<math>\sigma A > 0</math> であれば、<div style="text-align: center;">
<math>\bigoplus^k_{i=1} A=\N.</math>
</div>
となるような <math>k</math> が存在する。
</blockquote>

有限和 <math>A \oplus A \oplus \cdots \oplus A = \N</math> という性質を持つ部分集合 <math>A \subseteq \N</math> を'''加法的な基'''(additive basis)といい、そのようにとることが可能な最小の和の数を基の'''次数'''(degree)という。このようにすると上記の定理は、任意の正のシュニレルマン密度を持つ集合は、加法的な基であるということになる。<ref>加法的な基についての未解決問題に、{{仮リンク|加法的な基についてのエルデシュ・トゥラン予想|en|Erdős–Turán conjecture on additive bases}}(Erdős–Turán conjecture on additive bases)がある。</ref>この用語を使うと、平方数の集合 <math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math> の加法的な基の次数は 4 であることになる。全ての平方数の集合を <math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math> とすると、[[四平方定理|ラグランジュの四平方定理]]は <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1</math> と書きなおすことができる。（ここに、記号 <math>A\oplus B</math> は、<math>A\cup\{0\}</math> と <math>B\cup\{0\}</math> との [[sumset]] とする。）<math> \sigma \mathfrak{G}^2 = 0</math> であることは明らかである。事実、依然として、<math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0</math> であり、どの点がシュニレルマン密度を 1 とし、どのように密度を増加させるのかを問うかもしれない。実際は、3つの和の場合は、<math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6</math> であり、<math>\mathfrak{G}^2</math> の sumset を取ることをすると、より大きな集合、すなわち、全ての自然数の集合 <math>\N</math> となる。シュニレルマンは、さらにこれらの考え方を進め、上記の定理とし、加法的整数論の研究を進め、（たとえ巨大な威力を発揮しなかったとしても）多くの貴重な結果を証明し、[[#ウェアリングの問題|ウェアリングの問題]]や[[ゴルドバッハの予想]]のような重要な問題を解明しようとした。
<!---If we set <math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math>, then [[Lagrange's four-square theorem]] can be restated as <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1</math>. (Here the symbol <math>A\oplus B</math> denotes the [[sumset]] of <math>A\cup\{0\}</math> and <math>B\cup\{0\}</math>.) It is clear that <math> \sigma \mathfrak{G}^2 = 0</math>. In fact, we still have <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0</math>, and one might ask at what point the sumset attains Schnirelmann density 1 and how does it increase. It actually is the case that <math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6</math> and one sees that sumsetting <math>\mathfrak{G}^2</math> once again yields a more populous set, namely all of <math>\N</math>. Schnirelmann further succeeded in developing these ideas into the following theorems, aiming towards Additive Number Theory, and proving them to be a novel resource (if not greatly powerful) to attack important problems, such as [[#Waring's problem|Waring's problem]] and [[Goldbach's conjecture]].-->
<!---A subset <math>A \subseteq \N</math> with the property that <math>A \oplus A \oplus \cdots \oplus A = \N</math> for a finite sum, is called an '''additive basis''', and the least number of summands required is called the ''degree'' (sometimes ''order'') of the basis. Thus, the last theorem states that any set with positive Schnirelmann density is an additive basis. In this terminology, the set of squares <math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math> is an additive basis of degree 4. (About an open problem for additive bases, see [[Erdős–Turán conjecture on additive bases]].)-->

== マンの定理 ==
歴史的には、シュニレルマンの定理より強い予想は、それ以前の一時期より[[エドムンド・ランダウ]](Edmund Landau)によって「アルファ+ベータ予想」として使われていた。1942年、{{仮リンク|ヘンリー・マン|en|Henry Mann}}によりこの予想は証明され、マンの定理として定式化された。
<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''定理.''' {{harv|Mann|1942}} <math>A</math> と <math>B</math> を <math>\N</math> の部分集合とする。<math>A \oplus B \ne \N</math> の場合、
<div style="text-align: center;">
<math>\sigma(A \oplus B) \ge \sigma A + \sigma B</math>
</div>
が成り立つ。
</blockquote>
つまり、A が 0 を含んでおり、また σA ≥ 1/n ならば、A は次数が高々 n の基となっていることが分かる。

マンの証明の直後、[[エミル・アルティン]](Emil Artin)と P. Scherk はマンの定理の証明を簡素化した<ref>E. Artin and P. Scherk (1943) On the sums of two sets of integers, Ann. of Math 44, page=138-142.</ref>。この定理の低い漸近密度での類似は、クネーザー(Kneser)により得られた。<ref>Nathanson (1990) p.397</ref>
<!---==Mann's theorem==
Historically the theorems above were pointers to the following result, at one time known as the <math>\alpha + \beta</math> hypothesis. It was used by [[Edmund Landau]] and was finally proved by [[Henry Mann]] in 1942.

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Theorem.''' {{harv|Mann|1942}} Let <math>A</math> and <math>B</math> be subsets of <math>\N</math>. In case that <math>A \oplus B \ne \N</math>, we still have

<center>
<math>\sigma(A \oplus B) \ge \sigma A + \sigma B.</math>
</center>
</blockquote>

At a later date, [[Emil Artin|E. Artin]] and P. Scherk simplified the proof of Mann's theorem.<ref>E. Artin and P. Scherk (1943)</ref>. An analogue of this theorem for lower asymptotic density was obtained by Kneser.<ref>Nathanson (1990) p.397</ref>-->

==ウェアリングの問題==
{{main|ウェアリングの問題}}

<math> k</math> と <math> N</math> を自然数とする。<math> \mathfrak{G}^k = \{i^k\}_{i=1}^\infty</math> とする。<math> r_N^k(n)</math> を <math> x_i</math> の方程式
:<math> x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k = n\,</math>
の非負の整数解の数とし、<math> R_N^k(n)</math> を <math> x_i</math> の不等式
:<math> 0 \le x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k \le n,</math>
の非負の整数解の数とする。すると、<math> R_N^k(n) = \sum_{i=0}^n r_N^k(i)</math> となり、次の 2つを得る。

*<math> r_N^k(n)>0 \leftrightarrow n \in N\mathfrak{G}^k, </math>
*<math> R_N^k(n) \ge \left(\frac{n}{N}\right)^{\frac{N}{k}}.</math>

<math> 0 \le x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k \le n</math> により定義される <math>N</math>-次元の領域の体積は、大きさが <math> n^{1/k}</math> の超立方体の体積を最大として有界である。従って、<math>R_N^k(n) = \sum_{i=0}^n r_N^k(i)= n^{N/k}</math> である。ここで難しい部分は、この限界値が平均でもうまく機能することです。つまり、

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''補題.''' ('''[[リンニックの定理|リンニクの定理]]''') 全ての <math>k \in \N</math> に対して、<math>k</math> にのみ依存する <math>N \in \N</math> と定数 <math>c = c(k)</math> が存在して、全ての <math>n \in \N</math> と全ての <math>0 \le m \le n.</math> について

<div style="text-align: center;">
<math>r_N^k(m) < cn^{\frac{N}{k}-1}</math>
</div>
が成り立つ。
</blockquote>
このことを元にして、次の定理をエレガントに証明できる。
<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''定理.''' 全ての <math>k</math> に対し、<math>\sigma(N\mathfrak{G}^k) > 0</math> となる <math>N</math> が存在する。
</blockquote>
このようにして、ウェアリングの問題の一般的な解法が確立した。
<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''系.''' {{harv|Hilbert|1909}} 全ての <math>k</math> に対し、<math>k</math> にのみ依存する <math>N</math> が存在し、全ての正の整数 <math>n</math> は、高々、<math>N</math> の <math>k</math>-乗のべきの和として表すことができる。
</blockquote>
<!---==Waring's problem==
{{main|Waring's problem}}

Let <math> k</math> and <math> N</math> be natural numbers. Let <math> \mathfrak{G}^k = \{i^k\}_{i=1}^\infty</math>. Define <math> r_N^k(n)</math> to be the number of non-negative integral solutions to the equation

:<math> x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k = n\,</math>

and <math> R_N^k(n)</math> to be the number of non-negative integral solutions to the inequality

:<math> 0 \le x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k \le n,\,</math>

in the variables <math> x_i</math>, respectively. Thus <math> R_N^k(n) = \sum_{i=0}^n r_N^k(i)</math>. We have

*<math> r_N^k(n)>0 \leftrightarrow n \in N\mathfrak{G}^k, </math>
*<math> R_N^k(n) \ge \left(\frac{n}{N}\right)^{\frac{N}{k}}.</math>

The volume of the <math>N</math>-dimensional body defined by <math> 0 \le x_1^k + x_2^k + \cdots + x_N^k \le n</math>, is bounded by the volume of the hypercube of size <math> n^{1/k}</math>, hence <math>R_N^k(n) = \sum_{i=0}^n r_N^k(i)= n^{N/k}</math>. The hard part is to show that this bound still works on the average, i.e.,

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Lemma.''' (''Linnik'') For all <math>k \in \N</math> there exists <math>N \in \N</math> and a constant <math>c = c(k)</math>, depending only on <math>k</math>, such that for all <math>n \in \N</math>,

<center>
<math>r_N^k(m) < cn^{\frac{N}{k}-1}</math>
</center>

for all <math>0 \le m \le n.\,</math>

</blockquote>

With this at hand, the following theorem can be elegantly proved.

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Theorem.''' For all <math>k</math> there exists <math>N</math> for which <math>\sigma(N\mathfrak{G}^k) > 0</math>.
</blockquote>

We have thus established the general solution to Waring's Problem:

<blockquote style="border: 1px dashed #cccccc; padding: 10px; ">
'''Corollary.''' {{harv|Hilbert|1909}} For all <math>k</math> there exists <math>N</math>, depending only on <math>k</math>, such that every positive integer <math>n</math> can be expressed as the sum of at most <math>N</math> many <math>k</math>-th powers.
</blockquote>-->

==シュニレルマン定数==
シュニレルマンがこの概念を研究したのは[[ゴールドバッハの予想]]の研究のためでもあった。''P'' を 0, 1 と素数からなる集合とすると、これはシュニレルマン密度 0 を持つが、シュニレルマンは[[ブルンの篩]]を用いて ''P'' + ''P'' が正のシュニレルマン密度を持つことを示した（1930年、'''シュニレルマンの定理'''<ref name=Schnirelmann1/><ref name=Schnirelmann2/> 、この定理は、上に述べたように、任意の 1 より大きな自然数は、計算可能な定数を C として C 個より少ない数の素数の和により表される<ref name=N96208>Nathanson (1996) p.208</ref>という定理）。よって ''P'' は基である。すなわち、ある定数 ''C'' が存在し、全ての整数は 高々 ''C'' 個の素数の和で表される。シュニレルマンは <math>C < 800000</math> を示している<ref>Gelfond & Linnik (1966) p.136</ref>。このことに因んで、「1 より大きい全ての整数が高々 ''C'' 個の素数の和で表される」が正しくなる最小の ''C'' を'''シュニレルマン定数'''と呼ぶ<ref name=N96208/>。[[ゴールドバッハの予想]]は、シュニレルマンの定数 <math>C=3</math> を証明することとなる<ref name=N96208/>。

{{仮リンク|オリバー・ラマレー|en|Olivier Ramaré}}(Olivier Ramaré)は、{{harv|Ramaré|1995}} で、シュニレルマンの定数は、高々 7 であることを示し<ref name=N96208/>、先に上の境界が 19 であることを示した[[ハンス・リーゼル]](Hans Riesel)と{{仮リンク|ロバート・チャールズ・ヴォーン|en|Robert Charles Vaughan (mathematician)}}(Robert Charles Vaughan)によって得られている結果を改善した。
<!---==Schnirelmann's constant==
In 1930 Schnirelmann used these ideas in conjunction with the [[Brun sieve]] to prove '''Schnirelmann's theorem''',<ref name=Schnirelmann1/><ref name=Schnirelmann2/> that any [[natural number]] greater than one can be written as the sum of not more than ''C'' [[prime numbers]], where ''C'' is an effectively computable constant:<ref name=N96208>Nathanson (1996) p.208</ref> Schnirelmann obtained ''C'' < 800000.<ref>Gelfond & Linnik (1966) p.136</ref>  '''Schnirelmann's constant''' is the lowest number ''C'' with this property.<ref name=N96208/>

[[Olivier Ramaré]] showed in {{harv|Ramaré|1995}} that Schnirelmann's constant is at most 7,<ref name=N96208/> improving the earlier upper bound of 19 obtained by [[Hans Riesel]] and [[Robert Charles Vaughan (mathematician)|R. C. Vaughan]].

Schnirelmann's constant is at least 3; [[Goldbach's conjecture]] implies that this is the constant's actual value.<ref name=N96208/>-->

==必須な構成要素==
[[アレクサンドル・ヒンチン]](Aleksandr Khinchin)は、平方数の数列は、たとえシュニレルマン密度 0 であったとしても、シュニレルマン密度が 0 と 1 の間の数列を加えると、密度が増大することを証明した。全ての <math>0<\sigma(A)<1</math> である数列 <math>A</math> に対し
: <math>\sigma(A+\mathfrak{G}^2)>\sigma(A)</math>
となる。このことは、すぐに[[ポール・エルデシュ]](Paul Erdős)により単純化され、かつ拡張され、A がシュニレルマン密度 α であり、B が次数(order) k の加法的な基であれば、
: <math>\sigma(A+B)\geq \alpha+ \frac{\alpha(1-\alpha)}{2k}</math> <ref name=Rus177>Ruzsa (2009) p.177</ref>
が成り立つことを示した。プリューネッケ(Plünnecke)は、さらに改善し、
:<math>\sigma(A+B)\geq \alpha^{\frac{1}{1-k}}</math> <ref name=Rus179>Ruzsa (2009) p.179</ref>
を示した。

この加法により密度が増える性質を持つ数列は、ヒンチンにより'''必須な構成要素'''(essential components)と名付けられた。{{仮リンク|ユーリ・リンニク|en|Yuri Linnik}}(Yuri Linnik)は、&nbsp;x より小さな x<sup>o(1)</sup> 個の元を持つ必須な構成要素を構成することで、必須な構成要素が必ずしも加法的な基である必要はないことを示した<ref>{{cite journal | first=Yu. V. | last=Linnik | authorlink=Yuri Linnik | title=On Erdõs's theorem on the addition of numerical sequences | journal=[[Sbornik: Mathematics|Mat. Sb.]] | volume=10 | year=1942 | pages=67–78 | zbl=0063.03574 }}</ref>。さらに詳しくは、数列がある C&nbsp;<&nbsp;1 に対し x よりも小さな元を
: <math>e^{(\log x)^C}\,</math>
個持っていることを、彼は示した。この結果は、E. ワーシング(E. Wirsing)により、 
: <math>e^{\sqrt{\log x}\log\log x}</math>
まで改善された。

暫くの間、どのくらい多くの要素を必須な構成要素が持たねばならないかについては未解決問題であった。最終的には、{{仮リンク|イムレ・ルッツァ|en|Imre Z. Ruzsa}}(Imre Z. Ruzsa)は、必須な構成要素はある x に対しては少なくとも
:<math>(\log{x})^C</math>
個の元を持ち、全ての C&nbsp;>&nbsp;1 に対して x に対して必須な構成要素は高々 (log&nbsp;x)<sup>C</sup> 個の元しか持たないことを結論付けた。<ref name=Rus184>Ruzsa (2009) p.184</ref>
<!---==Essential components==
[[Aleksandr Khinchin|Khintchin]] proved that the sequence of squares, though of zero Schnirelmann density, when added to a sequence of Schnirelmann density between 0 and 1, increases the density: 

: <math>\sigma(A+\mathfrak{G}^2)>\sigma(A)\text{ for }0<\sigma(A)<1.\,</math>

This was soon simplified and extended by [[Paul Erdős|Erdős]], who showed, that if ''A'' is any sequence with Schnirelmann density α and ''B'' is an additive basis of order ''k'' then 

: <math>\sigma(A+B)\geq \alpha+ \frac{\alpha(1-\alpha)}{2k}\,,</math><ref name=Rus177>Ruzsa (2009) p.177</ref>

and this was improved by Plünnecke to

:<math>\sigma(A+B)\geq \alpha^{\frac{1}{1-k}}\ . </math><ref name=Rus179>Ruzsa (2009) p.179</ref>

Sequences with this property, of increasing density less than one by addition, were named '''essential components''' by Khintchin.  [[Yuri Linnik|Linnik]] showed that an essential component need not be an additive basis<ref>{{cite journal | first=Yu. V. | last=Linnik | authorlink=Yuri Linnik | title=On Erdõs's theorem on the addition of numerical sequences | journal=[[Sbornik: Mathematics|Mat. Sb.]] | volume=10 | year=1942 | pages=67–78 | zbl=0063.03574 }}</ref>  as he constructed an essential component that has ''x''<sup>o(1)</sup> elements less than&nbsp;''x''.  More precisely, the sequence has

: <math>e^{(\log x)^c}\,</math>

elements less than ''x'' for some ''c''&nbsp;<&nbsp;1. This was improved by E. Wirsing to 

: <math>e^{\sqrt{\log x}\log\log x}.\,</math>

For a while, it remained an open problem how many elements an essential component must have. Finally, [[Imre Z. Ruzsa|Ruzsa]] determined that an essential component has at least (log&nbsp;''x'')<sup>''c''</sup> elements up to ''x'', for some ''c''&nbsp;>&nbsp;1, and for every ''c''&nbsp;>&nbsp;1 there is an essential component which has at most (log&nbsp;''x'')<sup>''c''</sup> elements up to&nbsp;''x''.<ref name=Rus184>Ruzsa (2009) p.184</ref>-->

==脚注==
<references/>

==参考文献==
{{reflist}}
* {{Cite journal | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | title=Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl ''n''ter Potenzen (Waringsches Problem) | doi=10.1007/BF01450405 | mr=1511530 | year=1909 | journal=[[Mathematische Annalen]] | issn=0025-5831 | volume=67 | issue=3 | pages=281–300 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* {{cite journal | first=L.G. | last=Schnirelmann | authorlink=Lev Schnirelmann | title=On additive properties of numbers | language=Russian | journal=Ann. Inst. polytechn. Novočerkassk | volume=14 | pages=3–28 | year=1930 | ref=harv | zbl=JFM 56.0892.02 }}
* {{cite journal | first=L.G. |last=Schnirelmann | authorlink=Lev Schnirelmann | title=Über additive Eigenschaften von Zahlen | language=German | journal=Math. Ann. | volume=107 | pages=649–690 | year=1933 | doi=10.1007/BF01448914 | ref=harv | zbl=0006.10402 }}
* {{Cite journal |last=Mann |first=Henry B.| authorlink=Henry Mann| title=A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers | doi=10.2307/1968807 | mr=0006748 | year=1942 | journal=[[Annals of Mathematics]] | series = Second Series | issn=0003-486X | volume=43 | pages=523–527 | issue=3 | publisher=Annals of Mathematics | ref=harv | postscript=<!--None--> | jstor=1968807 | zbl=0061.07406 }}
* {{cite journal | first1=Emil | last1=Artin | first2=P. | last2=Scherk | | title=On the sums of two set of integers | year=1943 | series=Ann. of Math. | volume=44 | pages=138-142 }}
* {{cite book | first1=A.O. | last1=Gelfond | authorlink1=Alexander Gelfond | first2=Yu. V. | last2=Linnik | authorlink2=Yuri Linnik | title=Elementary Methods in Analytic Number Theory | publisher=George Allen & Unwin | year=1966 | editor=L.J. Mordell | editor-link=Louis J. Mordell }}
*{{cite book |last=Mann |first=Henry B. |authorlink=Henry Mann |title=Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory 
|publisher=[http://www.krieger-publishing.com/subcats/MathematicsandStatistics/mathematicsandstatistics.html Robert E. Krieger Publishing Company]
|location=Huntington, New York |year=1976 |edition=Corrected reprint of 1965 Wiley |isbn=0-88275-418-1 |mr=424744 |ref=harv }}
* {{cite book | zbl=0722.11007 | last=Nathanson | first=Melvyn B. | chapter=Best possible results on the density of sumsets | pages=395–403 | editor1-last=Berndt | editor1-first=Bruce C. | editor1-link=Bruce C. Berndt | editor2-last=Diamond | editor2-first=Harold G. | editor3-last=Halberstam | editor3-first=Heini | editor3-link=Heini Halberstam | editor4-last=Hildebrand | editor4-first=Adolf | title=Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA) | series=Progress in Mathematics | volume=85 | location=Boston | publisher=Birkhäuser | year=1990 | isbn=0-8176-3481-9 | ref=harv }}
* {{cite journal | first=O. | last=Ramaré | authorlink=Olivier Ramaré | title=On Šnirel'man's constant | journal=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie IV | volume=22 | year=1995 | issue=4 | pages=645–706 | url = http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0 | accessdate = 2011-03-28 | ref=harv | zbl=0851.11057 }}
* {{cite book | title=Additive Number Theory: the Classical Bases  | volume=164 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | first=Melvyn B. | last=Nathanson | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | isbn=0-387-94656-X | zbl=0859.11002 }}
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Elementary Methods in Number Theory | volume=195 | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2000 | isbn=0-387-98912-9 | zbl=0953.11002 | pages=359–367 }}
*{{Cite book  | author1-link = Aleksandr Khinchin  | last1 = Khinchin   | first1 = A. Ya.  | title = Three Pearls of Number Theory   | publisher = Dover   | location = Mineola, NY  | date = 1998  | isbn = 978-0-486-40026-6  | ref = harv  | postscript = <!--None-->}} この書籍には[[#マンの定理|マンの定理]]の証明と[[#ウェアリングの問題|ウェアリングの問題]]でのシュニレルマン密度の証明が記載されている．原文はロシア語．
*{{Cite book  | author1-link = アレクサンドル ヒンチン | last1 = ヒンチン   | first1 = アレクサンドル | title = 数論の３つの真珠 | publisher = 日本評論社 | location = Tokyo  | date = 2000  | isbn = 978-4-535-60843-6  | ref = harv }} 訳：蟹江　幸博　上記の日本語訳，他に訳者の解説．
* {{cite book | first1=Alina Carmen | last1=Cojocaru | first2=M. Ram | last2=Murty | author2-link=M. Ram Murty | title=An introduction to sieve methods and their applications | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=66 | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-61275-6 | pages=100–105 | year=2005 }}
* {{cite book | last=Ruzsa | first=Imre Z. | chapter=Sumsets and structure | pages=87–210 | editor1-last=Geroldinger | editor1-first=Alfred | editor2-last=Ruzsa | editor2-first=Imre Z. | others=Elsholtz, C.; Freiman, G.; Hamidoune, Y. O.; Hegyvári, N.; Károlyi, G.; Nathanson, M.; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. With a foreword by Javier Cilleruelo, Marc Noy and Oriol Serra (Coordinators of the DocCourse) | title=Combinatorial number theory and additive group theory | series=Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona | location=Basel | publisher=Birkhäuser | year=2009 | isbn=978-3-7643-8961-1 | zbl=1221.11026 | ref=harv }}

{{DEFAULTSORT:しゆにれるまんみつと}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:加法的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]