シュラム・レヴナー発展のソースを表示

{{要改訳}}
[[確率論]]では、パラメータ κ を持つ'''シュラム・レヴナー発展'''({{lang-en-short|Schramm–Loewner evolution}}, SLE)は、'''確率論的レヴナー発展'''(SLE<sub>κ</sub>)としても知られている。統計力学の多くの 2次元格子モデルの中から{{仮リンク|スケール極限|en|scaling limit}}(scaling limit)が既に証明されているランダムな平面曲線の族のことをいう。パラメータ κ と複素平面内の領域 U が与えられたとき、SLEは、どれくらい曲線が曲がるかを制御する κ を持つような U の中のランダムな曲線の族を与える。SLEには 2つの主要な変形があり、一つは両端を固定された境界点からランダムな曲線の族である'''弧状の SLE'''(chordal SLE)と、もう一つは固定された（領域の）内部の点を端点として持つランダムな曲線の族である'''放射状の SLE'''(radial SLE)がある。これらの曲線は、共形不変性と領域マルコフ性を満たすとして定義される。

シュラム・レヴナー発展は、[[オデッド・シュラム]]{{harvs|txt|first=Oded |last=Schramm|authorlink=Oded Schramm|year=2000}}により、平面の{{仮リンク|一様スパニングツリー|en|uniform spanning tree}}(uniform spanning tree,UST)や{{仮リンク|ループ除去ランダムウォーク|en|loop-erased random walk}}(loop-erased random walk,LERW)である確率過程のスケール極限となるであろうという予想として発見され、一連の{{仮リンク|グレッグ・ローラー|en|Greg Lawler}}(Greg Lawler)や[[ウェンデリン・ウェルナー]](Wendelin Werner)との共著論文で開拓されてきた。
<!---In [[probability theory]], the '''Schramm–Loewner evolution''' with parameter ''κ'', also known as '''stochastic Loewner evolution''' (SLE<sub>''κ''</sub>), is a family of random planar curves that have been proven to be the [[scaling limit]] of a variety of two-dimensional lattice models in statistical mechanics. Given a parameter ''κ'' and a domain in the complex plane ''U'', it gives a family of random curves in ''U'', with ''κ'' controlling how much the curve turns. There are two main variants of SLE, ''chordal SLE'' which gives a family of random curves from two fixed boundary points, and ''radial SLE'', which gives a family of random curves from a fixed boundary point to a fixed interior point. These curves are defined to satisfy [[conformal geometry|conformal invariance]] and a domain [[Markov property]].

It was discovered by {{harvs|txt|first=Oded |last=Schramm|authorlink=Oded Schramm|year=2000}} as a conjectured scaling limit of the planar [[uniform spanning tree]] (UST) and the planar [[loop-erased random walk]] (LERW) probabilistic processes, and  developed by him together with [[Greg Lawler]] and [[Wendelin Werner]] in a series of joint papers.-->

UST と LERW に対してのシュラム・レヴナー発展とは、平面上の様々な確率過程の{{仮リンク|スケール極限|en|scaling limit}}(scaling limit)が記述できることが証明されているか、または予想されているものを言う。例を挙げると、{{仮リンク|パーコレーション理論|label=臨界パーコレーション|en|Percolation theory}}(critical percolation)や、臨界[[イジング模型|イジングモデル]]や、[[ドミノタイリング|二重ダイマーモデル]]や、{{仮リンク|自己回避ランダムウォーク|en|self-avoiding walk}}(self-avoiding walk,SAW)や、その他の共形不変性をもつ臨界[[統計力学]]モデルがある。SLE曲線はこれらのモデルの境界面や自分と交わらないランダム曲線のスケール極限である。主要なアイデアは、共形不変性と一種の[[マルコフ性]]が、（レヴナーの微分方程式からの駆動函数(driving function)を使い）確率過程に遺伝して、領域の境界上での 1次元ブラウン運動の中へこれらの平面曲線の情報をエンコードすることが可能となる。この方法では、多くの平面モデルの重要な問題が、{{仮リンク|伊藤の計算|en|Itō calculus}}(Itō calculus)を応用した問題へと翻訳される。実際、この戦略の下、いくつかの数学的に非自明な予言が、物理学者により[[共形場理論]]を使い証明された。
<!---Besides UST and LERW, the Schramm–Loewner evolution is conjectured or proved to describe the [[scaling limit]] of various stochastic processes in the plane, such as [[Percolation theory|critical percolation]], the critical [[Ising model]], the [[dimer model|double-dimer model]], [[self-avoiding walk]]s, and other critical [[statistical mechanics]] models that exhibit conformal invariance. The SLE curves are the scaling limits of interfaces and other non-self-intersecting random curves in these models. The main idea is that the conformal invariance and a certain [[Markov property]] inherent in such stochastic processes  together make it possible to encode these planar curves into a one-dimensional Brownian motion running on the boundary of the domain (the driving function in Loewner's differential equation). This way, many important questions about the planar models can be translated into exercises in [[Itō calculus]]. Indeed, several mathematically non-rigorous predictions made by physicists using [[conformal field theory]] have been proved using this strategy.-->

==レブナー方程式==
{{main|レヴナー微分方程式}}([[:en:Loewner differential equation|Loewner differential equation]])
D を '''C''' と異なる[[単連結空間|単連結]](simply connected)で[[開集合|開いた]]複素領域とし、γ を D の境界に出発点を持つ D の内部の単純曲線（ D の境界で γ(0) であり、γ((0,&nbsp;∞)) では、D の部分集合となるような連続函数）とする。各々の t&nbsp;≥&nbsp;0 に対し、γ([0,&nbsp;t]) 補集合 D<sub>t</sub> は単連結となり、従って、[[リーマンの写像定理]]により D と[[等角写像|共形同値]]である。f<sub>t</sub> が D から D<sub>t</sub> への正規化された同型であれば、レヴナーが[[ド・ブランジュの定理|ビーベルバッハの予想]]の仕事 {{harvtxt|Loewner|1923|loc=p. 121}} で発見していた微分方程式を満たす。D<sub>t</sub> から D への共形写像である、f<sub>t</sub> の逆函数 g<sub>t</sub> を使う方が便利であるときもある。以下では、レヴナー微分方程式をレヴナー方程式と記すこととする。
<!---==The Loewner equation==
{{main|Loewner differential equation}}
If ''D'' is a [[Fundamental group|simply connected]], [[Open set|open]] [[Complex field|complex domain]] not equal to '''C''', and γ  is a simple curve in ''D'' starting on the boundary (a continuous function with γ(0) on the boundary of ''D'' and γ((0,&nbsp;∞)) a subset of ''D''), then for each ''t''&nbsp;≥&nbsp;0, the complement ''D''<sub>''t''</sub> of γ([0,&nbsp;''t'']) is simply connected and therefore [[Conformal mapping|conformally isomorphic]] to ''D'' by the [[Riemann mapping theorem]]. If ''ƒ''<sub>''t''</sub> is a suitable normalized isomorphism from ''D'' to ''D''<sub>''t''</sub>, then it satisfies a differential equation found by {{harvtxt|Loewner|1923|loc=p. 121}} in his work on the [[Bieberbach conjecture]].
Sometimes it is more convenient to use the inverse function ''g''<sub>''t''</sub> of ''ƒ''<sub>''t''</sub>, which is a conformal mapping from ''D''<sub>''t''</sub> to ''D''.-->

レヴナー方程式の z は、領域 D の中で、t&nbsp;≥&nbsp;0 であり、t = 0 の境界での値は f<sub>0</sub>(z)&nbsp;=&nbsp;z または、g<sub>0</sub>(z)&nbsp;=&nbsp;z である。この方程式は、D の境界でも値を持つ'''駆動函数'''(driving function) ζ(t) に依存している。D が単位単板で、曲線 γ が「容量(capaity)」によりパラメトライズされていると、レヴナー方程式は、

:<math> \frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = -z f^\prime_t(z)\frac{\zeta(t)+z}{\zeta(t)-z}</math>   もしくは、   <math> \dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} =  g_t(z)\dfrac{\zeta(t)+g_t(z)}{\zeta(t)-g_t(z)}</math>
となる。

D が上半平面のときは、レヴナー方程式は変数変換により、上記とは異なった方程式となり、

:<math>\frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = \frac{ 2f_t^\prime(z)}{\zeta(t)-z}</math>   もしくは、   <math>\dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} = \dfrac{ 2}{g_t(z)-\zeta(t)}.</math>
である。

駆動函数 ζ と曲線 γ は、
:<math>\displaystyle f_t(\zeta(t)) = \gamma(t)</math>   or   <math>\displaystyle  \zeta(t) = g_t(\gamma(t)) </math>
により関係付けられる。ここに f<sub>t</sub> と g<sub>t</sub> は連続性により拡張されている。
<!---In Loewner's equation, ''z'' is in the domain ''D'', ''t''&nbsp;≥&nbsp;0, and the boundary values at time ''t''=0 are ''ƒ''<sub>''0''</sub>(''z'')&nbsp;=&nbsp;''z'' or ''g''<sub>''0''</sub>(''z'')&nbsp;=&nbsp;''z''. The equation depends on a '''driving function''' ζ(''t'') taking values in the boundary of ''D''.  If ''D'' is the unit disk and the curve γ is parameterized by "capacity", then Loewner's equation is

:<math> \frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = -z f^\prime_t(z)\frac{\zeta(t)+z}{\zeta(t)-z}</math>   or   <math> \dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} =  g_t(z)\dfrac{\zeta(t)+g_t(z)}{\zeta(t)-g_t(z)}.</math>

When ''D'' is the upper half plane the  Loewner equation   differs from this by changes of variable and is

:<math>\frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = \frac{ 2f_t^\prime(z)}{\zeta(t)-z}</math>   or   <math>\dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} = \dfrac{ 2}{g_t(z)-\zeta(t)}.</math>

The driving function ζ and the curve γ are related by
:<math>\displaystyle f_t(\zeta(t)) = \gamma(t)</math>   or   <math>\displaystyle  \zeta(t) = g_t(\gamma(t)) </math>
where ''ƒ''<sub>''t''</sub> and ''g''<sub>''t''</sub> are extended by continuity.-->

===例===

D を上半平面とし、駆動函数 ζ が恒等的に 0 であれば、
:<math>f_t(z) = \sqrt{z^2-4t}</math>
:<math>g_t(z) = \sqrt{z^2+4t}</math>
:<math>\gamma(t) = 2i\sqrt{t}</math>
:<math>D_t</math> は 0 から <math>2i\sqrt{t}</math> までの直線を削除した上半平面である。
<!---===Example===

If ''D'' is the upper half plane and the driving function ζ is identically zero, then
:<math>f_t(z) = \sqrt{z^2-4t}</math>
:<math>g_t(z) = \sqrt{z^2+4t}</math>
:<math>\gamma(t) = 2i\sqrt{t}</math>
:<math>D_t</math> is the upper half plane with the line from 0 to <math>2i\sqrt{t}</math> removed.-->

==シュラム・レヴナー発展==
シュラム・レヴナー発展は、上のセクションで述べたのように、レヴナー方程式によって駆動函数
:<math>\displaystyle\zeta(t)=\sqrt{\kappa}B(t)</math>
で与えられたランダム曲線 γ である。ここに、 B(t) はある実数 κ によりスケーリングされた D の境界上のブラウン運動である。言い換えると、シュラム・レヴナー発展は、この写像の下のウィーナー測度の像として与えられ、平面上の確率測度である。

一般に、曲線 γ は単純である必要はなく、領域 D<sub>t</sub> は D の中の補集合 γ([0,t]) でもない。
<!---Schramm–Loewner evolution is the random curve γ given by the Loewner equation as in the previous section, for the driving function
:<math>\displaystyle\zeta(t)=B(\kappa t)</math>
where B(''t'') is Brownian motion on the boundary of ''D'', scaled by some real κ. In other words Schramm–Loewner evolution is a probability measure on planar curves, given as the image of Wiener measure under this map.

In general the curve γ need not be simple, and the domain ''D''<sub>''t''</sub> is not the complement of γ([0,''t'']) in ''D'', but is instead the unbounded component of the complement.-->

曲線の族を使うSLEには 2つのバージョンがあり、非負である実数のパラメータ κ に依存している。
*'''弧状 SLE<sub>κ</sub>'''は、領域の境界上の 2点をつなぐ曲線と関係している。（普通は、0 と無限遠点をもつ上半平面上で考える。）
*'''放射状 SLE<sub>κ</sub>'''は、領域内部の点と境界上の点を結ぶ曲線と関係している。（単位円板の 1 と 0 をつなぐ曲線であることもある。）

SLEは領域の境界上のブラウン運動の選択に依存し、使うブラウン運動の種類によっていくつかの変形がある。例えば、固定点から出発するかもしれないし、単位円上の一様に分布した点から出発することもありかもしれないし、動くような設定になっているかもしれないような場合もあるし、他にも考えられる。パラメータ κ はブラウン運動の散乱率を制御し、SLEの振る舞いは κ の値に強く依存する。
<!---There are two versions of SLE, using two families of curves, each depending on a non-negative real parameter κ:
*'''Chordal  SLE<sub>κ</sub>''', which is related to curves connecting two points on the boundary of a domain (usually the upper half plane, with the points being 0 and infinity).
*'''Radial SLE<sub>κ</sub>''', which related to curves joining a point on the boundary of a domain to a point in the interior (often curves joining 1 and 0 in the unit disk).

SLE depends on a choice of Brownian motion on the boundary of the domain, and there are several variations depending on what sort of Brownian motion is used: for example it might start at a fixed point, or start at a uniformly distributed point on the unit circle, or might have a built in drift, and so on. The parameter κ controls the rate of diffusion of the Brownian motion, and the behavior of SLE depends critically on its value.-->

シュラム・レヴナー発展で共通に使われる 2つの領域は、上半平面と単位円板である。レヴナーの微分方程式はこの 2つの場合で異なっているが、それらは、単位円板と上半平面が共形同値であるので、変数変換により同値となっている。しかしながら、これらの間の共形同値はシュラム・レヴナーの発展を駆動するブラウン運動は保存されない。
<!---The two domains most commonly used in  Schramm–Loewner evolution are the upper half plane and the unit circle. Although the Loewner differential equation in these two cases look different,  they are equivalent up to changes of variables as the unit circle and the upper half plane are conformally equivalent. However a conformal equivalence between them does not preserve the Brownian motion on their boundaries used to drive Schramm–Loewner evolution.-->

==κ の特殊値==
*κ&nbsp;=&nbsp;2 は{{仮リンク|ループ除去ランダムウォーク|en|loop-erased random walk}}(loop-erased random walk)に対応している。同じことであるが、一様スパニングツリーに対応している。
*κ&nbsp;=&nbsp;8/3 に対して、SLE<sub>κ</sub> は、特別な性質を持っていて、{{仮リンク|自己回避ウォーク|en|self-avoiding walks}}(self-avoiding random walks)のスケール極限となると予想されている。このひとつのバージョンが[[ブラウン運動]]の外側の境界である。この場合も三角格子上の{{仮リンク|パーコレーション理論|label=臨界パーコレーション|en|percolation theory}}(critical percolation)のスケール極限で発生する。
*κ&nbsp;=&nbsp;3 は[[イジング模型|イジングモデル]]のスケール極限である。
*0&nbsp;≤&nbsp;κ&nbsp;≤&nbsp;4 に対しては、曲線 γ(t) は（確率 1 で）単純である。
*κ&nbsp;=&nbsp;4 は、調和臨界点と{{仮リンク|ガウスの自由場|en|Gaussian free field}}(Gaussian free field)の積分路に対応している。
*κ&nbsp;=&nbsp;6 に対して、SLE<sub>κ</sub> は局所性をもち、三角格子上の{{仮リンク|パーコレーション理論|label=臨界パーコレーション|en|percolation theory}}(critical percolation)で発生する。他の格子の上についても、発生することが予想されている。
*4&nbsp;<&nbsp;κ&nbsp;<&nbsp;8 に対して、曲線 γ(t) は自分自身に交わり、全ての点がループ上に含まれるが、（確率 1 で）曲線は空間を満たしているわけではない。
*κ&nbsp;=&nbsp;8 は、一様スパニングツリーと双対ツリーを分ける経路に対応している。
*κ&nbsp;≥&nbsp;8 に対して、曲線 γ(t) は（確率 1 で）空間を満たす。
<!---==Special values of ''κ''==
*''κ''&nbsp;=&nbsp;2 corresponds to the [[loop-erased random walk]], or equivalently, branches of the uniform spanning tree.
*For ''κ''&nbsp;=&nbsp;8/3 SLE<sub>''κ''</sub> has the restriction property and is conjectured to be the scaling limit of [[self-avoiding walk|self-avoiding random walks]]. A version of it is the outer boundary of [[Brownian motion]]. This case also arises in the scaling limit of [[percolation theory|critical percolation]] on the triangular lattice.
*''κ''&nbsp;=&nbsp;3 is the limit of interfaces for the [[Ising model]].
*For 0&nbsp;≤&nbsp;''κ''&nbsp;≤&nbsp;4 the curve γ(''t'') is simple (with probability 1).
*''κ''&nbsp;=&nbsp;4 corresponds to the path of the harmonic explorer and contour lines of the [[Gaussian free field]].
*For ''κ''&nbsp;=&nbsp;6 SLE<sub>''κ''</sub> has the locality property. This arises in the scaling limit of [[percolation theory|critical percolation]] on the triangular lattice and conjecturally on other lattices.
*For 4&nbsp;<&nbsp;''κ''&nbsp;<&nbsp;8 the curve γ(''t'') intersects itself and every point is contained in a loop but the curve is not space-filling (with probability 1).
*''κ''&nbsp;=&nbsp;8 corresponds to the path separating the uniform spanning tree from its dual tree.
*For ''κ''&nbsp;≥&nbsp;8 the curve γ(''t'') is space-filling (with probability 1).-->

SLEがある共形場理論に対応しているとき、パラメータ κ は共形場理論の[[中心電荷]] c に、
:<math>c = \frac{(8-3\kappa)(\kappa-6)}{2\kappa}</math>
として、関係付いている。c&nbsp;<&nbsp;1 の各々の値は、2つの κ の値に対応していて、一つは、0 から 4 の間のκ であり、もう一つは「双対」の値で 4 より大きな 16/κ という値に対応している。

{{harvtxt|Beffara|2008}} では、（確率 1 で）経路の[[ハウスドルフ次元]](Hausdorff dimension)は、min(2,&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;κ/8) に等しいことが示されている。
<!---When SLE corresponds to some conformal field theory, the parameter ''κ'' is related to the [[central charge]] ''c''
of the conformal field theory by
:<math>c = \frac{(8-3\kappa)(\kappa-6)}{2\kappa}.</math>
Each value of ''c''&nbsp;<&nbsp;1  corresponds to two values of ''κ'', one value ''κ'' between 0 and 4, and a "dual" value 16/''κ'' greater than 4.

{{harvtxt|Beffara|2008}} showed that the  [[Hausdorff dimension]] of the paths (with probability 1) is equal to min(2,&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;''κ''/8).-->

==応用==
{{harvtxt|Lawler|Schramm|Werner|2001}} では、SLE<sub>6</sub> を使い、{{harvtxt|Mandelbrot|1982}} で予想されている平面ブラウン運動の境界は[[フラクタル次元]]が 4/3 であることが証明された。

{{仮リンク|三角タイリング|label=三角格子|en|Triangular tiling}}(triangular lattice)上の臨界{{仮リンク|パーコレーション理論|en|Percolation theory}}は、[[スタニスラフ・スミルノフ]](Stanislav Smirnov)により、 κ=6 であるSLEに関係していることが証明された。<ref>{{cite journal |first=Stanislav |last=Smirnov |title=Critical percolation in the plane |journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences |volume=333 |issue=3 |year=2001 |pages=239–244 |doi=10.1016/S0764-4442(01)01991-7 }}</ref> より前の結果である{{仮リンク|ハリー・ケステン|en|Harry Kesten}}(Harry Kesten)の結果<ref>{{cite journal |first=Harry |last=Kesten |title=Scaling relations for 2D-percolation |journal=[[Communications in Mathematical Physics|Comm. Math. Phys.]] |volume=109 |year=1987 |issue=1 |pages=109–156 |doi=10.1007/BF01205674 }}</ref>を組み合わせると、パーコレーションの多くの[[臨界指数]]を決定することができる。<ref>{{cite journal |first=Stanislav |last=Smirnov |first2=Wendelin |last2=Werner |title=Critical exponents for two-dimensional percolation |journal=[[Mathematical Research Letters|Math. Res. Lett.]] |volume=8 |year=2001 |issue=6 |pages=729–744 |doi= |url=http://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/mrl/2001/0008/0006/MRL-2001-0008-0006-00019853.pdf | arxiv=math/0109120v2.pdf}}</ref> 一方、このブレイクスルーは、モデルの多くの側面を分析することを可能とした。<ref>{{cite journal |first=Oded |last=Schramm |first2=Jeffrey E. |last2=Steif |title=Quantitative noise sensitivity and exceptional times for percolation |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=171 |year=2010 |issue=2 |pages=619–672 |doi=10.4007/annals.2010.171.619 }}</ref><ref>{{cite journal |first=Christophe |last=Garban |first2=Gábor |last2=Pete |first3=Oded |last3=Schramm |title=Pivotal, cluster and interface measures for critical planar percolation |journal=[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]] |volume=26 |year=2013 |issue=4 |pages=939–1024 |doi=10.1090/S0894-0347-2013-00772-9 }}</ref>

{{仮リンク|ループ除去ランダムウォーク|en|Loop-erased random walk}}(Loop-erased random walk)は、ローラー、シュラム、ウェルナーにより、κ = 2 のSLEへ収束することが示された。<ref name=LERW>{{cite journal |first=Gregory F. |last=Lawler |first2=Oded |last2=Schramm |first3=Wendelin |last3=Werner |title=Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees |journal=[[Annals of Probability|Ann. Probab.]] |volume=32 |year=2004 |issue=1B |pages=939–995 |doi=10.1214/aop/1079021469 }}</ref> このことは、ループ回避ランダムウォークの量的な性質の多くを導くことを可能とした。（それらのいくつかは、リチャード・ケンヨンにより早くから導出されていた。<ref>{{cite journal |first=Richard |last=Kenyon |title=Long range properties of spanning trees |journal=[[Journal of Mathematical Physics|J. Math. Phys.]] |volume=41 |issue=3 |pages=1338–1363 |year=2000 |doi=10.1063/1.533190 }}</ref>） {{仮リンク|一様スパニングツリー|en|uniform spanning tree}}(uniform spanning tree)の外側の曲線であるランダム[[ペアノ曲線]](Peano curve)は、κ = 8 のSLEへ収束することが示された。<ref name=LERW/>

ローデ(Rohde)とシュラム(Schramm)は、κ が次の関係式により[[フラクタル次元]]と関連ついていることを示した。

:<math>d = 1 + \frac{\kappa}{8}.</math>
<!---==Applications==
{{harvtxt|Lawler|Schramm|Werner|2001}} used SLE<sub>6</sub> to prove the conjecture of {{harvtxt|Mandelbrot|1982}} that the boundary of planar Brownian motion  has [[fractal dimension]] 4/3.

Critical [[Percolation theory|percolation]] on the [[Triangular tiling|triangular lattice]] was proved to be related to SLE with κ=6 by [[Stanislav Smirnov]].<ref>{{cite journal |first=Stanislav |last=Smirnov |title=Critical percolation in the plane |journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences |volume=333 |issue=3 |year=2001 |pages=239–244 |doi=10.1016/S0764-4442(01)01991-7 }}</ref> Combined with earlier work of [[Harry Kesten]],<ref>{{cite journal |first=Harry |last=Kesten |title=Scaling relations for 2D-percolation |journal=[[Communications in Mathematical Physics|Comm. Math. Phys.]] |volume=109 |year=1987 |issue=1 |pages=109–156 |doi=10.1007/BF01205674 }}</ref> this led to the determination of many of the [[critical exponent]]s for percolation.<ref>{{cite journal |first=Stanislav |last=Smirnov |first2=Wendelin |last2=Werner |title=Critical exponents for two-dimensional percolation |journal=[[Mathematical Research Letters|Math. Res. Lett.]] |volume=8 |year=2001 |issue=6 |pages=729–744 |doi= |url=http://intlpress.com/site/pub/files/_fulltext/journals/mrl/2001/0008/0006/MRL-2001-0008-0006-00019853.pdf }}</ref> This breakthrough, in turn, allowed further analysis of many aspects of this model.<ref>{{cite journal |first=Oded |last=Schramm |first2=Jeffrey E. |last2=Steif |title=Quantitative noise sensitivity and exceptional times for percolation |journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] |volume=171 |year=2010 |issue=2 |pages=619–672 |doi=10.4007/annals.2010.171.619 }}</ref><ref>{{cite journal |first=Christophe |last=Garban |first2=Gábor |last2=Pete |first3=Oded |last3=Schramm |title=Pivotal, cluster and interface measures for critical planar percolation |journal=[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]] |volume=26 |year=2013 |issue=4 |pages=939–1024 |doi=10.1090/S0894-0347-2013-00772-9 }}</ref>

[[Loop-erased random walk]] was shown to converge to SLE with κ=2 by Lawler, Schramm and Werner.<ref name=LERW>{{cite journal |first=Gregory F. |last=Lawler |first2=Oded |last2=Schramm |first3=Wendelin |last3=Werner |title=Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees |journal=[[Annals of Probability|Ann. Probab.]] |volume=32 |year=2004 |issue=1B |pages=939–995 |doi=10.1214/aop/1079021469 }}</ref> This allowed derivation of many quantitative properties of loop-erased random walk (some of which were derived earlier by Richard Kenyon<ref>{{cite journal |first=Richard |last=Kenyon |title=Long range properties of spanning trees |journal=[[Journal of Mathematical Physics|J. Math. Phys.]] |volume=41 |issue=3 |pages=1338–1363 |year=2000 |doi=10.1063/1.533190 }}</ref>). The related random [[Peano curve]] outlining the [[uniform spanning tree]] was shown to converge to SLE with κ=8.<ref name=LERW/>

Rohde and Schramm showed that κ is related to the [[Fractal dimension|fractal dimension]] of a curve by the following relation

:<math>d = 1 + \frac{\kappa}{8}.</math>-->

==参考文献==
{{Reflist}}

==さらに進んだ文献==
{{Refbegin}}
*{{Citation | last1=Beffara | first1=Vincent | title=The dimension of the SLE curves | url=http://projecteuclid.org/euclid.aop/1217360974 | mr=2435854 | year=2008 | journal=The Annals of Probability | volume=36 | issue=4 | pages=1421–1452 | doi=10.1214/07-AOP364}}
*{{citation|first=John|last=Cardy|authorlink=John Cardy|arxiv=cond-mat/0503313|title=SLE for theoretical physicists|journal=Annals Phys. |volume=318 |year=2005|pages= 81–118|doi=10.1016/j.aop.2005.04.001}}
*{{SpringerEOM|title=Löwner method|last= Goluzina|first=E.G.|urlname=Löwner_method}}
*{{SpringerEOM|title=Löwner equation|last=Gutlyanskii|first=V.Ya. |urlname=Löwner_equation}}
*{{citation|arxiv=math-ph/0312056|title=A Guide to Stochastic Loewner Evolution and its Applications
|first=Wouter |last=Kager|first2= Bernard|last2= Nienhuis|journal=J. Stat. Phys.|volume= 115|pages=1149–1229 |year=2004|doi=10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be|issue=5/6}}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. | title=Random walks and geometry | url=http://www.math.duke.edu/~jose/esi.html | publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin | mr=2087784 | year=2004 | chapter=An introduction to the stochastic Loewner evolution | pages=261–293|editor1-first=Vadim A.|editor1-last= Kaimanovich | isbn=3-11-017237-2 }} {{dead link|date=June 2010}}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. | title=Conformally invariant processes in the plane | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-3677-4 | mr=2129588 | year=2005 | volume=114| url =https://books.google.co.jp/books?id=JHMzab3u6U8C&redir_esc=y&hl=ja }}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. |authorlink=Gregory Lawler|title=Schramm–Loewner Evolution|year=2007|arxiv=0712.3256}}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. |authorlink=Gregory Lawler|title=Stochastic Loewner Evolution|url=http://www.math.cornell.edu/%7Elawler/encyclopedia.ps}}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. |authorlink=Gregory Lawler|title=Conformal invariance and 2D statistical physics
|journal= Bull. Amer. Math. Soc.|volume= 46 |year=2009|pages= 35–54 |doi=10.1090/S0273-0979-08-01229-9 }}
*{{Citation | last1=Lawler | first1=Gregory F. |authorlink1=Gregory Lawler| last2=Schramm | first2=Oded | authorlink2=Oded Schramm| last3=Werner | first3=Wendelin | authorlink3=Wendelin Werner|title=The dimension of the planar Brownian frontier is 4/3 | url=http://www.mrlonline.org/mrl/2001-008-004/2001-008-004-001.html | mr=1849257 | year=2001 | journal=Mathematical Research Letters   | volume=8 | issue=4 | pages=401–411}}
*{{citation|first=C. |last=Loewner|authorlink=Charles Loewner|title=Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I|journal=Math. Ann. |volume=89|year=1923|pages= 103–121|id= [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?49.0714.01 JFM 49.0714.01]|doi=10.1007/BF01448091}}
*{{Citation | last1=Mandelbrot | first1=Benoît | author1-link=Benoît Mandelbrot | title=The Fractal Geometry of Nature | publisher=W. H. Freeman | isbn=978-0-7167-1186-5 | year=1982}}
*{{citation|title=Introduction to Schramm–Loewner evolutions|url=http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Lectures/sle.pdf|first=J. R. |last= Norris|authorlink=James R. Norris|year=2010}}
*{{citation|last=Pommerenke|first= Christian|authorlink=Christian Pommerenke|title=Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen|series= Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher|volume=15|publisher= Vandenhoeck & Ruprecht|year= 1975}}  (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
*{{Citation | last1=Schramm | first1=Oded | authorlink=Oded Schramm| title=Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees | arxiv=math.PR/9904022 | mr=1776084 | year=2000 | journal=Israel Journal of Mathematics | volume=118 | pages=221–288 | doi=10.1007/BF02803524}} Schramm's original paper, introducing SLE
*{{Citation | last1=Schramm | first1=Oded | authorlink=Oded Schramm | title=International Congress of Mathematicians. Vol. I | publisher=Eur. Math. Soc., Zürich | mr=2334202 | year=2007 | chapter=Conformally invariant scaling limits: an overview and a collection of problems | pages=513–543|arxiv=math/0602151|isbn= 978-3-03719-022-7 }}
*{{Citation | last1=Werner | first1=Wendelin | authorlink=Wendelin Werner | title=Lectures on probability theory and statistics | arxiv=math.PR/0303354 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Math. | mr=2079672 | year=2004 | volume=1840 | chapter=Random planar curves and Schramm–Loewner evolutions | pages=107–195|doi=10.1007/b96719|isbn=978-3-540-21316-1}}
*{{Citation | last1=Werner | first1=Wendelin | authorlink=Wendelin Werner | title=Conformal restriction and related questions | url=http://projecteuclid.org/euclid.ps/1117553605 | doi=10.1214/154957805100000113 | mr=2178043 | year=2005 | journal=Probability Surveys | volume=2 | pages=145–190}}
{{Refend}}

==外部リンク==
*{{citation|url=http://www.msri.org/publications/ln/msri/2001/percolation/schramm/2/index.html |title=Tutorial: SLE |last2= Schramm|last1= Lawler|last3= Werner |year=2001
|place= [[Lawrence Hall of Science]], [[University of California, Berkeley]]}} ( video of MSRI lecture)
*{{citation|first=Oded |last=Schramm|url=http://www.msri.org/publications/ln/msri/2001/percolation/schramm/1/index.html |title=Conformally Invariant Scaling Limits and SLE|publisher=[[MSRI]] |year=2001}} (Slides from a talk.)

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