シュリニヴァーサ・ラマヌジャンのソースを表示

{{Infobox scientist
|name                    = シュリニヴァーサ・アイヤンガル・ラマヌジャン<br />Srinivasa Aiyangar Ramanujan
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|birth_place             = {{IND1885}}・[[マドラス管区]][[イーロードゥ]]（現・[[タミル・ナードゥ州]][[イーロードゥ県]]）
|death_date              = {{死亡年月日と没年齢|1887|12|22|1920|4|26}}
|death_place             = {{IND1885}}・[[マドラス管区]][[チェンナイ|マドラス]]チェットペット
|death_cause             = 病死
|residence               = [[マドラス管区]]クンバコナム
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|nationality             = {{IND1885}}
|field                   = [[数論]]<br/>[[保型形式]]
|alma_mater              = [[パッチャイヤッパル大学]]
|academic_advisors       = [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]
|known_for               = [[ランダウ・ラマヌジャンの定数]]<br />モックテータ関数<br />[[ラマヌジャン予想]]<br />ラマヌジャン素数<br />ラマヌジャン・ソルドナー定数<br />ラマヌジャンのテータ関数<br />[[ラマヌジャンの和公式]]<br />[[ロジャース・ラマヌジャン恒等式]]
|influences              = [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]
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}}
'''シュリニヴァーサ・ラマヌジャン'''（Srinivasa Ramanujan {{IPAc-en|ˈ|s|r|iː|n|ᵻ|v|ɑː|s|ə|_|r|ɑː|ˈ|m|ɑː|n|ʊ|dʒ|ən}};<ref>{{cite book|last1=Olausson|first1=Lena|last2=Sangster|first2=Catherine|year=2006|title=Oxford BBC Guide to Pronunciation|publisher=Oxford University Press|page=322|isbn=978-0-19-280710-6}}</ref> 出生名:Srinivasa Ramanujan Aiyangar {{IPA-ta|sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar|IPA}}, {{lang-ta|சீனிவாச இராமானுஜன்}} {{IPA-ta|sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən||Srinivasa_ramanujan_wikipedia.ogg}}、[[1887年]][[12月22日]] - [[1920年]][[4月26日]]）<ref name="ODNB-Ramanujan">{{Cite ODNB|id=51582|title=Ramanujan, Srinivasa|year=2004|first=Robert|last=Kanigel}}</ref>は、[[イギリス領インド帝国|インド]]の[[数学者]]。[[純粋数学]]の正式な教育をほとんど受けていないが、極めて直感的かつ天才的な閃きにより、[[解析学|数学的解析]]、[[数論|整数論]]、[[級数|無限級数]]、[[連分数]]などのほか、当時解決不可能とされていた数学的問題の解決にも貢献し、「'''インドの[[魔術師]]'''」の異名を取った<ref>{{Cite book|和書|title=別冊ニュートン 数学の世界[増補第3版]楽しみながら科学と数学に強くなろう|date=2019年11月5日|publisher=ニュートンプレス|page=102}}</ref>。

== 生涯 ==
[[ファイル:Ramanujanhome.jpg|thumb|クンバコナムのサランガパニー通りにあるラマヌジャンの生家。]]
[[1887年]]、南インドの[[タミル・ナードゥ州]][[タンジャーヴール県]][[:en:Kumbakonam|クンバコナム]]の極貧の[[バラモン]]階級の[[家庭]]に生まれた。幼少の頃より[[母親]]から徹底した[[ヒンドゥー教]]の[[宗教教育]]を受ける。[[高等学校|高校]]では全科目で成績が悪く、高等数学の正式な教育は受けていなかった<ref>「脳のなかの幽霊」[[V・S・ラマチャンドラン]]，1999</ref>。しかし15歳のとき、[[ジョージ・カー (数学者) |ジョージ・カー]]という数学教師が著した『'''純粋数学要覧'''』 (''[[w:Synopsis of Pure Mathematics|Synopsis of Pure Mathematics]]'') という受験用の数学公式集に出会ったことで[[数学]]に没頭する。

[[奨学金]]を得て[[マドラス]]の[[パッチャイヤッパル大学]]に入学したが、数学に没頭するあまり他科目の[[授業]]に出席しなくなり、[[1906年]]12月にFellow of Arts号の学位認定試験に落第し、次の年度にも再び落第したため、奨学金を打ち切られて[[学位]]を得ないまま[[中途退学]]する<ref>{{harvp|Kanigel|1991|pp=55 f}}。{{harvp|カニーゲル|1994|pp=59-61}}。</ref>。しばらく[[独学]]で数学の[[研究]]を続けていたが、やがて港湾事務所の[[事務職|事務員]]の職に就き、そこで[[上司]]の理解もあって、仕事を早めに終えて数学の研究に没頭していた。

ラマヌジャンは当初、孤立して自らの数学的研究を展開していたが、[[1913年]]に周囲の勧めもあって、[[イギリス]]のヒル（[[:en:Micaiah John Muller Hill|Micaiah John Muller Hill]]）教授、[[ヘンリー・フレデリック・ベイカー|H. F. ベイカー]]教授、[[アーネスト・ウィリアム・ホブソン|ホブソン]]教授に研究成果を記した[[手紙]]を出すも、全て黙殺される{{Efn2|[[ハンス・アイゼンク]]は「彼は、第一線のプロの数学者たちに自分の研究に興味を持ってもらおうとしたが、そのほとんどは失敗に終わった。彼が見せなければならないものは、あまりに目新しく、あまりに見慣れないもので、しかも変わった方法で提示されるため、彼らは気にかけることができなかったのだ。」<ref>[[ハンス・アイゼンク|Hans Eysenck]] (1995). ''Genius'', p. 197. Cambridge University Press, {{ISBN2|0-521-48508-8}}.</ref>とする。}}。だが[[ケンブリッジ大学]]の[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ゴドフリー・ハーディ]]は、ラマヌジャンの手紙を読み、最初は「狂人のたわごと」程度にしかとらなかったものの、やがてその内容に驚愕するようになる{{Efn2|ハーディは彼の手紙について、「一目見ただけで最高の数学者によって書かれたことがわかる」と述べ、ラマヌジャンを[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]や[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ|ヤコビ]]といった天才的数学者と比較している。}}。ラマヌジャンの成果には明らかな間違いや既知のものもあるが、中には「この分野の権威である自分でも真偽を即断できないもの」「自分が証明した未公表の成果と同じもの」がいくつか書かれていたからである<ref>{{harvp|藤原|2002|p=163}}。</ref><ref name="Hardy1940_lecI">{{harvp|Hardy|1940|loc=Lecture I}}</ref>。
[[ファイル:RamanujanCambridge.jpg|thumb|right|[[ケンブリッジ大学]][[トリニティ・カレッジ (ケンブリッジ大学)|トリニティ・カレッジ]]にて他の科学者と共に撮影。中央がラマヌジャン。]]
[[ファイル:Whewell's Court, Trinity College, Cambridge.jpg|thumb|right|upright|[[ケンブリッジ大学]][[トリニティ・カレッジ (ケンブリッジ大学)|トリニティ・カレッジ]]ヒューウェル寮]]
こうしてハーディは、ラマヌジャンの研究が並外れたものであることを認め、彼をケンブリッジ大学に招聘した。ラマヌジャンは[[エリック・ハロルド・ネヴィル|E. H. ネヴィル]]の力を借りて[[1914年]]に渡英する。[[王立協会フェロー]]に選出されるが{{Efn2|ラマヌジャンは[[トリニティ・カレッジ (ケンブリッジ大学)|トリニティ・カレッジ]]のフェローに選ばれた最初のインド人となった。}}、イギリスでの生活に馴染むことができず、やがて身体的な衰弱を来たして[[病気]]を患い{{Efn2|ラマヌジャンは敬虔な[[ヒンドゥー教]]徒であり、厳格な[[菜食主義]]者だったうえ、「バラモン以外のものが料理したものは不浄」として口にせず、あまつさえハーディとの共同研究に没頭するあまり、「30時間休まずに研究して20時間眠り続ける」というような不規則な生活を続けていた<ref>{{Cite book|和書|title=別冊ニュートン 数学の世界[増補第3版]楽しみながら科学と数学に強くなろう|date=2019年11月5日|publisher=ニュートンプレス|page=103}}</ref>。[[第一次世界大戦]]下のイギリスは[[ドイツ]]による[[通商破壊]]もあり、栄養の確保が困難だったことも拍車をかけたとされる。なお、ラマヌジャンの病気については、[[結核]]か重度の[[ビタミン欠乏症]]と言われていたが、近年の研究では[[赤痢]]を併発していたことから[[アメーバ]]性[[肝炎]]とされている<ref>D. A. B. YOUNG, Ramanujan's illness, Current Sci. 67, no. 12 (1994), 967–972</ref>。}}、[[1919年]]にインドへ帰国。[[1920年]]に32歳の若さで病死した。ハーディへ宛てた最後の手紙には、彼がまだ新しい数学的アイデアや定理を生み出し続けていたことを物語っている。

=== 没後 ===
1997年にラマヌジャンの影響を受けた数学のあらゆる分野の研究を掲載するための科学雑誌『ラマヌジャン・ジャーナル』が創刊された<ref name="ono">{{Cite journal|last=Ono|first=Ken|author-link=Ken Ono|date=June–July 2006|title=Honoring a Gift from Kumbakonam|url=https://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]]|volume=53|issue=6|pages=640–51 [649–50]|accessdate=23 June 2007}}</ref>。

[[2014年]]にインドで「{{仮リンク|ラマヌジャン (映画)|en|Ramanujan (film)|label=ラマヌジャン}} 」という[[伝記映画]]が制作され、[[2015年]]にはイギリスで「[[奇蹟がくれた数式]]」という伝記映画が制作された。

== 業績 ==
ラマヌジャンはその短い生涯の間に、独自に3,900近くの結果（ほとんどが[[恒等式]]と[[方程式]]）をまとめあげた<ref>{{Cite book|title=Ramanujan's Notebooks|volume=Part 5|last=Berndt|first=Bruce C.|date=12 December 1997|publisher=Springer Science & Business|isbn=978-0-38794941-3|page=4}}</ref>。[[:en:Ramanujan prime|ラマヌジャン素数]]、[[:en:Ramanujan theta function|ラマヌジャンθ関数]]、[[自然数の分割|分割式]]、[[:en:Mock theta function|模擬θ関数]]など、彼の独創的で非常に型破りな結果は、全く新しい分野を開拓し、膨大な量の研究を促すことになった。彼の何千もの結果のうち、1, 2ダース分を除いて、すべてが正しいことが現在証明されている<ref name="frontline">{{Cite journal|date=August 1999|title=Rediscovering Ramanujan|url=https://web.archive.org/web/20130925201456/http://www.frontline.in/static/html/fl1617/16170810.htm|journal=[[Frontline (magazine)|Frontline]]|volume=16|issue=17|page=650|accessdate=20 December 2012}}</ref>。

渡英後に発表した40編の[[論文]]の他には、渡英前の数学的発見を記した[[ノートブック|ノート]]が3冊、帰国後に記された「失われたノートブック」{{Efn2|1976年に発見された。}}が残っている。彼のノートには、発表された結果や未発表の結果がまとめられており、「新しい数学的アイデアの源」として、彼の死後数十年にわたって分析・研究されてきた。特に「失われたノートブック」には、晩年の発見が記されており、数学者たちの間で大きな話題となった。ただし、[[大学]]で系統的な[[数学教育]]を受けなかったため、彼は「[[証明 (数学)|証明]]」という概念を持っておらず、得た「[[定理]]」に関して彼なりの理由付けをするに留まっており{{Efn2|例えば「寝ている間に[[:en:Namagiri_Thayar|ナーマギリ女神]]が教えてくれた」など。}}、ラマヌジャンの業績は理解されにくかった。共同研究を行っていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半[[ダース]]もの「定理」を1日かけて証明するという方法をとった{{Efn2|ハーディのノートには、ラマヌジャンが画期的な新[[定理]]を発表したことが記されており、その中には「私を完全に打ち負かしたもの、今まで全く見たことのないもの」<ref>{{harvp|Hardy|1940|p=9}}</ref>、また{{要出典|範囲=最近証明されたが非常に高度な結果もあった|date=2023年1月}}。}}。その後、多くの数学者の協力により、彼が26歳までに発見した定理に関して証明が行われた。その作業が完了したのは[[1997年]]であり、「ノートブック」と「失われたノートブック」の全文が出版完了したのは[[2018年]]である。ラマヌジャンの死後1世紀近く経った現在も、彼の著作の中にある「単純な性質」や「類似した結果」というコメント自体が、疑われていなかった深遠かつ微妙な整数論の結果であることが、研究者たちによって発見され続けている<ref name="ono_simpleproperties">[https://www.newscientist.com/article/dn20039-deep-meaning-in-ramanujans-simple-pattern/ Deep meaning in Ramanujan's 'simple' pattern] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170803140127/https://www.newscientist.com/article/dn20039-deep-meaning-in-ramanujans-simple-pattern/|date=3 August 2017}}</ref><ref name="ono_mock">[https://www.newscientist.com/article/mg21628904-200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius/ "Mathematical proof reveals magic of Ramanujan's genius"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170709084351/https://www.newscientist.com/article/mg21628904-200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius/|date=9 July 2017}}. ''[[ニュー・サイエンティスト|New Scientist]]''.</ref>。

渡英前のノートに記された公式群は、既に知られていたものも多かったが、[[連分数]]や代数的級数などに関しては新しい発見があった。渡英後に発表したラマヌジャンの[[保型関数|保型形式]]、それに関連した[[ラマヌジャン・ピーターソン予想|ラマヌジャン予想]]は重要な[[数学上の未解決問題|未解決問題]]であった{{Efn2|[[1974年]]に[[ピエール・ルネ・ドリーニュ|ドリーニュ]]が解決している。}}。その他、[[ロジャース・ラマヌジャン恒等式]]の再発見や確率論的[[整数論]]を創始した功績も高く評価されているが、帰印後のハーディへの手紙に記された「[[:en:Mock_theta_function|モックテータ関数]]」の発見が最高の仕事と評されている。後にハーディはラマヌジャンの仕事について、以下のように述懐している<ref name="Hardy1940_lecI"></ref>。

{{Quotation|（ラマヌジャンの仕事は）真に偉大な仕事の単純さと不可避性を備えてはいなかった。それは奇妙さが減れば、より偉大になっただろう。しかしそこには誰も否定できない天賦の才能があった。それは深く無敵の独創性である。もし彼がもっと若い頃に発見され、馴らされていたら、おそらくもっと偉大な数学者になって、新しい発見やより重要な発見をしただろう。一方、彼はそれほど「ラマヌジャン的」でなくなり、ヨーロッパの教授風になって、得るものより失うもののほうが大きかったかもしれない。}}

また、ハーディは1点から100点までの点数で数学者をランク付けしていた。それによると、ハーディ自身は25点、[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]が30点、[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]が80点、そしてラマヌジャンが100点だった<ref>{{harvp|Kanigel|1991|p=226}}。{{harvp|カニーゲル|1994|p=221}}。</ref>。ハーディは謙遜して自分をわずか25点にしか評価していないが、ラマヌジャンに100点を与えたのは、彼の業績に対してハーディが抱いていた尊敬の度合いを表している{{Efn2|ハーディの採点基準では採点外のその他大勢が存在するため、25点や100点というのは「点数を付けるに値する」対象内での評価点となる。ハーディ自身己の業績にかなりの自負を持っているが、それでも25点程度だろうとした上でラマヌジャンを100点と評価している。}}。

彼の解法の発想について'''「寝ている間にナーマギリ女神が教えてくれた」'''と発した言葉は有名である。

=== ラマヌジャンの ''τ'' 関数 ===
ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。
:<math>\Delta =x \prod^{\infin}_{n=1} (1-x^n)^{24} = \sum^{\infin}_{n=1} \tau(n)x^n</math>
彼は ''x'' のべきの係数 <math>\tau (n)</math> が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから
:<math>\sum^{\infin}_{n=1} \tau(n) n^{-s}</math>
を考えて、そのオイラー積表示
:<math>\prod_p \frac{1}{1-\tau (p)p^{-s} +p^{11-2s}}</math>
を与えた{{Efn2|正確には「証明」していない。}}。このオイラー積には ''p''<sup>&minus;2''s''</sup> という ''p''<sup>&minus;''s''</sup> の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである（「2次のゼータ」の発見）。

=== タクシー数 ===
ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。

[[1918年]]2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。
:「乗ってきたタクシーのナンバーは[[1729]]だった。さして特徴のない数字だったよ」
これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。
:「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの[[立方数]]の和で表せる最小の数です」
実は、1729は次のように表すことができる。
:1729 = 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> = 10<sup>3</sup> + 9<sup>3</sup>
すなわち、1729が「''A'' = ''B''<sup>3</sup> + ''C''<sup>3</sup> = ''D''<sup>3</sup> + ''E''<sup>3</sup>」という形で表すことのできる数 ''A'' のうち最小のものであることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである。

<!--これは、ラマヌジャンがあらゆる数に興味を持ち、数に対する探究心が高かったことを表す逸話である。当時は[[フェルマーの最終定理]]が数学界の主な話題であり、小さな[[立方数]]が頭に入っていたとすれば1729から1728 (= 12<sup>3</sup>)や729 (= 9<sup>3</sup>)が思い浮かぶのも不思議ではない。1と1000がそれぞれ立方数であることも明らかなので、あとは1729が最小であるかどうかの計算だけである。この逸話は、ラマヌジャンの計算能力が高かったというような意味合いで語られることがあるが、実際は、様々な研究をしていたラマヌジャンは以前からこれを知っていて、それを思い出したのであろう。-->
このようなことから、[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は「全ての[[自然数]]はラマヌジャンの個人的な友人だ」と述べたと言われる。この逸話のため、1729は俗に'''ハーディ・ラマヌジャン数'''や'''[[タクシー数]]'''などと呼ばれており、[[スタートレック]]や[[フューチュラマ (アニメ)|フューチュラマ]]などのSFや、[[ハッカー文化]]の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。ちなみに1729は、[[カーマイケル数]]でもある。

この逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。
:635 318 657 = 134<sup>4</sup> + 133<sup>4</sup> = 158<sup>4</sup> + 59<sup>4</sup>

補足：上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数（0は含まず）を3乗した数として負の数まで含め、また絶対値が違う組み合わせからなる値は91が最小（[[絶対値]]が最小）である。
:91 = 6<sup>3</sup> + (&minus;5)<sup>3</sup> = 4<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup>

{{main|タクシー数|キャブタクシー数|一般化タクシー数}}

====タクシー数とK3曲面====
ラマヌジャンが1729という数字を何故意識していたのか、没後90年以上よく分っていなかったが、[[21世紀]]に入って理由が判明した。

[[2013年]]、[[エモリー大学]]の[[ケン・オノ]]は{{仮リンク|アンドリュー・グランヴィル|en|Andrew Granville}}と共に[[ケンブリッジ大学]]が所蔵するラマヌジャンの遺稿を調査した際、インド帰国後の1919年に病床で記したノートの中に、1729の計算とそれにまつわる覚書があるのを発見した。オノとグランヴィルが驚いたことに、ラマヌジャンはその中で次数3である場合の[[フェルマーの最終定理]]の「反例に近い値」を無限個生成する式を与えていた<ref name="carolClark">{{citation| first=Carol | last=Clark | url=https://phys.org/news/2015-10-mathematicians-magic-key-ramanujan-taxi-cab.html | title=Mathematicians find 'magic key' to drive Ramanujan's taxi-cab number | year=2015 | publisher=Phys | date=2015-10-14 | accessdate=2017-04-18 }}</ref><ref>{{citation | first=Marianne | last=Freiberger | title=Ramanujan surprises again | url=https://plus.maths.org/content/ramanujan | year=2015 | publisher=Plus | date=2015-11-03 | accessdate=2017-04-21 }}</ref>。つまり、''a''<sup>3</sup> + ''b''<sup>3</sup> = ''c''<sup>3</sup> + 1 または ''a''<sup>3</sup> + ''b''<sup>3</sup> = ''c''<sup>3</sup> − 1を満たす ''a'', ''b'', ''c'' を探すという問題に対する答である。1729は10<sup>3</sup> + 9<sup>3</sup> = 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup>としてこの計算の中に現れる。

オノはこの発見を持ち帰り、彼の指導院生であるSarah Trebat-Lederと共に精査した結果、この時ラマヌジャンは答を導出する過程で1729と[[楕円曲線]]から今日で言う[[K3曲面]]を構成していたことを発見した<ref>{{citation | first1=Ken | last1=Ono | first2=Sarah | last2=Trebat-Leder | title=The 1729 K3 surface | url=https://resnumtheor.springeropen.com/articles/10.1007/s40993-016-0058-2 | year=2016 | date=2016-10-17 | accessdate=2017-04-18 | publisher=Springer | journal=Research in Number Theory }}</ref><ref>{{citation | first1=Ken | last1=Ono | first2=Sarah | last2=Trebat-Leder | title=Erratum to: The 1729 K3 surface | url=https://resnumtheor.springeropen.com/articles/10.1007/s40993-017-0076-8 | year=2017 | date=2017-02-10 | accessdate=2017-04-18 | publisher=Springer | journal=Research in Number Theory }}</ref>。これは[[アンドレ・ヴェイユ]]によるK3曲面の再発見と命名に30年以上先行する仕事である。更にラマヌジャンのK3曲面はランク≧2の楕円曲線を無限個生成するという特別な性質を持っていた。[[プリンストン大学]]の[[マンジュル・バルガヴァ]]はこれを「これまで未知だった性質を示す素晴らしい例」であり、数学にまた新たな発展をもたらすだろうと述べた<ref name="carolClark"/>。

具体的には、ラマヌジャンは一般に
:<math>X^3+Y^3=Z^3+W^3</math>
を考察し{{Efn2|有理数解を与える一般的な公式は既に[[レオンハルト・オイラー]]によって発見されており、そこから無限個の整数解が得られるが、すべての整数解を与える一般的な公式は知られていない。なお、[[アドルフ・フルヴィッツ]]によって単純化された公式が{{harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=Theorem 235}}に掲載されている。}}、1913年に無限個の解を与える公式
:<math>(6A^2-4AB+4B^2)^3+(-3A^2-5AB+5B^2)^3=(4A^2-4AB+6B^2)^3+(5A^2-5AB-3B^2)^3</math>
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。

オノらは、上記の整数解で ''t'' = ''A''/''B'' としたもの
:<math>(6t^2-4t+4)^3+(-3t^2-5t+5)^3=(4t^2-4t+6)^3+(5t^2-5t-3)^3</math>
は楕円曲線
:<math>X^3+Y^3=k(t), k(t)=63(3t^2-3t+1)(t^2+t+1)(t^2-3t+3)</math>
の2つの有理点を与え、さらにこの楕円曲線は関数体 <math>\mathbb{Q}(t)</math> 上の楕円曲線とみると階数2をもち、<math>(6t^2-4t+4, -3t^2-5t+5), (4t^2-4t+6, 5t^2-5t-3)</math> によって生成されることを示した。特に、与えられた有理数 ''t'' に対して（有限個の例外を除き）この楕円曲線は有理数上2以上の階数をもつ。また曲面
:<math>X^3+Y^3=k(Z)</math>
は楕円K3曲面であることを示したのである<ref>{{harvard citations|txt|first1=Ken|last1=Ono|first2= Sarah |last2=Trebat-Leder |year=2016|year2=2017}}</ref>。

=== 円周率の公式 ===
ラマヌジャンは、今日では[[モジュラー関数]]と呼ばれる考えを元に、次の[[円周率]]の公式を発見した。<!-- ここら辺、詳しい方がいましたら補足お願いします -->
:<math>\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}</math>

:<math>\frac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^nn!)^4}</math>

これらの公式は、[[収束]]が非常に早いものとして知られている。[[1985年]]に、ウィリアム・ゴスパー (William Gosper) は、1番目の式を用いて、当時としては世界最高の1752万6200桁を計算した。ただしラマヌジャンは証明を書き残していなかったので、ゴスパーの計算が正しく円周率を与えるかは保証されなかったが、得られた結果はそれまでに計算されていた円周率の値と整合したので、式の正しさのある意味で実験的な「証明」を与えたことになる。これらの式はその後に数学的に正当な方法で証明された。

また、次のような円周率に関する[[近似]]式も発見している。

:<math>\pi \approx \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525\cdots</math>
:<math>\pi \approx \frac{63\left(17+15\sqrt5\right)}{25\left(7+15\sqrt5\right)} = 3.1415926538\cdots</math>
:<math>\frac{1}{2\pi \sqrt2} \approx \frac{1103}{99^2} \iff \pi \approx 3.1415927\cdots</math>

== 著作 ==
* {{Cite book|title=Collected Papers of Srinivasa Ramanujan|author=Srinivasa Ramanujan|coauthors=[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G. H. Hardy]], P. V. Seshu Aiyar, B. M. Wilson, {{仮リンク|ブルース・バーント|en|Bruce C. Berndt}}|publisher=[[アメリカ数学会|AMS]]|year=2000|isbn=0-8218-2076-1}}
:原書は1927年にラマヌジャンの死後に出版された。数学の専門誌に掲載されたラマヌジャンの論文37編を収録。第3版にはブルース・バーントの注釈が追加されている。
* {{Cite book|title=Notebooks (2 Volumes)|author=S. Ramanujan|publisher=Tata Institute of Fundamental Research|location=Bombay, India|year=1957}}
:ラマヌジャンによって記されたノートブックの影印を収録。
* {{Cite book|title=The Lost Notebook and Other Unpublished Papers|author=S. Ramanujan|publisher=Narosa|location=New Delhi, India|year=1988|isbn=3-540-18726-X}}
:ラマヌジャンの“失われたノートブック”の影印を収録。
* {{Cite web|author=K. Srinivasa Rao|url=https://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/collectedpapers/question/qJIMS.htm|title=Questions by Srinivasa Ramanujan|publisher=Journal of the Indian Mathematical Socity|accessdate=2012-12-22}}
* {{Cite book|title=Notebooks (2 Volumes)|author=S. Ramanujan|publisher=Tata Institute of Fundamental Research|location=Bombay, India|year=2012}}
:[[チェンナイ]]のRoja Muthiah Research Libraryにより直筆草稿よりスキャンされたマイクロフィルムから作成。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2|2}}
=== 出典 ===
{{Reflist|3}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|last=Kanigel|first=Robert|year=1991|title=The Man Who Knew Infinity|edition=Paperback|publisher=Charles Scribner's Sons|location=New York|isbn=0-671-75061-5|ref=harv}}　映画『[[奇蹟がくれた数式]]』の原作
**{{wikicite|ref={{sfnref|カニーゲル|1994}}|reference=ロバート・カニーゲル『無限の天才　夭折の数学者・ラマヌジャン』田中靖夫訳[[工作舎]]  1994/2016 ISBN 978-4-87502-476-7}} - {{harvp|Kanigel|1991}}の和訳。
*{{Cite book|和書|author=藤原正彦|authorlink=藤原正彦|date=2002年5月|title=天才の栄光と挫折　数学者列伝|series=[[新潮選書]]|publisher=新潮社|isbn=4-10-603511-1|ref={{sfnref|藤原|2002}}}}
**{{Cite book|和書|author=藤原正彦|year=2008|month=9|title=天才の栄光と挫折　数学者列伝|series=[[文春文庫]]|publisher=文藝春秋|isbn=978-4-16-774902-6|ref={{sfnref|藤原|2008}}}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Rankin |first2=Robert A. |year=1995 |title=Ramanujan: Letters and Commentary |volume=9 |publisher=[[American Mathematical Society]] |location=Providence, Rhode Island |isbn=0-8218-0287-9 |ref=harv}}
**{{Cite book|和書|author=ラマヌジャン|editor1=[[:en:Bruce C. Berndt|ブルース・バーン]]|editor2=[[:en:Robert A. Rankin|ロバート・ランキン]]|translator=[[細川尋史]]|date=2001年6月|year=2001a|title=ラマヌジャン書簡集|publisher=シュプリンガー・フェアラーク東京|isbn=4-431-70777-8|ref=harv}}
**{{Cite book|和書|author=ラマヌジャン|editor=ブルース・バーント・ロバート・ランキン|translator=細川尋史|date=2001年6月|year=2001b|title=ラマヌジャン書簡集|publisher=丸善出版|isbn=978-4-621-06414-6|url=https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294359.html|ref=harv}}
*{{Cite book |title= Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work|first=Godfrey Harold|last=Hardy|authorlink1=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|publisher=Cambridge University Press|year=1940|isbn=0-8218-2023-0|ref=harv }}, Reiisued AMS Chelsea (1999)
**{{Cite book |和書|title= ラマヌジャン その生涯と業績に想起された主題による十二の講義|author1=G.H. ハーディ|authorlink1=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|others= 髙瀬幸一（訳）|series=数学クラシックス|publisher=丸善出版|year=2016|isbn=978-4621065297|ref={{sfnref|Hardy2016}} }}

=== 関連文献 ===
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |editor=Butzer, P. L.; Oberschelp, W.; Jongen, H. Th. |year=1998 |title=Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe |publisher=Brepols Verlag |location=Turnhout, Belgium |pages=119–146 |isbn=2-503-50673-9 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~berndt/articles/aachen.pdf |format=PDF |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Andrews |first2=George E. |year=2005 |title=Ramanujan's Lost Notebook |volume=Part I |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-25529-X |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Andrews |first2=George E. |year=2008 |title=Ramanujan's Lost Notebook |volume=Part II |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-77765-8 |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Andrews |first2=George E. |year=2012 |title=Ramanujan's Lost Notebook |volume=Part III |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4614-3809-0 |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Andrews |first2=George E. |year=2013 |title=Ramanujan's Lost Notebook |volume=Part IV |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4614-4080-2 |ref=harv}}
* {{Citation |last1=Berndt |first1=Bruce C. |last2=Andrews |first2=George E. |year=2018 |title=Ramanujan's Lost Notebook |volume=Part V |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-3-3197-7832-7 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |first2=Robert A. |last2=Rankin |title=Ramanujan: Essays and Surveys |volume=22 |location=Providence, Rhode Island |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=2001 |isbn=0-8218-2624-7 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=2006 |title=Number Theory in the Spirit of Ramanujan |volume=9 |publisher=[[American Mathematical Society]] |location=Providence, Rhode Island |isbn=0-8218-4178-5 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=1985 |title=Ramanujan's Notebooks |volume=Part I |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-96110-0 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=1999 |title=Ramanujan's Notebooks |volume=Part II |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-96794-X |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=2004 |title=Ramanujan's Notebooks |volume=Part III |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-97503-9 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=1993 |title=Ramanujan's Notebooks |volume=Part IV |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-94109-6 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Berndt |first=Bruce C. |year=2005 |title=Ramanujan's Notebooks |volume=Part V |publisher=Springer |location=New York |isbn=0-387-94941-0 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Hardy |first=G. H. |year=1978 |title=Ramanujan  |publisher=Chelsea Pub. Co. |location=New York |isbn=0-8284-0136-5 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Hardy |first=G. H. |year=1999 |title=Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |isbn=0-8218-2023-0 |ref=harv}}
* {{cite book | last1=Hardy | first1=G.H. | author1-link=G. H. Hardy | last2=Wright | first2=E.M. | author2-link=E. M. Wright | edition=6th | others=Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman.  Foreword by Andrew Wiles. | title=An Introduction to the Theory of Numbers | publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-921986-5 | mr= | zbl=1159.11001 | year=2008 | origyear=1938 | ref = harv}}
* {{Citation |last=Henderson |first=Harry |year=1995 |title=Modern Mathematicians |publisher=Facts on File Inc. |location=New York |isbn=0-8160-3235-1 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Kolata |first=Gina |date=19 Jun. 1987 |title=Remembering a 'Magical Genius' |journal=Science, New Series |volume=236 |issue=4808 |publisher=American Association for the Advancement of Science |pages=1519–1521 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Leavitt |first=David |year=2007 |title=The Indian Clerk |edition=paperback |publisher=Bloomsbury |location=London |isbn=978-0-7475-9370-6 |ref=harv}}
* {{Citation |last=Narlikar |first=Jayant V. |year=2003 |title=Scientific Edge: the Indian Scientist From Vedic to Modern Times |publisher=[[ペンギン・ブックス|Penguin Books]] |location=New Delhi, India |isbn=0-14-303028-0 |ref=harv}}
* {{cite journal |first1=Ken |last1=Ono |first2=Sarah |last2=Trebat-Leder |title=The 1729 K3 surface |journal=Res. Number Theory |volume=2 |pages= No. 26 |year=2016 |doi=10.1007/s40993-016-0058-2 }}
* {{cite journal |first1=Ken |last1=Ono |first2=Sarah |last2=Trebat-Leder |title=Erratum to: The 1729 K3 surface |journal=Res. Number Theory |volume=3 |pages= No. 12 |year=2017 |doi=10.1007/s40993-017-0076-8 }}
* {{Citation |last=Sankaran |first=T. M. |year=2005 |title=Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha |publisher=Kerala Sastra Sahithya Parishath |location=Kochi, India |language=[[マラヤラム語]] |ref=harv}}
* 黒川信重 (著,訳), 小山信也 (著,訳):「ラマヌジャン《ゼータ関数論文集》」、[[日本評論社]]、ISBN 978-4535798014（2016年2月17日）。

== 関連項目 ==
{{Commons&cat|Srinivasa Ramanujan}}
*[[円積問題]]
*[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ]]
*[[ラマヌジャンのタウ函数]]
*[[ブロカールの問題]]
*[[ラマヌジャン賞]]
*[[ラマヌジャンの和公式]]
*[[ラマヌジャン予想]]
*[[モーデル作用素]]
*[[ラマヌジャン (小惑星)]]
*[[1+2+3+4+...]]
*[[多重根号]]
*[[ラマヌジャングラフ]]

== 外部リンク ==
*[https://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/contentindex.html Ramanujan's papers and notebooks]
*{{MacTutor|id=Ramanujan|title=Srinivasa Aiyangar Ramanujan}}
*[http://www.jstor.org/stable/40391165 Nayandeep Deka Baruah, Bruce C. Berndt and Heng Huat Chan: "Ramanujan's Series for 1/π: A Survey", The American Mathematical Monthly, v116(7) (Aug-Sep.,2009),pp.567-587.]
*[http://anamat.unizar.es/jguillera/publications.html Jesús Guillera はRamanujan型の円周率を与える級数を多数与えている]

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