シューアの補題のソースを表示

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{{other uses|Schur's lemma (disambiguation)}}
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[[数学]]において、'''シューアの補題'''（シューアのほだい、{{lang-en-short|Schur's lemma}}）<ref>Issai Schur (1905) [https://books.google.co.jp/books?id=KwUoAAAAYAAJ&pg=PA406&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q&f=false "Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere"]（群指標の理論の新しい基礎）, ''Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin'', pages 406-432.</ref>とは、[[群の表現]]や[[体上の多元環|代数]]の[[表現論|表現]]に関する基本的できわめて有用な定理である。[[群 (数学)|群]]の場合には、シューアの補題は ''M'' と ''N'' が群 ''G'' の有限次元[[既約表現]]加群であり、&phi; が[[群の作用]]と可換な ''M'' から ''N'' への[[線型写像]]とすると、&phi; は[[可逆]]であるか、または &phi; = 0 である、となる。重要な場合が、M&nbsp;=&nbsp;N で &phi; が[[準同型#自己同型群・自己準同型環|自己準同型]]のときに起きる。シューアの補題は、[[イサイ・シューア]]の名前に因んでいる。彼はこの補題を使い、[[大直交性定理]]を証明し、[[群の表現|有限群の表現論]]の基礎を確立した。シューアの補題は、[[リー群]]や[[リー代数]]へ一般化されており、多くの部分は{{仮リンク|ジャック・ディクスミエ|en|Jacques Dixmier}}によるものである。

[[体上の多元環|代数]] ''A'' 上の既約[[環上の加群|加群]] ''M'', ''N'' の間の ''A''-準同型写像 &rho;: ''M'' &rarr; ''N'' の場合、シューアの補題を一言でいうと、準同型写像 &rho; は、同型か、または、零準同型であるとなる。特に、&rho; &ne; 0 かつ ''k'' が[[代数的閉体]]で既約加群 ''M'' と ''N'' が ''k'' 上有限次元であれば、''M'' から ''N'' への ''k''-準同型写像は &rho; のスカラー倍に限ること意味する。
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En [[mathématiques]] et plus précisément en [[algèbre linéaire]], le '''lemme de Schur''' est un [[lemme (mathématiques)|lemme]] technique utilisé particulièrement dans la théorie de la [[représentation des groupes]].

Il a été démontré en [[1907 en science|1907]] par [[Issai Schur]] dans le cadre de ses travaux sur la théorie des [[représentations d'un groupe fini]]<ref>{{article|lang=de|nom=I. Schur|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0132&DMDID=dmdlog10|titre=Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochenen linearen Substitutionen|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|périodique=J. Reine. Angew. Math.|volume=132|année= 1907|pages=85-137}}</ref>,

Ce lemme est à la base de l'analyse d'un [[caractère d'une représentation d'un groupe fini]]. il permet, par exemple de caractériser les [[groupe abélien fini|groupes abéliens finis]].
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== 文脈 ==
{{main|群の表現|マシュケの定理}}
'''シューアの補題'''は{{仮リンク|有限群の表現|fr|représentations d'un groupe fini}}論と[[半単純加群]]の多元環の研究の基礎の1つである。

有限次元 ''n'' のベクトル空間 ''E'' における群 ''G'' の表現は、''G'' から ''E'' の[[自己同型]]全体からなる[[一般線型群]] GL(''E'') への写像 ρ である。1896年の論文<ref>{{Cite journal|language=de|author=Von G. Frobenius|url=http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige?band=10-sitz/1896-2&seite:int=00000264|title=Über Gruppencharaktere|publisher=Sitzungsber. [[Académie de Berlin|K. Pr. Akad. Wiss. Berlin]]|year=1896}}</ref>において[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]] (Ferdinand Georg Frobenius) により開拓されたこの手法は大成功である。

3年後、{{仮リンク|ハインリッヒ・マシュケ|fr|Heinrich Maschke}} (Heinrich Maschke) はすべての表現は既約{{仮リンク|表現の直和|en|direct sum of representations}}であることを証明した<ref>{{cite journal|language=de|first=H.|last=Maschke|title=Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind|publisher=Math. Ann.|volume=52|year=1899|pages=363&ndash;368}}</ref>。表現 (''E'', ρ) が[[既約表現|既約]]であるとは、[[部分ベクトル空間|部分空間]] ''E'' と {0} が相異なりかつ ''G'' のすべての元 ''g'' に対し自己同型 ρ(''g'') により[[不変部分空間|不変な部分空間]]がその2つしかないことをいう。[[マシュケの定理]]は ''K'' の[[標数]]が ''G'' の位数を割り切らなければ ''G'' のすべての表現は既約表現の直和であるという定理である。したがって有限群のすべての表現を知ることはその既約表現を知ることに帰着し、他の表現はそれらの直和として得られる。

シューアの補題は次の重要な結果の証明に本質的な技術的補題である：既約表現は{{仮リンク|有限群の表現の指標|label=指標|fr|caractère d'une représentation d'un groupe fini}}により識別でき、これらの指標は pairwise に[[直交]]する。このアプローチは[[有限群]]の理論に重要な結果をもたらす。これにより最終的に[[単純群]]の分類ができるが、{{仮リンク|フェイト・トンプソンの定理|label=位数が奇数のすべての有限群は可解である|fr|Théorème de Feit et Thompson}}という[[ウィリアム・バーンサイド]]の予想のような結果の証明もできる。この結果は[[ジョン・G・トンプソン|トンプソン]] (Thompson) が1970年に[[フィールズ賞]]を受賞した理由である。

この補題は他の文脈においても有用であるが表現の場合が最も重要である。

== 加群の言葉による定式化 ==
{{math theorem|
''M'' と ''N'' を[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の[[単純加群]]とすると、任意の ''R''-加群[[準同型写像]] &rho;: ''M'' &rarr; ''N'' は同型であるかまたは 0 である。特に、単純加群の[[自己準同型環]]は、[[斜体 (数学)|斜体]]である<ref>Lam (2001), {{Google books quote|id=f15FyZuZ3-4C|page=33|text=Schur's Lemma|p. 33}}.</ref>。  
}}

&rho; が ''R''-加群の準同型写像であるという条件は、すべての ''m'', ''n'' &isin; ''M'' と ''r'' &isin; ''R'' に対し、
:<math>\rho(n + m) = \rho(n) + \rho(m), \quad \rho(rm) = r\rho(m)</math>
であることを意味する。

群 ''G'' の体 ''k'' 上のベクトル空間 ''V'' における任意の表現はそのまま ''G'' の[[群環]] ''k''[''G''] 上の加群 ''V'' とみることができるので、群のバージョンは加群のバージョンの特別な場合である。

{{math theorem|1=
(''V'', ρ) と (''W'', τ) を ''G'' 上の既約表現とする。線型写像 ''f'': ''V'' → ''W'' が
:任意の ''g'' ∈ ''G'' に対して ''f''ρ(''g'') = τ(''g'') ''f'' 
を満たせば、''f'' = 0 であるか、あるいは（ρとτの次数が等しく）''f'' は同型写像である。
}}

シューアの補題はよく次の特別な場合に適用される。''R'' が体 ''k'' 上の[[体上の多元環|代数]]であり、ベクトル空間 ''M'' = ''N'' は ''R'' の単純加群であるとすると、加群 ''M'' の[[自己準同型環]]は ''k'' 上の[[可除環]]であることを、シューアの補題は示している。''M'' が有限次元であれば、この可除環も有限次元である。''k'' が複素数体であれば、唯一の選択肢はこの可除環が複素数体となることである。このようにして、加群 ''M'' の自己準同型は「可能な限り小さい」。言い換えると、''R'' からくるすべての変換と可換であるような ''M'' の線型変換は、恒等変換のスカラー倍しかありえない。

より一般的に、このことは[[代数的閉体]] ''k'' 上の任意の代数 ''R'' と高々[[可算]]次元の任意の単純加群 ''M'' に対して成り立つ。''R'' からくるすべての変換と可換であるような ''M'' の線型変換は、恒等変換のスカラー倍だけである。

体が代数的閉体ではない場合は、自己準同型環ができるだけ小さいときに依然として興味がある。k-代数上の単純加群は、その自己準同型環が k と同型のときに、{{仮リンク|絶対既約|label=絶対単純|en|absolutely irreducible}}(absolutely simple)という。このことは一般に、体 ''k'' 上で既約であるということよりも強い条件で、加群が k の代数的閉体上でさえ既約であることを意味する。

== 系 ==
上記主張の系として次の定理が得られる。
{{math theorem|1=
''k'' が代数的閉体であるとき、(''V'', ρ) を ''G'' の既約表現とすると、任意の ''g'' ∈ ''G'' に対し ρ(''g'') と可換な自己準同型 ''f'' は λid (λ∈''k'') の形となる。
}}

== 行列の形式 ==
''G'' を複素数の[[行列群]]とすると、''G'' は複素数を要素とする ''n'' 次正方行列のある集合であり、''G'' は[[行列の積]]と行列の逆行列をとることに対し閉じている。さらに、''G'' が既約であるとする。つまり、''G'' の作用の下に不変な[[線型部分空間]] ''V'' が O と空間全体以外には存在しないとする。言い換えると、

: すべての ''g'' &isin; ''G'' に対し <math>gV\subseteq V</math> であれば、<math>V=0</math> か、または、<math>V=\mathbb{C}^n</math> である。

単独の表現の特別な場合では、シューアの補題は、次のことを意味する。''A'' が ''n'' 次の複素数の行列で、''G'' のすべての行列と{{仮リンク|可換な行列|label=可換|en|Commuting matrices}}であるならば、''A'' は[[スカラー行列]]である。''G'' が既約でないならば、このことは成り立たない。たとえば、[[一般線型群|GL]](''n'','''C''') の中の対角行列全体の部分群 ''D'' を取ると、''D'' の中心は ''D'' であり、これはスカラー行列以外も含む。簡単な系として、[[アーベル群]]のすべて複素表現は 1 次元である。

[[シューアの補行列]](Schur complement)も参照。

== 非単純加群への一般化 ==
シューアの補題の加群のバージョンは、加群 ''M'' が必ずしも単純でない場合へも一般化できる。このことは、''M'' の加群としての性質と[[自己準同型環]]の間の関係を表している。

自己準同型環が[[局所環]]のとき、'''強直既約'''(strongly indecomposable)であるという。[[加群の長さ|有限の長さ]](finite length)を持つ加群のクラスは重要で、次のことが同値となるという性質を持っている{{harv|Lam|2001|loc=&sect;19}}。 
* 加群 M が[[直既約加群|直既約]] (indecomposable)である。
* M が強直既約である。
* M のすべての自己準同型が、べき零かまたは可逆である。

一般に、シューアの補題の逆は成り立たない。単純でないが、自己準同型環が[[斜体]]であるような加群が存在する。そのような加群は、必ずしも直既約でなく、有限群の複素群環のような半単純環上に存在することができない。しかし、[[整数]]環の上でさえ、[[有理数]]の加群は斜体である自己準同型、特に有理数体を持っている。群環に対しても、体の標数が群の位数を割るとき例が存在する。要素が 3個である体上の 5個の点の[[交代群]]の 1-次元表現の[[射影被覆]]の[[ジャコブソン根基|ヤコブソン根基]] (Jacobson radical)は、自己準同型環としては 3つの要素の体を持っている。<!-- 一般には、{{仮リンク|重複度を持たない|en|multiplicity-free}}(multiplicity-free){{仮リンク|単列加群|en|uniserial module}}(uniserial module)はそのような加群の元となる加群である。-->
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== シューアの補題 ==
''U'' をベクトル空間 ''E'' の[[自己準同型環]] End(''E'') の部分集合とする。''U'' が'''既約'''であるとは、''U'' のすべての元で不変な ''E'' の部分空間が ''E'' と {0} の 2 つしかないことをいう。

するとシューアの補題は以下のような主張である。

{{math theorem|''E'' と ''F'' を ''K'' ベクトル空間で ϕ を ''E'' から ''F'' への [[零写像|0]] でない[[線型写像]]とする。
:1. End(''E'') の既約部分集合 ''U'' であって
::<math>\forall u \in U \quad \exists v \in L(F) \quad \phi \circ u = v \circ \phi </math>
:なるものが存在すれば、ϕ は[[単射]]である。
:2. End(''F'') の既約部分集合 ''V'' であって
::<math>\forall v \in V \quad \exists u \in L(E) \quad \phi \circ u = v\circ \phi</math>
:なるものが存在すれば、ϕ は[[全射]]である。
}}
{{math proof|continue=
:1. ''N'' を ''ϕ'' の[[核 (数学)|]]とする。この部分空間は ''ϕ'' が零写像でないから ''E'' 全体ではない。''N'' はすべての写像 ''u'' &isin; ''U'' に対して安定である、なぜならば
::<math>\forall u\in U\quad \exists v\in L(F)\quad \phi\circ u(N)=v\circ\phi (N)=\{0\} </math>
:であるからで、したがって ''u''(''N'') は ''N'' に含まれる。''U'' の既約性により ''N'' は {0} である。<br />
:2. ''M'' を ''ϕ'' の[[像 (数学)|]]とする。''F'' のこの部分空間は ''ϕ'' が零写像でないから {0} につぶれていない。''M'' はすべての写像 ''v'' &isin; ''V'' によって安定である、なぜならば
::<math>\forall v \in V \quad \exists u\in L(E)\quad  v\circ \phi (E) = \phi \circ u (E) \subset \phi (E) </math>
:であるからで、したがって ''v''(''M'') は ''M'' に含まれる。''V'' の既約性により ''M'' は ''F'' に等しい。
|drop=yes}}
-->
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== 系 ==
=== 系 1 ===
''E'' を[[代数閉体]] ''K'' 上の[[有限次元ベクトル空間]]とし、''U'' を End(''E'') の既約部分集合とする。''E'' の自己準同型 ϕ が ''U'' のすべての元と可換であれば、ϕ は{{仮リンク|homothety|en|homothety}}である。
{{math proof|continue=
Id で[[恒等写像]]を表すと
:<math>\quad\forall\lambda\in K\quad\forall u\in U \quad (\phi -\lambda {\rm Id} )\circ u=u\circ (\phi-\lambda {\rm Id} ) </math>
が成り立つ。
シューアの補題によって ''ϕ'' &minus; λ Id は自己同型か零写像である。λ* を ''ϕ'' の固有値とすると ''ϕ'' &minus; λ* Id は自己同型ではないから、零写像であり、系が証明された。
|drop=yes}}

{{仮リンク|群のexponent|fr|Exposant d'un groupe|label=exponent}} が有限 ''e'' の群の表現の場合には、像のすべての自己同型は{{仮リンク|自己準同型写像の多項式|fr|polynôme d'endomorphisme#Idéaux annulateurs|label=消滅}}[[多項式]] ''X<sup>e</sup>'' &minus; 1 を持つ。したがって、この多項式が ''K'' 上分解すれば、系はなお成り立つ。

=== 系 2 ===
代数閉体上の有限次元空間においてアーベル群の任意の既約表現は 1 次元である。

実際、(''E'', ρ) をそのような表現とし ''D'' を ''E'' の直線とする。群の元 ''s'' に対し ρ<sub>''s''</sub> は表現のすべての自己準同型と可換である。系 1 より ρ<sub>''s''</sub> は homothety である。したがって ''D'' は不変であり ''E'' に等しい。
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== 有限群の場合 ==
=== 系 3 ===
(''E'', ρ<sub>''E''</sub>) と (''F'', ρ<sub>''F''</sub>) を ''G'' の ''K'' 上の 2 つの既約表現とし、''K'' の標数は群の位数 ''g'' を割り切らず、''K'' 上多項式 ''X<sup>g</sup>'' &minus; 1 は分解するとし<ref>複素数体のような標数 0 の代数閉体はこの場合である。</ref>、ψ を ''E'' から ''F'' への線型写像とする。''E'' から ''F'' への線型写像 φ を
:<math>\varphi=\frac1g\sum_{s\in G}\rho_F(s)\circ\psi\circ\rho_E(s)^{-1}</math>
で定義する。
# 2つの表現が同型でなければ φ は零写像である。
# 表現が同値であれば、φ は (1/''n'')Tr(ψ) 倍の homothety （拡大または縮小）である。
{{math proof|continue=
Vérifions dans un premier temps que φ satisfait la propriété suivante :
:<math>\forall t \in G \quad \varphi \circ \rho_E(t)=\rho_F(t) \circ \varphi \quad \mathrm{ou~encore}\quad \varphi =\rho_F(t) \circ \varphi \circ \rho_E(t)^{-1} \;</math>
Remarquons tout d'abord que, si ''t'' est un élément de ''G'', l'application de ''G'' dans ''G'' qui à ''s'' associe ''ts'' est une permutation de ''G'', . On en déduit que :
:<math>\forall t \in G \quad \rho_F(t) \circ \varphi \circ \rho_E(t)^{-1} = \frac {1}{g} \sum_{s \in G} \rho_F(t) \circ \rho_F(s)\circ\psi\circ \rho_E(s)^{-1} \circ \rho_E(t)^{-1}=\frac {1}{g} \sum_{s \in G} \rho_F(ts) \circ\psi\circ \rho_E(ts)^{-1} = \varphi </math>
#Comme les représentations ne sont pas isomorphes, φ ne peut être à la fois injective et surjective. Le lemme de Schur montre que, comme φ n'est pas un automorphisme, φ est l'application nulle.
#Si (''E'', ρ<sub>E</sub>) = (''F'', ρ<sub>F</sub>), les hypothèses du corollaire 1 sont vérifiées, ce qui montre que φ est une homothétie. Dans ce cas, l'expression définissant φ est la moyenne de ''g'' applications toutes semblables à ψ et donc ayant la même [[trace (algèbre)|trace]] que ψ. Les traces de φ et ψ sont donc égales. En notant λ le rapport de l'homothétie φ on a donc : ''n''λ = Tr(φ) = Tr(ψ). En appliquant tout ceci à un ψ arbitraire de trace 1, on trouve de plus que ''n'' est inversible dans ''K''.
|drop=yes}}

;注意
''K'' の標数 ''p'' が 0 でない場合、この系の証明は素数 ''p'' が ''n'' を割らないということも示している。''p'' は ''g'' を割らないと仮定したので、{{要出典範囲|date=2011年10月|既約表現の次数 ''n'' は必ず群の位数 ''g'' を割り切る}}ことは驚くべきことではない。

=== 系 4 ===
C'est un quatrième corollaire qui est utilisé dans la théorie des caractères. Il correspond à la traduction en termes de [[matrice (mathématiques)|matrices]] du corollaire précédent. Utilisons les notations suivantes : soient ''A'' et B deux représentations matricielles d'un groupe fini ''G'' d'ordre ''g'' sur un même corps ''K'' dont la caractéristique ne divise pas ''g'' et sur lequel le [[polynôme formel|polynôme]] ''X<sup>g</sup>'' – 1 soit scindé. Les dimensions respectives de ''E'' et ''F'' sont notées ''n'' et ''m''. L'image d'un élément ''s'' de ''G'' par ''A'' (resp. ''B'') est noté ''a<sub>ij</sub>''(''s'') (resp. ''b<sub>ij</sub>''(''s'')).

On a alors, sous les hypothèses du corollaire précédent :
#''Si les représentations A et B ne sont pas isomorphes, alors :''<center><math>\forall i,j \in [1,n] \; \forall k,l \in [1,m] \quad \sum_{s\in G} a_{ij}(s)b_{kl}(s^{-1})=0. </math></center>
#''En notant'' δ<sub>''ij''</sub> ''le [[symbole de Kronecker]], on a :''<center><math>\forall i,j,k,l \in [1,n] \quad \frac1g\sum_{s\in G} a_{ij}(s)a_{kl} (s^{-1})=\frac1n\delta_{il}\delta_{jk}. </math></center>
{{math proof|continue=
#Si ''C'' une matrice de dimension ''m''x''n'' de coefficients (''c''<sub>jk</sub>), la traduction du point 1 du corollaire précédent montre que :<center><math>\sum_{s\in G} A(s)CB(s)^{-1} = 0</math></center> donc <center><math>\forall i\in [1,n] \; \forall l\in [1,m] \quad \sum_{jk} \sum_{s\in G} a_{ij}(s)c_{jk}b_{kl}(s^{-1})= \sum_{jk} \left(\sum_{s\in G} a_{ij}(s)b_{kl}(s^{-1})\right)c_{jk}=0. </math></center>Cette égalité est vraie pour toute matrice ''C'', donc pour toute valeur de ''c''<sub>jk</sub>, ce qui démontre le point 1.
#Avec les mêmes notations (maintenant ''B = A'' et ''m = n''), on obtient d'après le point 2 du corollaire précédent :<center><math>\frac1g\sum_{s\in G}A(s)CA(s)^{-1}=\frac1n{\rm Tr}(C){\rm Id}</math></center> donc <center><math>\forall i,j\in [1,n]\quad\frac1g\sum_{jk}\sum_{s\in G}a_{ij}(s)c_{jk}a_{kl}(s^{-1})=\frac1n\sum_k c_{kk}\delta_{il}. </math></center>On en déduit :<center><math>\forall i,j,k,l\in[1,n]\quad\frac1g\sum_{s\in G}a_{ij}(s)a_{kl}(s^{-1})=\frac1n\delta_{il}\delta_{jk}, </math></center>et le point 2 est démontré.
|drop=yes}}
-->
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== 応用 ==
=== 指標 ===
{{main|{{仮リンク|有限群の表現の指標|fr|Caractère d'une représentation d'un groupe fini}}}}
歴史的に最初の補題の応用を述べる。''K'' を[[複素数体]] '''C''' とし、'''C'''<sup>''G''</sup>（''G'' から ''C'' への写像全体からなる、''g'' 次元の、ベクトル空間）に[[エルミート内積]] 〈 , 〉 を次のように与える：
:<math> \forall f , h \in \C^G \quad \langle f , h \rangle = \frac1g \sum_{ s \in G } f ( s ) \overline{ h ( s ) }. </math>
（複素数 ''z'' に対し <math>\bar{z}</math> は[[複素共役|共役]]を表す。）

有限群 ''G'' の既約指標全体は '''C'''<sup>''G''</sup> の[[正規直交基底|正規直交]]族をなす。
{{math proof|continue=
C'est une conséquence directe du corollaire 4. L'article associé démontre que la trace de ρ(''s''{{-1}}) est égale au conjugué de la trace de ρ(''s''), pour tout élément ''s'' de ''G''. En utilisant les notations du paragraphe précédent, on obtient :
:<math>\langle \chi_1, \chi_2 \rangle = \frac1g \sum_{s\in G} \left( \sum_{i=1}^n a_{ii}(s) \right) \overline{\left( \sum_{j=1}^m b_{jj}(s) \right) } = \frac1g\sum_{s\in G} \left( \sum_{i=1}^na_{ii} ( s ) \right) \left(\sum_{j=1}^mb_{jj}(s^{-1}) \right) = \frac1g \sum_{ij} \left( \sum_{s\in G}a_{ii}(s)b_{jj}(s^{-1}) \right) . </math>

Si les deux représentations ne sont pas isomorphes, alors le point 1 du corollaire permet de conclure à l'orthogonalité.

D'après le point 2 on obtient :
:<math>\langle \chi_1, \chi_1 \rangle = \frac1n\sum_{ij}\delta_{ij} \delta_{ij}=1, </math>
ce qui démontre la proposition.
|drop=yes}}
この結果は指標理論の基礎の 1 つである。

=== 有限アーベル群 ===
{{main|有限アーベル群の構造定理}}
他の応用もある。シューアの補題によってすべての有限アーベル群は[[巡回群]]の積であることを直接証明できる。証明は本質的に[[線型代数学]]に基づいている。

この結果は直接にも（[[:fr:Théorème de Kronecker]]参照）指標を考察してもできる。
-->
== 関連項目 ==
*{{仮リンク|キレンの補題|en|Quillen's lemma}}(Quillen's lemma)
*{{仮リンク|シューアの直交関係式|en|Schur orthogonality relations}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*David S. Dummit, Richard M. Foote. ''Abstract Algebra.'' 2nd ed., pg. 337.
*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-95325-0 | year=2001 }}
* {{Serre2}}
* {{Hall1}}
* {{Lang1}}
* [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]], Algèbre'', chap. VIII
* [[Pierre Colmez]], ''Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)'', Éditions de l'École polytechnique
* {{Cite book|和書|author=桂利行|title=代数学II 環上の加群|publisher=東京大学出版会}}
* {{cite book
 | last = Humphreys
 | first = James E.
 | year = 1972
 | title = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | isbn = 978-0-387-90053-7
 | volume = 9
 | ref = harv
}}

==外部リンク==
* [http://www.math.jussieu.fr/~beck/pdf/td-repres-groupe-fini.pdf Cours de représentation des groupes finis] par [[Michel Broué]] de l'[[université de Paris VII]]
* [http://www.math.jussieu.fr/~colmez/poly-09.pdf Eléments d'analyse et d'algèbre] par [[Pierre Colmez]]
<!--lien mort[http://perso.univ-rennes1.fr/daniel.ferrand/RepFinal.pdf Représentation linéaire des groupes finis, une introduction] par D. Ferrand de l'université de Rennes-->

{{DEFAULTSORT:しゆうあのほたい}}
[[Category:表現論]]
[[Category:補題]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]