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[[線型代数学]]関連分野における'''シューア補行列'''（シューアほぎょうれつ、{{lang-en-short|''Schur complement''}}; シューア補元）は[[区分行列]]に対して定義される。名称は[[イサイ・シューア]]が[[シューアの補題]]の証明に用いたことに由来するが、それ以前からの使用が認められる<ref name=Zh:05>{{cite book  |title=The Schur Complement and Its Applications |first=Fuzhen |last=Zhang |year=2005 |publisher=Springer| isbn=0-387-24271-6 |doi=10.1007/b105056}}</ref>。これを ''Schur complement'' と呼び始めたのはエミリー・ヘインズワースである<ref>Haynsworth, E. V., "On the Schur Complement", ''Basel Mathematical Notes'', #BNB 20, 17 pages, June 1968.</ref>。シューア補行列は[[数値解析]] (特に[[数値線形代数]]) や[[統計学]]、[[行列解析]]の分野では主要な道具の一つとなっている。

== 定義 ==
行列 {{mvar|A, B, C, D}} のサイズをそれぞれ {{mvar|p × p}}, {{mvar|p × q}}, {{mvar|q × p}}, {{mvar|q × q}} として[[区分行列]] <math display="block">M := \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}</math> を考える。全体として {{mvar|M}} は {{math|(''p'' + ''q'') × (''p'' + ''q'')}} 行列になっている。以下本項で {{mvar|M}} と書けば断りなくこの区分行列を意味するものとする。

{{mvar|D}} が[[正則行列|正則]]であるとき、区分行列 {{mvar|M}} の区画 {{mvar|D}} に関する'''シューア補行列'''とは <math display="block">M/D := A - BD^{-1}C</math> で定義される {{mvar|p × p}} 行列を言う。同様に {{mvar|A}} が正則であるとき、{{mvar|M}} の {{mvar|A}} に関するシューア補行列とは <math display="block">M/A := D - CA^{-1}B</math> で定義される {{mvar|q × q}} 行列を言う。

{{mvar|A}} や {{mvar|D}} が正則でない場合にも、[[逆行列]]の代わりに[[一般化逆行列]]を用いることにより、'''一般化シューア補行列'''を定義することはできる。

== 背景 ==
シューア補行列は上記の行列 {{mvar|M}} にブロック下半三角行列 <math display="block">L := \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}</math>（{{mvar|I{{sub|p}}}} は {{mvar|p × p}} [[単位行列]]）を右から掛けるという形で[[ガウス消去法]]を施した結果として生じる（{{mvar|L}} を掛ければ、上側の {{mvar|p × p}} 行列としてシューア補行列が現れる）。実際、行列の積は <math display="block">\begin{align}
  ML &= \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}
       = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \\[4pt]
     & = \begin{pmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}
\end{align}</math> となっている。これは[[LDU分解]]のブロック行列版となるもので、実際 {{mvar|M}} について解けば <math display="block">\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}
</math> であり、{{mvar|M}} の逆行列は {{mvar|D}} が正則かつ {{mvar|D}} に関するシューア補行列の逆行列が（存在するならば）既知のときには、{{mvar|D, M/D}} の逆行列だけから <math display="block">\begin{align}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} 
  &= \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}
     \begin{pmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{pmatrix}
     \begin{pmatrix} I_p & -BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{pmatrix} \\[4pt]
  &= \begin{pmatrix}
          (M/D)^{-1}        & -(M/D)^{-1} B D^{-1} \\
         -D^{-1}C(M/D)^{-1} &  (M/A)^{-1}
     \end{pmatrix}
\end{align}</math> と計算できる。

{{ill2|行列の反転補題|en|matrix inversion lemma}}の項では、上記の式と {{mvar|A, D}} の役割を入れ替えて同様の導出をした式との間の関係性が詳しく述べられる。

== 性質 ==
* 区分行列 {{mvar|M}} が[[正定値行列|正定値]][[対称行列]]ならば、シューア補行列 {{mvar|M/D}} もそうである。
* {{mvar|A, B, C, D}} が全てスカラー（{{math|1=''p'' = ''q'' = 1}}）のとき、{{math|2 × 2}} 行列の逆行列の公式 <math display="block"> M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \begin{pmatrix} D & -B \\ -C & A \end{pmatrix}</math> はよく知られている（ただし [[行列式|{{mvar|AD &minus; BC}}]] は零でないものとする）。
* 一般のサイズの場合、{{mvar|A}} が正則とすれば <math display="block"> M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1} B (M/A)^{-1} C A^{-1} & - A^{-1} B (M/A)^{-1} \\ - (M/A)^{-1} CA^{-1} & (M/A)^{-1} \end{pmatrix} </math> が逆行列の存在する限りにおいて成立する。
* 区分行列 {{mvar|M}} の行列式は明らかに <math display="block"> \det(M) = \det(D) \det(M/D) = \det(D)\det(A-BD^{-1}C)</math> で計算できる。これは {{math|2 × 2}} 行列の行列式の定義式を区分行列版に一般化したものと見なせる。
* ガットマンの階数加法定理: 区分行列 {{mvar|M}} の[[行列の階数|階数]]は <math display="inline">\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}(D) + \operatorname{rank}(M/D)</math> で与えられる。
* {{ill2|ヘインズワースの慣性加法定理|en|Haynsworth inertia additivity formula}}: 区分行列 {{mvar|M}} の[[符号数|慣性指数]]は {{mvar|A}} の慣性指数と {{mvar|M/A}} の慣性指数との和に等しい。

== 線型方程式の解法への応用 ==
{{mvar|x, a}} が {{mvar|p}}-次元[[列ベクトル]]、{{mvar|y, b}} が {{mvar|q}}-次元列ベクトルで、区分行列 {{mvar|M}} が上記の如く与えられているとき、線型方程式系 <math display="block">\begin{align}
  Ax + By &= a\\
  Cx + Dy &= b
\end{align}</math> の解法にシューア補行列は自然に表れる。{{mvar|D}} が可逆のとき、下の式に {{math|''BD''{{sup|&minus;1}}}} を掛けて上の式から引けば <math display="block">(M/D)x = a - BD^{-1}b</math> を得るから、シューア補行列 {{mvar|M/D}} も可逆ならば、{{mvar|x}} について解ける（さらに <math display="inline">Cx + Dy = b</math> から {{mvar|y}} も分かる）。これにより、もともとのサイズ {{math|(''p'' + ''q'') × (''p'' + ''q'')}} の係数行列の逆行列を計算する問題が、それぞれのサイズが {{mvar|p × p}} と {{mvar|q × q}} のふたつの行列の逆行列を計算することに帰着される。実用上は、このアルゴリズムが数値的に良い評価を与えるようにするために、{{mvar|D}} が十分素性が良いものとなるような条件を課す。

電気工学においては、このことをしばしばノード除去 (node elimination) や{{ill2|クロン縮約|en|Kron reduction}}などと言う。

== 確率論・統計学への応用 ==
確率列ベクトル {{mvar|X}} および {{mvar|Y}} はそれぞれ {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} および {{math|'''R'''<sup>''m''</sup>}} を動くものとし、ベクトル {{math|(''X'', ''Y'') ∈ '''R'''<sup>''n+m''</sup>}} は[[共分散]]が正定値対称行列 <math display="block">\Sigma := \begin{pmatrix} A & B \\ B^{\top} & C\end{pmatrix}</math> で与えられる[[多変量正規分布]]に従うものとする。ただし、<math display="inline">A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> は {{mvar|X}} の共分散行列、<math display="inline">C \in \mathbb{R}^{m \times m}</math> は {{mvar|Y}} の共分散行列、<math display="inline">B \in \mathbb{R}^{n \times m}</math> は {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の間の共分散行列である。

このとき、{{mvar|Y}} が既知であるときの {{mvar|X}} の{{ill2|条件付き分散|label=条件付き共分散|en|Conditional variance}} {{math|Cov(''X'' {{!}} ''Y'')}}は {{mvar|C}} に関する {{math|Σ}} のシューア補行列によって <math display="block">\operatorname{Cov}(X \mid Y) = \Sigma/C</math> と与えられる<ref name=vMi:64>{{cite book  |title=Mathematical theory of probability and statistics |first=Richard |last=von Mises |year=1964|publisher=Academic Press| chapter=Chapter VIII.9.3|isbn=978-1483255385}}</ref>（条件付き期待値は <math display="inline">\operatorname{E}(X \mid Y) = \operatorname{E}(X) + BC^{-1}(Y - \operatorname{E}(Y))</math> となる）。

上記の如く {{math|Σ}} を（しかし確率ベクトルの共分散としてではなく）標本共分散として与えたならば、[[ウィッシャート分布]]に従う。この場合、シューア補行列 {{math|Σ/''C''}} もまたウィッシャート分布に従う{{Citation needed|date=January 2014}}。

== 定値性の判定条件 ==
対称行列 {{mvar|X}} は <math display="block">X := \begin{pmatrix} A & B \\ B^{\top} & C\end{pmatrix}</math> で与えられるものとする。このとき、{{mvar|X}} の {{mvar|A}} および {{mvar|C}} に関するシューア補行列は <math display="block">X/A = C - B^{\top}A^{-1}B ,\quad X/C = A-BC^{-1}B^{\top}</math> と書ける。

# {{mvar|X}} が正定値となるための必要十分条件は、{{mvar|A}} および {{mvar|X/A}} がともに正定値となることである: <math display="block">X \succ  0 \iff A \succ  0 \and X/A \succ  0.</math>
# {{mvar|X}} が正定値となるための必要十分条件は {{mvar|C}} および {{mvar|X/C}} がともに正定値となることである: <math display="block">X \succ  0 \iff C \succ  0, X/C \succ  0.</math>
# {{mvar|A}} が正定値のとき、{{mvar|X}} が半正定値となるための必要十分条件は {{mvar|X/A}} が半正定値となることである。
# {{mvar|C}} が正定値のとき、{{mvar|X}} が半正定値となるための必要十分条件は {{mvar|X/C}} が半正定値となることである。 

1. および 3. は {{mvar|u}} を止めて {{mvar|v}} の函数とみた量 <math display="block">u^{\top}Au + 2v^{\top}B^{\top}u + v^{\top}Cv</math> の最小化を考えることで導出できる<ref>Boyd, S. and Vandenberghe, L. (2004), "Convex Optimization", Cambridge University Press (Appendix A.5.5)</ref>。さらに、<math display="block">\begin{pmatrix} A & B \\ B^{\top} & C \end{pmatrix} \succ 0 \iff \begin{pmatrix} C & B^{\top} \\ B & A \end{pmatrix} \succ 0</math> である（半正定値でも同様のことが言える）から、1. および 3. からそれぞれ 2. および 4. が直ちに得られる。

同じように、一般化シューア補行列を用いても {{mvar|X}} の半正定値性を判定する必要十分条件を述べることができる<ref name=Zh:05 />。つまり、{{mvar|A{{sup|g}}}} を {{mvar|A}} の[[疑似逆行列|一般化逆行列]]とすれば <math display="block">X \succeq 0 \iff A \succeq  0, C - B^{\top}A^g B \succeq 0, (I - A A^{g})B = 0</math> および <math display="block">X \succeq 0 \iff C \succeq  0, A - BC^g B^{\top} \succeq  0, (I - C C^g)B^{\top} = 0</math> が成り立つ。

== 関連項目 ==
* {{ill2|ウッドベリの行列恒等式|en|Woodbury matrix identity}}
* [[準ニュートン法]]
* {{ill2|ヘインズワースの慣性加法公式|en|Haynsworth inertia additivity formula}}
* [[ガウス過程]]
* {{ill2|全最小二乗法|en|Total least squares}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=SchurComplement|title=Schur complement}}
* {{SpringerEOM|urlname=Schur_complement|title=Schur complement}}
{{linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:しゆうあほきようれつ}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]