シュールの不等式のソースを表示

'''シュールの不等式'''（シュールのふとうしき）は、[[イサイ・シュール]]に因んで名付けられた、非負[[実数]] ''x'', ''y'', ''z'' と正数 ''t'' に対して成り立つ、次の[[不等式|絶対不等式]]である。
:<math>x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0</math>
等号成立は ''x'' = ''y'' = ''z'' のとき、または ''x'', ''y'', ''z'' のいずれかが 0 で残り2つが等しいときのみ。また、''t'' が正の[[偶数]]の場合はすべての実数 ''x'', ''y'', ''z'' について不等式が成り立つ。

== 証明 ==
不等式は ''x'', ''y'', ''z'' について対称なので、''x'' &ge; ''y'' &ge; ''z'' としても[[一般性を失わない]]。すると、示すべき不等式は
:<math>(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0</math>
と変形できるが、左辺の各項は明らかに非負である。

この証明により、シュールの不等式は次のように一般化できる。''a'', ''b'', ''c'' を非負実数として、''x'' ≥ ''y'' ≥ ''z'' かつ ''a'' ≥ ''b'' ≥ ''c'' であるとき、
:<math>a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y) \ge 0</math>
が成り立つ。

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|599|Schurの不等式の証明と例題}}

{{DEFAULTSORT:しゆうるのふとうしき}}
[[Category:不等式|しゆうる]]
[[Category:数学に関する記事]]