ショートレートモデルのソースを表示

'''ショートレートモデル'''（{{lang-en-short|short-rate model}}）とは、金利[[デリバティブ]]の文脈において、通常 <math>r_t \,</math> と書かれる'''ショートレート'''の将来の変動を記述する事によって将来の利子率の変動を表す数理モデルである。

==ショートレート==
ショートレートモデルにおいて、確率的な状態変数は瞬間的な[[スポットレート]]の形を取る<ref>[http://www.math.nyu.edu/~alberts/spring07/Lecture5.pdf ''Short rate models''], Prof. Andrew Lesniewski, [[NYU]]</ref> 。ショートレート <math>r_t \,</math> はこの時、（年率換算での連続複利の）利子率であり、その利子率において、主体は無限に小さい時間の合間 <math>t</math> において金銭を借りることができる。現在のショートレートを特定する事は[[イールドカーブ]]全体を特定することではない。しかしながら、[[無裁定価格理論]]によって、いくつかの公正で緩い技術的条件の下において、もし[[リスク中立測度]] <math>Q</math> の下で[[確率過程]]として <math>r_t \,</math> の変動をモデル化できたならば、時点 <math>t</math> における満期 <math>T</math> 額面 1 の[[ゼロクーポン債]]の価格は以下のように与えられる。

:<math> P(t,T) = \mathbb{E}^Q\left[\left. \exp{\left(-\int_t^T r_s\, ds\right) } \right| \mathcal{F}_t \right] </math>

ここで <math>\mathcal{F}</math> はショートレート <math>r_t \,</math> の{{仮リンク|自然なフィルトレーション|en|natural filtration}}（自然な増大情報系）である。ゼロクーポン債に伴う利子率はイールドカーブ、より正確にはゼロクーポンイールドカーブを形成する。ゆえに、ショートレートモデルは将来の債券価格を特定する。これは瞬間的な[[フォワードレート]]が同様に以下のよくある方程式によって特定されることを意味している。

:<math> f(t,T) = - \frac{\partial}{\partial T} \ln(P(t,T)). </math>

==具体的なショートレートモデル==
この節を通して、<math>W_t\,</math> は[[リスク中立測度]]の下での標準[[ウィーナー過程|ブラウン運動]]であり、<math>dW_t\,</math> はその微分形式を表している。モデルが[[対数正規分布|対数正規]]型であるのならば、変数 <math>X_t \,</math> は[[オルンシュタイン＝ウーレンベック過程]]であり、<math>r_t \,</math> は <math>r_t = \exp{X_t}\,</math> を満たすものとして仮定される。

===1ファクターショートレートモデル===
以下は、単一の確率的ファクター、つまりショートレートが全ての利子率の将来の変動を決定するワンファクターモデルである。利子率の[[平均回帰]]的性向を表現しないRendleman–Bartterとホー–リーモデル以外はオルンシュタイン–ウーレンベック過程の特別ケースと考えることが出来る。バシチェックモデル、Rendleman–Bartterモデル、CIRモデルは{{仮リンク|自由パラメーター|en|free parameter}}の数が有限であり、ゆえにモデルを観測された市場価格と一致させるような方法（"カリブレーション"）を用いてこれらのパラメーターを特定することが出来ない。この問題はパラメーターが時間によって確定的に変動することを許容すれば克服される<ref>[http://wwwhome.math.utwente.nl/~jamshidianf/pdf/Overview%20of%20interest%20%20rate%20modeling.pdf ''An Overview of Interest-Rate Option Models''], Prof. Farshid Jamshidian, University of Twente</ref><ref>[http://www.columbia.edu/~mh2078/cts_shortrate_models.pdf ''Continuous-Time Short Rate Models''], Prof Martin Haugh, [[Columbia University]]</ref>。この方法でホー–リーモデルとそれに続くモデルは市場データからカリブレーションを行うことが出来る。つまり、これらのモデルはイールドカーブからなる債券価格を正確に導出することができる。ここで、これらのモデルは通常ショートレートの[[格子モデル|2項ツリー]]を用いて実装される<ref name="BenningaWiener">[http://simonbenninga.com/wiener/MiER73.pdf Binomial Term Structure Models], ''Mathematica in Education and Research'', Vol. 7 No. 3 1998. Simon Benninga and Zvi Wiener.</ref>。

#[[ロバート・マートン|マートン]]モデル (1973) においてはショートレートは <math>r_t = r_{0}+at+\sigma W^{*}_{t}</math> となる。ここで <math>W^{*}_{t}</math> はスポットの[[リスク中立測度]]の下における1次元のブラウン運動である<ref>{{cite journal
| title=Theory of Rational Option Pricing
| last=Merton
|first=Robert C.
|authorlink = ロバート・マートン
| journal=Bell Journal of Economics and Management Science
| year=1973
| volume=4
| issue=1
| pages=141–183
| doi=10.2307/3003143}}</ref>。
#[[バシチェック・モデル]] (1977) においてはショートレートは <math>dr_t = (\theta-\alpha r_t)\,dt + \sigma \, dW_t</math> となる。しばしば <math>dr_t = a(b-r_t)\, dt + \sigma \, dW_t</math> と書かれることもある<ref>{{cite journal
|last = Vasicek
|first = Oldrich
| title=An Equilibrium Characterisation of the Term Structure
| journal=Journal of Financial Economics
| year=1977
| volume=5
| pages=177–188
| doi=10.1016/0304-405X(77)90016-2
| issue=2 }}</ref>。
#{{仮リンク|Rendleman–Bartterモデル|en|Rendleman–Bartter model}} (1980) においてはショートレートは <math>dr_t = \theta r_t\, dt + \sigma r_t\, dW_t</math> となる<ref>{{cite journal
| last=Rendleman, Jr.
|first=Richard J.
|first2=Brit J.
|last2=Bartter
| title=The Pricing of Options on Debt Securities
| journal=Journal of Financial and Quantitative Analysis
| year=1980
| volume=15
| pages=11–24
| doi=10.2307/2979016}}</ref>。
#[[コックス・インガーソル・ロス・モデル]] (1985) においてはショートレートは <math>dr_t = (\theta-\alpha r_t)\,dt + \sqrt{r_t}\,\sigma\, dW_t</math> となる。しばしば <math>dr_t = a(b-r_t)\, dt + \sqrt{r_t}\,\sigma\, dW_t</math> と書かれることもある。 <math>\sigma \sqrt{r_t}</math> の項は（一般的には）利子率が負となる可能性を排除している<ref>{{Cite journal
| last1= Cox
| first1 = John C.
| last2 = Ingersoll
| first2 = Jonathan E.
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| journal=[[Econometrica]]
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| doi=10.2307/1911242
|jstor = 1911242}}</ref>。
#[[ホー・リー・モデル]] (1986) においてはショートレートは <math>dr_t = \theta_t\, dt + \sigma\, dW_t</math> となる<ref>{{cite journal
| last1 = Ho
| first1 = Thomas S. Y.
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| title=Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims
| journal= Journal of Finance
| year=1986
| volume=41
| doi=10.2307/2328161}}</ref>。
#[[ハル・ホワイト・モデル]] (1990) もしくは拡張バシチェックモデルではショートレートは <math>dr_t = (\theta_t-\alpha r_t)\,dt + \sigma_t \, dW_t</math> となる。多くの定式化において、パラメーター <math>\theta, \alpha,\sigma</math> の一つもしくは複数は時間に依存しないとされる。このモデルは対数正規として考えることが出来る。[[格子モデル]]に基いた実装においては3項モデルが通常用いられる<ref>{{cite journal
| last1 = Hull
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| last2 = White
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| title= Pricing Interest-rate Derivative Securities
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|url= http://www.defaultrisk.com/pa_related_24.htm
| doi=10.1093/rfs/3.4.573}}</ref><ref>{{cite journal
| last1 = Leippold
| first1 = Markus
| last2 = Wiener
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|title= Efficient Calibration of Trinomial Trees for One-Factor Short Rate Models
| year=2004
| volume=7
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|pages= 213-239
|journal=Review of Derivatives Research
|url= http://simonbenninga.com/wiener/leippold-wiener2003.pdf
| doi=10.1007/s11147-004-4810-8}}</ref>。
#[[ブラック–ダーマン–トイ・モデル]] (1990) ではボラティリティが時間に依存する場合のショートレートは <math> d\ln(r) = [\theta_t + \frac{\sigma '_t}{\sigma_t}\ln(r)]dt + \sigma_t\, dW_t </math> となり、依存しない場合のショートレートは <math>d\ln(r) = \theta_t\, dt + \sigma \, dW_t </math> となって対数正規モデルとなる<ref>{{cite journal
|first1=Fischer
|last1=Black
|authorlink1 = フィッシャー・ブラック
|last2 = Derman
|first2 = Emanuel
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|first3 = William
|title=A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options
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|pages=24–32
|journal=Financial Analysts Journal
|url=http://savage.wharton.upenn.edu/FNCE-934/syllabus/papers/Black_Derman_Toy_FAJ_90.pdf
|doi=10.2469/faj.v46.n1.33}}</ref>。
#[[ブラック–カラシンスキー・モデル]] (1991) は対数正規型であり、ショートレートは <math> d\ln(r) = [\theta_t-\phi_t \ln(r)] \, dt + \sigma_t\, dW_t </math> となる<ref>{{cite journal
|first=Fischer
|last=Black
|authorlink1 = フィッシャー・ブラック
|last2 = Karasinski
|first2 = Piotr
|title=Bond and Option Pricing When Short Rates Are Lognormal
|year=1991
|pages=52–59
|journal=Financial Analysts Journal
| url= http://www.defaultrisk.com/pa_related_29.htm
|doi = 10.2469/faj.v47.n4.52}}</ref>。ブラック–カラシンスキ・モデルはハル–ホワイト・モデルの対数正規的な応用のように見える<ref>[http://php.portals.mbs.ac.uk/Portals/49/docs/spoon/IRD/Ch5_ShortRateNOTE.pdf ''Short Rate Models''], Professor Ser-Huang Poon, Manchester Business School</ref>。その格子モデルをベースとした実装は3項モデルに似たものになる（時間幅が変動する2項モデル）<ref name="BenningaWiener" />。
#Kalotay–Williams–Fabozziモデル (1993) ではショートレートは <math> d \ln(r_t) = \theta_t\, dt + \sigma\, dW_t</math> となり、ホー–リー・モデルの対数正規版であって、ブラック–ダーマン–トイ・モデルの特殊ケースである<ref>{{cite journal
|last1=Kalotay
|first1=Andrew J.
|last2=Williams
|first2=George O.
|last3=Fabozzi
|first3=Frank J.
|year=1993
|title=A Model for Valuing Bonds and Embedded Options
|journal=Financial Analysts Journal
|publisher=CFA Institute Publications
|volume=49
|issue=3
|pages=35–46
|url=http://www.cfapubs.org/doi/abs/10.2469/faj.v49.n3.35
|doi=10.2469/faj.v49.n3.35}}</ref>。このモデルは"[[ソロモン・ブラザーズ]]のオリジナルモデル"とほとんど似ていて<ref>{{cite journal
|last1= Kopprasch
|first1=Robert
|title=Effective Duration of Callable Bonds: The Salomon Brothers Term Structure-based Option Pricing Model
|journal= |publisher=Salomon Bros. |volume= |issue= |pages=
|year= 1987
|url=http://www.worldcat.org/title/effective-duration-of-callable-bonds-the-salomon-brothers-term-structure-based-option-pricing-model/oclc/16187107|doi=}}</ref>、ホー–リー・モデルの対数正規バージョンの一つである<ref>{{cite book
| last1=Tuckman
|first1 = Bruce
|last2 = Serrat
|first2 = Angel
| title= Fixed Income Securities: Tools for Today's Markets
| publisher=Wiley
| location= Hoboken, NJ
| year=2011
| isbn= 0470891696}}の[https://books.google.com/books?id=OlfyQX31bEkC&pg=PT218 ページ218]を参照せよ。</ref>。

===マルチファクターショートレートモデル===
上で挙げたワンファクターモデルの他にショートレートのマルチファクターモデルが存在する。最も知られているのは[[フランシス・ロングスタッフ]]と{{仮リンク|エドアルド・シュワルツ|en|Eduardo Schwartz}}の2ファクターモデルとチェンの3ファクターモデル（確率的平均とボラティリティのモデル（{{lang-en-short|stochastic mean and stochastic volatitliy model}}）とも呼ばれる）である。リスクマネジメントのために、"現実的な利子率のシミュレーションを行う"ためには、これらのマルチファクターショートレートモデルは時折ワンファクターモデルより好まれる。というのも、マルチファクターモデルは、一般的には、"本当のイールドカーブの動きと整合的"なシナリオを提供するからである<ref>[http://www.kamakuraco.com/Blog/tabid/231/EntryId/347/Pitfalls-in-Asset-and-Liability-Management-One-Factor-Term-Structure-Models.aspx ''Pitfalls in Asset and Liability Management: One Factor Term Structure Models''], Dr. Donald R. van Deventer, Kamakura Corporation</ref>。

#ロングスタッフ–シュワルツ・モデル (1992) ではショートレートの変動が以下の方程式により与えられる： <math> dX_t = (a_t-b X_t)\,dt + \sqrt{X_t}\,c_t\, dW_{1t}</math>, <math>d Y_t = (d_t-e Y_t)\,dt + \sqrt{Y_t}\,f_t\, dW_{2t}</math> ここでショートレートは <math> dr_t = (\mu X + \theta Y)dt + \sigma_t \sqrt{Y} dW_{3t} </math> として定義される<ref>{{cite journal
| last1 = Longstaff
| first1 = Francis A.
| last2 = Schwartz
| first2 = Eduardo S.
|year=1992
|title= Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two-Factor General Equilibrium Model
|journal= The Journal of Finance
|volume=47
|issue=4
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|url=http://efinance.org.cn/cn/FEshuo/19920901Interest%20Rate%20Volatility%20and%20the%20Term%20Structure%20A%20Two-Factor%20General%20Equilibrium%20Model,%20pp.%201259-1282.pdf
|doi=10.1111/j.1540-6261.1992.tb04657.x}}</ref>。
#{{仮リンク|チェン・モデル|en|Chen model}} (1996) ではショートレートの平均とボラティリティは確率的であり、以下のように定式化される： <math> dr_t = (\theta_t-\alpha_t)\,dt + \sqrt{r_t}\,\sigma_t\, dW_t</math>, <math> d \alpha_t = (\zeta_t-\alpha_t)\,dt + \sqrt{\alpha_t}\,\sigma_t\, dW_t</math>, <math>d \sigma_t = (\beta_t-\sigma_t)\,dt + \sqrt{\sigma_t}\, \eta_t\, d W_t</math><ref>{{cite journal
| last = Chen
| first = Lin
|year= 1996
| title= Stochastic Mean and Stochastic Volatility — A Three-Factor Model of the Term Structure of Interest Rates and Its Application to the Pricing of Interest Rate Derivatives
| journal=Financial Markets, Institutions, and Instruments
|volume=5
|issue =1
|pages=1–88}}</ref>。

==他の金利モデル==
金利のモデル化の他の有力なフレームワークとして[[ヒース–ジャロー–モートン・フレームワーク]]（{{lang-en-short|Heath–Jarrow–Morton framework, HJM}}）がある。上で述べたようなショートレートモデルとは異なり、HJMモデルのクラスは一般的にマルコフ性を持たない。このため、多くの場合においてHJMモデルは一般的に計算が難しくなっている。HJMモデルの大きな利点はHJMモデルを用いることで、ショートレートモデルよりは、イールドカーブ全体を解析的に描写できることである。いくつかの目的（例えば、モーゲージ担保型証券（{{lang-en-short|mortgage backed securities}}）のバリュエーション）においては、HJMモデルは大きな単純化となりうる。1次元ないしは複数次元のコックス–インガーソル–ロス・モデルとハル–ホワイト・モデルはそのままHJMフレームワークにより表現できる。他のショートレートモデルは単純なHJMモデルによる双対的な表現を持たない。

ランダム性のソースが複数の場合のHJMフレームワーク（[[Brace–Gatarek–Musielaモデル]]とマーケットモデルも含まれる）はしばしば高次元のモデルを取り扱う際に好まれる。

==脚注==
{{reflist|30em}}

==参考文献==
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|last1 = Baxter
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| title = Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit
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|url = http://eu.wiley.com/legacy/wileychi/eoas/contents.html
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|editor-first = Peter
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| title = Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options
| first = Robert A.
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|title= The Term Structure of Interest Rates
|url = http://econpapers.repec.org/article/anrrefeco/v_3a1_3ay_3a2009_3ap_3a69-96.htm
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| first = F.C.
|last = Park
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| first = Riccardo
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| title = Modern Pricing of Interest-Rate Derivatives
| publisher = Princeton University Press
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| first = Riccardo
|last = Rebonato
|year = 2003
|title= Term-Structure Models: A Review
| journal = Royal Bank of Scotland Quantitative Research Centre Working Paper
| url=http://faculty.maxwell.syr.edu/cdkao/teaching/taiwan/2003/TSMRS.pdf}}

{{デフォルトソート:しよおとれえともてる}}
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[[Category:数理ファイナンス]]
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