シルベスター数列のソースを表示

[[ファイル:Sylvester-square.svg|リンク=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Sylvester-square.svg/300px-Sylvester-square.svg.png|サムネイル|300x300ピクセル|シルベスター数の逆数和 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 +… が1に収束することのグラフィカルな実演。各行は一辺が 1/''k'' である正方形 ''k'' 個からなり、従って面積は 1/''k'' となり、それら正方形の全体は一辺が1の正方形をちょうど[[集合の被覆|被覆]]する。一辺 1/1807、あるいはそれ以下の正方形は小さすぎて図中で見ることはできない。]]

[[数論]]において、'''シルベスター数列''' ({{Lang-en|Sylvester's sequence}}) とは、各項がそれまでの項の[[総乗|総積]]に1を足したものであるような数列である。最初のいくつかの項は次のようになる：

{{数列|indent=1|math=0|oeis=A000058|short=0|stop=0|parentheses=0|2|3|7|43|1807|3263443|10650056950807}}

「シルベスター数列」という名称は、1880年にこの数列を最初に調査した[[ジェームス・ジョセフ・シルベスター]]に由来している。数列の各項の値は'''シルベスター数''' ({{Lang-en-short|Sylvester number}}) と呼ばれることもある。

シルベスター数列の値は[[二重指数関数]]的に増加し、その[[逆数]]の和は他の[[単位分数]]の[[級数]]よりも速く1に収束する。シルベスター数列を定義する[[漸化式]]は、各項の数の[[素因数分解]]をより容易にさせるが、数列の増加速度が急速であるために、完全な素因数分解はいくつかの項に対してしか知られていない。

シルベスター数は1の[[エジプト式分数]]表現、佐々木・アインシュタイン多様体、[[オンラインアルゴリズム]]の実装などに応用されている。

== 形式的定義 ==
シルベスター数列の第 {{Mvar|n}} 項は次の式で定義される：

: <math>s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i.</math>

0個の項の積 ([[空積]]) は 1 であるため、{{Math|1=''s''<sub>0</sub> = 2}} である。

あるいは、次のような漸化式で定義してもよい：

: <math display="inline">\displaystyle s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,\quad(s_0=2)</math>

== 閉形式での表現とフェルマー数 ==
シルベスター数列は {{Mvar|n}} の関数として、[[二重指数関数]]的に増加する。具体的には
: <math display="block">s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right\rfloor</math>

という形式で書くことができる。ここで {{Mvar|E}} はおよそ 1.2640847353...である<ref>{{Harvtxt|Finch|2003|p=444}}</ref> ({{OEIS|A076393}})。

シルベスター数列が二重指数関数的増加を示すことは、[[フェルマー数|フェルマー数列]] {{Mvar|F<sub>n</sub>}} と比較すると驚くべきことではない。フェルマー数は通常、二重指数関数による表式 <math display="inline">F_n = 2^{2^n}+1</math> によって定義されるが、これはシルベスター数列のような総積を使った漸化式によっても定義が可能である<ref>{{Harvtxt|Golomb|1963}}, {{Harvtxt|Aho|Sloane|1973|loc=§2.5}} </ref>：<math display="block">F_n = 2 + \prod_{i = 0}^{n - 1} F_i.</math>

== エジプト式分数との関係 ==
シルベスター数列の[[逆数]]和による[[級数|無限級数]]
: <math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{s_i} = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.</math>

について考える。この級数の[[級数|部分和]]は次のような単純な形で書ける：

: <math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = 1 - \frac{1}{s_j-1} = \frac{s_j-2}{s_j-1}.</math>

これは、帰納法によって、またはより直接的に、任意の {{Mvar|i}} に対する次の等式

: <math>\frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} = \frac{1}{s_i}</math>

から、級数の[[畳み込み級数|畳み込み]]を行うことによって示される：

: <math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{s_i} = \sum_{i=0}^{j-1} \left( \frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} \right) = \frac{1}{s_0-1} - \frac{1}{s_j-1} = 1 - \frac{1}{s_j-1}.</math>

部分和が {{Math|''j'' → ∞}} で1に収束することから、級数全体が1に収束することがわかる。従って私たちは、これによって無限の長さを持つ1の[[エジプト式分数]]表示を得たことになる。

: <math>1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots</math>

このとき、級数を適当な長さで切って、最後の分母を1小さいものに置き換えることで、任意の長さを持つ1のエジプト式分数表示を得ることができる。

: <math>1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{42}, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{43} + \tfrac1{1806},\quad \dots.</math>

また、無限級数の最初の {{Mvar|k}} 項の和は、{{Mvar|k}} 項からなるエジプト式分数表示のうち1未満で最も大きいものを提供する<ref>{{Harvtxt|Curtiss|1922}}、{{Harvtxt|Miller|1919}} あるいは {{Harvtxt|Soundararajan|2005}} を参照。</ref>。例えば、最初の4項の和は 1805/1806 となるため、[[区間 (数学)|開区間]] {{Math|(1805/1806, 1)}} に含まれる数のエジプト式分数表示は少なくとも5つの項が必要になる。

シルベスター数列は、各ステップごとにその部分和が1以下となるような最小の分母を選ぶ[[エジプト式分数#強欲算法|貪欲法]]の結果として見ることもできる。あるいは、(初項である1/2を除外して、) 1/2の奇数貪欲法によるエジプト式分数展開{{Enlink|Odd greedy expansion}}だと考えることもできる。

== 有理逆数和を持つ急速増加列としての一意性 ==
シルベスター数の逆数和が[[有理数]]である1に収束することから、数列が二重指数関数的に増加することは、その逆数和による級数が[[無理数]]となること、さらに数列が {{定訳なし|en|irrationality sequence|link=en:Irrationality sequence}} となることの[[同値#必要十分条件|十分条件]]ではないことがわかる<ref group="注">数列の増加速度と級数の無理性については、例えば数列 {{Math|{''a''<sub>''n''</sub><nowiki>}</nowiki>}} が十分に速く増加するとき、<math display="inline">\sum_k\tfrac{1}{a_k a_{k+1}}</math> が無理数となることが知られている {{Harv|Erdős|Graham|1980|p=64}}。</ref>。

一方で {{Harvtxt|Badea|1993}} の結果から、シルベスター数列 (の漸化式) は、二重指数関数的な増加を持ち逆数和が有理数に収束するような数列に対する、ある種の唯一性を持っている。つまり、数列 {{Math|{''a''<sub>''n''</sub><nowiki>}</nowiki>}} が不等式

: <math>a_n\ge a_{n-1}^2-a_{n-1}+1,</math>

を満たし、逆数和が有理数に収束するならば、十分に大きなすべての {{Mvar|n}} に対して、その漸化式はシルベスター数列と同じ

: <math>a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1</math>
となる。

[[ポール・エルデシュ|エルデシュ]]と[[ロナルド・グラハム|グラハム]]は、数列 {{Math|{''a''<sub>''n''</sub><nowiki>}</nowiki>}} が<math display="block">\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1.</math>を満たすとき、逆数和が有理数となるならば、十分大きな全ての {{Mvar|n}} に対して <math display="inline">a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1</math> が成り立つと予想した<ref>{{Harvtxt|Erdős|Graham|1980}}</ref>。{{Harvtxt|Badea|1995}} ではこの予想についていくつかの結果が纏められている。

== 因数分解 (可除性) ==
{{Math|''i'' < ''j''}} のとき、定義から {{Math|''s''<sub>''j''</sub> ≡ 1 (mod ''s''<sub>''i''</sub>)}} が成り立つ。従って、任意の2つのシルベスター数は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である。任意の素数に対して、それで割り切れるシルベスター数が高々1つとなるため、これを用いて素数が無限に存在することを証明できる。より強い事実として、シルベスター数の素因数に6を法として5と[[整数の合同|合同]]である数  ({{Math|1=''p'' = 6''k'' + 5}} と表せるような素数) は存在しないこと、12を法として7と合同である素数が無限に存在することがシルベスター数列を用いて証明できる{{Sfnp|Guy|Nowakowski|1975}}。{{Unsolved|数学|シルベスター数列の全ての数は[[平方因子をもたない整数|無平方数]]か？}}シルベスター数の素因数分解については、多くのことが[[数学上の未解決問題|未解決]]のままである。例えば、全ての数が[[平方因子をもたない整数]]であるかどうか不明である (既知の数は全て平方因子を持たないことがわかっている)。

{{Harvtxt|Vardi|1991}}が説明しているように、与えられた素数 {{Mvar|p}} で割り切れるシルベスター数がどれかを決定することは簡単である：{{Mvar|p}} を法として0に合同となる数か、周期的な列のいずれかが見つかるまで、法 {{Mvar|p}} の下でのシルベスター数列を計算すればよい。この方法を使って、Vardiは最初の300万個の素数のうち1166個がシルベスター数の素因数であること{{Refn|Andersenはこの区間で1167の素因数を見つけた<ref name="Andersen">{{Harvtxt|Andersen|2007–20}}</ref>ため、おそらくこれは誤記である。|group=注}}、それらの数の平方がシルベスター数の因数にならないことを突き止めた。シルベスター数の因数として現れる素数の集合は、全ての素数の集合に対して密度0 ({{Enlinkm|Natural density}} の意味で) である{{Sfnp|Jones|2006}}。実際、{{Mvar|x}} より小さいそのような数は <math display="inline">O(x /(\log x\cdot\log\log\log x))</math> の[[ランダウの記号|オーダー]]となる{{Sfnp|Odoni|1985}}。

次の表は、シルベスター数の既知の因数分解を示している。ただし最初の4つは全て素数であるため除いている。また、一部の数は大きすぎるため桁数のみを表しており、特に明記されていなければそれらの数は素数とは限らない (unfactoredである){{Refn|{{Math|''p'' < 5 × 10<sup>7</sup>}} かつ {{Math|''n'' ≦ 200}} を満たす範囲において、全てのシルベスター数 {{Math|''s''<sub>''n''</sub>}} の素因数 {{Mvar|p}} はVardiによってリストされている。Ken Takusagawa は {{Math|''s''<sub>9</sub>}} までの素因数分解<ref>{{Harvtxt|Takusagawa|2006a}}</ref>と {{Math|''s''<sub>10</sub>}} の素因数分解<ref>{{Harvtxt|Takusagawa|2006b}}</ref>をブログに記している。それ以外の因数分解については、Jens Kruse Andersen によるリスト<ref name="Andersen" />を出典としている。|group=注}}。
{| class="wikitable"
!{{Mvar|n}}
! {{Math|''s''<sub>''n''</sub>}} の因数
|-
|4
| 13 × 139
|-
| 5
|3263443 (素数)
|-
| 6
| 547 × 607 × 1033 × 31051
|-
| 7
| 29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
|-
| 8
| 5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
|-
| 9
| [[181]] × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
|-
| 10
| 2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × (156桁の素数)
|-
| 11
| [[73]] × (416桁)
|-
| 12
| 2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × (785桁)
|-
| 13
| 52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × (1600桁)
|-
| 14
| 13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × (3293桁)
|-
| 15
| 17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × (6618桁)
|-
| 16
| 128551 × 115220560101116343072340969000241209 × (13300桁)
|-
| 17
| 635263 × 1286773 × 21269959 × (26661桁)
|-
| 18
| 50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × (53313桁)
|-
| 19
| 775608719589345260583891023073879169 × (106685桁)
|-
| 20
| 352867 × 6210298470888313 × (213419桁)
|-
| 21
| 387347773 × 1620516511 × (426863桁)
|-
| 22
| 91798039513 × 7919244169465663354953966404923 × (853719桁)
|}
== 応用 ==
{{正確性|date=2022-09|section=1}}
{{Harvtxt|Boyer|Galicki|Kollár|2005}} ではシルベスター数列の性質を使って、奇数次元の[[超球面|球面]]または{{仮リンク|エキゾチック球面|en|Exotic sphere}}に対する非同値な佐々木・アインシュタイン多様体<ref group="注">{{仮リンク|佐々木多様体|en|Sasaki manifold|label=}}でもある[[アインシュタイン多様体]]</ref>の族を与えている<ref>{{Harvtxt|Boyer|Galicki|Kollár|2005|loc=§7}}、特に Prop. 44–Prop. 48</ref>。彼らは論文中で、{{Math|2''m''－3}} 次元の球面またはエキゾチック球面上で少なくとも <math display="inline">\tfrac{1}{3}(s_{m-1}-1)</math> 個の非同値な佐々木・アインシュタイン多様体の族を与える方法を示し、従ってそれらの数は {{Mvar|m}} に対して二重指数関数的な増加を見せる。

{{Harvtxt|Galambos|Woeginger|1995}}が説明しているように、 {{Harvtxt|Brown|1979}}と{{Harvtxt|Liang|1980}}は[[オンラインアルゴリズム|オンライン]]の[[ビンパッキング問題|ビンパッキング]]アルゴリズムについて、アルゴリズムの評価の下界を与えるためにシルベスター数列の値を利用した。{{Harvtxt|Seiden|Woeginger|2005}} でも同様に、2次元[[板取り問題|カッティングストック問題]]に対して、3-stage[[ギロチンカット問題|ギロチンカット]]解の下界を与えるためにシルベスター数列が用いられている<ref group="注">論文中でSeidenとWoegingerは、シルベスター数列を {{Harvtxt|Salzer|1947}} の仕事にちなんで「Salzer's sequence」という名前で言及している。</ref>。

{{仮リンク|Známの問題|en|Znám's problem}}は、集合の各要素がそれぞれ他の数の総積に1を足した数の[[約数|真の約数]]であるような集合についての問題である。「真の」約数であるという条件を除くと、シルベスター数列の値はこの問題を解決する。本来の条件の下では、シルベスター数列を定めるものと同様の再帰的な手続きによって、問題の解を得ることができる{{要出典|date=2022-09}}。Známの問題の解は表面特異点の分類<ref>{{Harvtxt|Brenton|Hill|1988}}</ref>や、unary {{Mvar|n}}-cyclic 正規言語を通して[[非決定性有限オートマトン]]の理論{{Sfnp|Domaratzki|Ellul|Shallit|Wang|2005}}への応用が存在する。

{{Harvtxt|Curtiss|1922}} は単位分数の {{Mvar|k}} 項和で1に最も近い近似が、完全数の約数の数に下界を与えることが記されている。{{Harvtxt|Miller|1919}} では同じ性質が {{Mvar|k}} 個の部分群を持つ[[群 (数学)|群]]の位数の上界を与えるために使われている。

== 関連項目 ==

* {{日本語版にない記事リンク|カエン定数|en|Cahen's constant}}
* {{Enlinkm|Primary pseudoperfect number}} - {{OEIS|id=A054377}}
* {{日本語版にない記事リンク|レオナルド数|en|Leonardo number}}- {{OEIS|id=A001595}}

== 脚注 ==

=== 補注 ===
<references group="注" responsive="" />

=== 出典 ===
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
{{refbegin|30em}}
* {{Cite journal|last=Aho|first=A. V.|last2=Sloane|first2=N. J. A.|month=11|year=1973|title=Some Doubly Exponential Seqiences|url=https://www.fq.math.ca/11-4.html|journal=The Fibonacci Quarterly|volume=11|issue=4|pages=429–437|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Badea|first=Catalin|year=1993|title=A theorem on irrationality of infinite series and applications|journal=[[Acta Arithmetica]]|volume=63|issue=4|pages=313–323|DOI=10.4064/aa-63-4-313-323|doi=10.4064/aa-63-4-313-323|mr=1218459|doi-access=free|ref=harv}}
* {{Cite conference |last=Badea |first=Catalin |year=1995 |url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf |title=On some criteria of irrationality for series of positive rationals : a survey |archive-url=https://web.archive.org/web/20080911223925/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf |archive-date=2008-09-11 |conference=Actes des Rencontres Arithmétiques de Caen  |format=pdf |access-date=2006-09-27 }}
*{{Cite journal|last=Boyer|first=Charles P.|last2=Galicki|first2=Krzysztof|last3=Kollár|first3=János|year=2005|title=Einstein metrics on spheres|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=162|issue=1|pages=557–580|arxiv=math.DG/0309408|DOI=10.4007/annals.2005.162.557|doi=10.4007/annals.2005.162.557|mr=2178969|s2cid=13945306|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Brenton|first=Lawrence|last2=Hill|first2=Richard|year=1988|title=On the Diophantine equation 1=&Sigma;1/''n''<sub>''i''</sub> + 1/&Pi;''n''<sub>''i''</sub> and a class of homologically trivial complex surface singularities|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102689567|journal=[[Pacific Journal of Mathematics]]|volume=133|issue=1|pages=41–67|DOI=10.2140/pjm.1988.133.41|doi=10.2140/pjm.1988.133.41|mr=0936356|doi-access=free|ref=harv}}
* {{Cite techreport|last=Brown|first=D. J.|year=1979|title=A lower bound for on-line one-dimensional bin packing algorithms|publisher=Coordinated Science Lab., Univ. of Illinois, Urbana-Champaign|series=Coordinated Science Laboratory Report|volume=R-864|hdl=2142/74218}}
* {{Cite journal|last=Curtiss|first=D. R.|year=1922|title=On Kellogg's diophantine problem|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=29|issue=10|pages=380–387|DOI=10.2307/2299023|doi=10.2307/2299023|JSTOR=2299023|authorlink=David Raymond Curtiss|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Domaratzki|first=Michael|last2=Ellul|first2=Keith|last3=Shallit|first3=Jeffrey|last4=Wang|first4=Ming-Wei|year=2005|title=Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs|url=http://www.cs.umanitoba.ca/~mdomarat/pubs/DESW_dcfs.ps|journal=International Journal of Foundations of Computer Science|volume=16|issue=5|pages=883–896|DOI=10.1142/S0129054105003352|doi=10.1142/S0129054105003352|author3-link=Jeffrey Shallit|mr=2174328|ref=harv}}
* {{Cite book |last=Erdős |first=Paul |author-link=Paul Erdős |title=Old and new problems and results in combinatorial number theory |year=1980 |publisher=Monographies de L'Enseignement Mathématique, No. 28, Univ. de Genève |last2=Graham |first2=Ronald L. |author2-link=Ronald Graham |mr=0592420 |ref=harv|和書}}
* {{Cite book |last=Finch |first=Steven R. |title=Mathematical constants |url=https://www.worldcat.org/oclc/847526740 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |year=2003 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-26691-9 |issn=0953-4806 |location=New York |oclc=847526740 |ref=harv|和書}}
* {{Cite journal|last=Galambos|first=Gábor|last2=Woeginger|first2=Gerhard J.|year=1995|title=On-line bin packing — A restricted survey|journal=Mathematical Methods of Operations Research|volume=42|issue=1|pages=25|DOI=10.1007/BF01415672|doi=10.1007/BF01415672|author2-link=Gerhard J. Woeginger|mr=1346486|s2cid=26692460|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Golomb|first=Solomon W.|year=1963|title=On certain nonlinear recurring sequences|journal=American Mathematical Monthly|volume=70|issue=4|pages=403–405|DOI=10.2307/2311857|doi=10.2307/2311857|JSTOR=2311857|authorlink=Solomon Golomb|mr=0148605|ref=harv}}
* {{Cite book |last=Graham |first=R. |author-link=Ronald Graham |title=Concrete Mathematics |edition=2nd |year=1989 |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-55802-5 |page=Exercise 4.37 |last2=Knuth |first2=D. E. |author2-link=Donald Knuth |last3=Patashnik |first3=O. |at=Exercise 4.37 |ref=harv|和書}}
*{{Cite book |last=Guy |first=Richard K. |author-link=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Number Theory |url=https://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 |edition=3rd |year=2004 |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=0-387-20860-7 |page=346 |chapter=E24 Irrationality sequences |contribution=E24 Irrationality sequences |zbl=1058.11001 |ref=harv|和書}}
*{{Cite journal|last=Guy|first=Richard|last2=Nowakowski|first2=Richard|year=1975|title=Discovering primes with Euclid|journal=Delta (Waukesha)|volume=5|issue=2|pages=49–63|mr=0384675|ref=harv}}
*{{Cite journal|last=Jones|first=Rafe|year=2006|title=The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=78|issue=2|pages=523–544|arxiv=math.NT/0612415|bibcode=2006math.....12415J|DOI=10.1112/jlms/jdn034|doi=10.1112/jlms/jdn034|s2cid=15310955|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Liang|first=Frank M.|year=1980|title=A lower bound for on-line bin packing|journal=Information Processing Letters|volume=10|issue=2|pages=76–79|DOI=10.1016/S0020-0190(80)90077-0|doi=10.1016/S0020-0190(80)90077-0|mr=0564503|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Miller|first=G. A.|year=1919|title=Groups possessing a small number of sets of conjugate operators|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=20|issue=3|pages=260–270|DOI=10.2307/1988867|doi=10.2307/1988867|JSTOR=1988867|doi-access=free|ref=harv}}
*{{Cite journal|last=Odoni|first=R. W. K.|year=1985|title=On the prime divisors of the sequence w<sub>n+1</sub> =1+w<sub>1</sub>⋯w<sub>n</sub>|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=32|pages=1–11|DOI=10.1112/jlms/s2-32.1.1|doi=10.1112/jlms/s2-32.1.1|zbl=0574.10020|series=Series II|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Rosenman|first=Martin|last2=Underwood|first2=F.|year=1933|title=Problem 3536|journal=American Mathematical Monthly|volume=40|issue=3|pages=180–181|DOI=10.2307/2301036|doi=10.2307/2301036|JSTOR=2301036|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Salzer|first=H. E.|year=1947|title=The approximation of numbers as sums of reciprocals|journal=American Mathematical Monthly|volume=54|issue=3|pages=135–142|DOI=10.2307/2305906|doi=10.2307/2305906|JSTOR=2305906|mr=0020339|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Seiden|first=Steven S.|last2=Woeginger|first2=Gerhard J.|year=2005|title=The two-dimensional cutting stock problem revisited|journal=Mathematical Programming|volume=102|issue=3|pages=519–530|DOI=10.1007/s10107-004-0548-1|doi=10.1007/s10107-004-0548-1|author2-link=Gerhard J. Woeginger|mr=2136225|s2cid=35815524|ref=harv}}
* {{Cite arXiv|arxiv=math/0502247|last=Soundararajan|first=K.|title=Approximating 1 from below using {{Mvar|n}} Egyptian fractions|date=2005-02-11}}
* {{Cite journal|last=Sylvester|first=J. J.|year=1880|title=On a point in the theory of vulgar fractions|journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume=3|issue=4|pages=332–335|DOI=10.2307/2369261|doi=10.2307/2369261|JSTOR=2369261|authorlink=J. J. Sylvester|ref=harv}}
* {{Cite book |last=Vardi |first=Ilan |title=Computational Recreations in Mathematica |year=1991 |publisher=Addison-Wesley |isbn=0-201-52989-0 |pages=82–89 |ref=harv|和書}}
{{refend}}

=== 外部リンク ===

* {{Cite web2 |url=http://primerecords.dk/sylvester-factors.htm |title=Factorization of Sylvester's sequence |access-date=2022-09-04 |last=Andersen |first=Jens Kruse |archive-url=https://web.archive.org/web/20220407104341/http://primerecords.dk/sylvester-factors.htm |archive-date=2022-04-07 |date=2007–20}}

* {{Cite web2 |url=https://kenta.blogspot.com/2006/01/factoring-sylvesters-sequence.html |title=factoring Sylvester's sequence |access-date=2022-09-04 |last=Takusagawa |first=Ken |date=19 Jan 2006a |website=Ken's blog |archive-url=https://web.archive.org/web/20220818014703/http://kenta.blogspot.com/2006/01/factoring-sylvesters-sequence.html |archive-date=2022-08-18}}
* {{Cite web2 |url=https://kenta.blogspot.com/2006/04/sylvester-10th-factored.html |title=Sylvester 10th factored |access-date=2022-09-04 |last=Takusagawa |first=Ken |date=2 Apr 2006b |website=Ken's blog |archive-url=https://web.archive.org/web/20220818014705/http://kenta.blogspot.com/2006/04/sylvester-10th-factored.html |archive-date=2022-08-18}}
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