シルベスター方程式のソースを表示

[[数学]]、[[制御理論]]における'''シルベスター方程式'''（シルベスターほうていしき、{{Lang-en-short|Sylvester equation}}）とは、次の形式の[[行列]][[方程式]]である<ref>この方程式は等価な次の形式で書かれることも多い： ''AX''&nbsp;−&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C''</ref>。
:<math>A X + X B = C</math>
ここで行列 ''A'',''B'',''C'' は与えられており、等式を満たすような行列 ''X'' が求めるべき解である。全ての行列の成分は[[複素数]]であるとする。方程式が意味を持つために、行列は適当なサイズでなければならない。例えば、全ての行列が同一サイズの[[正方行列]]である等である。より一般には、''A'' と ''B'' がそれぞれサイズ ''n'' , ''m'' の正方行列であれば、''X'' と ''C'' はいずれも ''n'' 行 ''m'' 列の行列でなければいけない。

シルベスター方程式が一意的な解 ''X'' を持つのは、行列 ''A'' と −''B'' が共通する[[固有値]]を持たないとき、またそのときに限る。

より一般的には、方程式 ''AX''&nbsp;+&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C'' は（[[ハメル次元|次元]]が有限とは限らない）[[バナッハ空間]]上の[[有界作用素]]間の等式であるとして考察されてきた。この場合も解についての条件はほとんど同じである：方程式が一意的な解 ''X'' を持つのは、''A'' と −''B'' の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]が[[素集合|交わりを持たない]]とき、またそのときに限る<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。

==解の存在と一意性==
[[クロネッカー積]]および [[vec作用素]] <math>\operatorname{vec}</math> の記法を用いると、シルベスター方程式は次のように書き直せる。
:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C</math>
ここで <math>A</math> は <math>n\! \times\! n</math> 行列、<math>B</math> は <math>m\!\times\!m</math> 行列、<math>X</math> は <math>n\!\times\!m</math> 行列、<math>I_k</math> は <math>k \times k</math> の[[単位行列]]である。この形に書くと、方程式は <math>mn \times mn</math> [[係数行列]]による[[線型方程式系]]と見ることができる<ref>しかし、この形に書き直した方程式は数値計算には適していない。計算量が増大する上、[[条件数|悪条件]](ill-conditioned)となる可能性があるからである。</ref>。

'''命題''' 複素数成分の <math> n\times n</math> 行列 <math>A</math> と <math>B</math> が与えられたとき、シルベスター方程式が任意の <math>C</math> に対して一意的な解 <math>X</math> を持つための[[必要十分条件]]は <math>A</math> と <math>-B</math> が共通の固有値を持たないことである。

'''証明''' <math>X\mapsto AX+XB</math> で定まる[[線型写像]] <math>S:M_n\rightarrow M_n</math> を考える。

(i) <math>A</math> と <math>-B</math> が共通の固有値を持たないとする。このときそれらの[[固有多項式]] <math>f(z)</math> と <math>g(z)</math> の[[最大公約数]]は定数 <math>1</math> である。よって複素係数[[多項式]] <math>p(z)</math> と <math>q(z)</math> を、<math>p(z)f(z)+q(z)g(z)=1</math> が成り立つようにとることができる（[[ベズーの補題]]）。[[ケイリー・ハミルトンの定理]]より、[[行列多項式]]として<math>f(A)=0=g(-B)</math> であるので、<math>g(A)q(A)=I</math>。

<math>X</math> を <math>S(X)=0</math> の任意の解とする。このとき <math>AX=-XB</math> であり、この等式を <math>X=q(A)g(A)X</math> の右辺に繰り返し適用して <math>X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0</math>。よって写像 <math>S</math> の[[核 (代数学)|核]]の次元は0であり、[[階数・退化次数の定理]]より <math>S</math> は[[可逆元|可逆]]となるから、任意の <math>C</math> に対し一意的な解 <math>X</math> が存在する。

(ii) 逆に、<math>s</math> が行列 <math>A</math> と <math>-B</math> の共通の固有値であるとする。<math>s</math> は[[転置行列]] <math>A^T</math> の固有値でもあることに注意すると、[[零ベクトル]]でないベクトル <math>v</math> , <math>w</math> で <math>A^Tw=sw</math> , <math>Bv=-sv</math> を満たすものが存在する。行列 <math>C</math> を <math>Cv=\overline {w}</math> となるよう選ぶ。右辺は <math>w</math> の[[複素共役]]である。

このとき <math>AX+XB=C</math> には解 <math>X</math> が存在しない。なぜなら、複素数体上の[[双線型形式]]（[[半双線型形式]]ではない）を <math>\langle c_1,c_2 \rangle := \sum_{i=1}^{n} c_{1,i} c_{2,i}</math> と定めて <math>\langle(AX+XB)v,w\rangle=\langle Cv,w\rangle=\langle\overline {w},w\rangle > 0</math> を考えると、この最左辺は

:<math>\langle Xv,A^{T}w \rangle + \langle XBv,w \rangle = \langle Xv,sw \rangle + \langle -sv,w\rangle = 0</math>

となって矛盾するからである。

==ロスの除去法則==

複素数成分行列 <math>A,B,C</math>（サイズはそれぞれ <math>n\! \times\! n , m\! \times\! m , n\! \times\! m</math>）が与えられたとき、次の2つの ''n''&nbsp;+&nbsp;''m'' 次正方行列 
:<math> \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}</math> , <math>\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}</math>
が互いに[[行列の相似|相似]]なのはどのようなときか問うことができる。この必要十分条件は ''AX''&nbsp;−&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C'' を満たす行列 ''X''、言い換えるとシルベスター方程式の解が存在することである。これは'''ロスの除去法則'''（Roth's removal rule）として知られている<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888}}</ref>。

次のことは簡単に確認できる：もし ''AX''&nbsp;−&nbsp;''XB''&nbsp;=&nbsp;''C'' であれば、 
:<math>\begin{bmatrix}I_n & X \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&C\\0&B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & -X \\ 0& I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&0\\0&B \end{bmatrix}</math>
ロスの除去法則はバナッハ空間上の無限階有界作用素へ一般化することはできない<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>。

==数値計算==
シルベスター方程式の解を求める古典的な[[アルゴリズム]]に{{仮リンク|Bartels–Stewartアルゴリズム|en|Bartels–Stewart algorithm}}がある。これは <math>A</math> と <math>B</math> を[[QR法]]によって[[シュール分解|シューア標準形]]に変形し、[[三角行列]]に対する[[ガウスの消去法|後退代入]]によって解を得るものである。このアルゴリズムの算術処理には <math>\mathcal{O}(n^3)</math>（[[ランダウの記号|ランダウのO-記法]]）の[[計算複雑性理論|計算量]]が必要{{Citation needed|date=November 2015}}であり、[[GNU Octave]]における[[LAPACK]]の <code>lyap</code> 関数でも計算量は同じである<ref>https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html</ref>（この言語での <code>sylvester</code> 関数も参照のこと<ref>https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html</ref><ref> <code>syl</code> 関数はGNU Octave Version 4.0以降非推奨となった。</ref>）。いくつかの特殊な画像処理への応用においては、導出されるシルベスター方程式は閉じた形で解が書ける<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing|IEEE]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}</ref>。

==関連項目==
* [[リアプノフ方程式]]
* {{仮リンク|代数的リッカチ方程式|en|Algebraic Riccati equation}}

==脚注==
{{Reflist}}
{{脚注ヘルプ}}

==参考文献==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l’equations en matrices <math>px = xq</math> |journal=[[C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}
* {{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation <math>AX +XB = C</math> |journal=[[Comm. ACM]] |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}
* {{cite journal |first=R. |last=Bhatia |first2=P. |last2=Rosenthal |title=How and why to solve the operator equation  <math>AX -XB = Y </math> ? |journal=[[Bull. London Math. Soc.]] |volume=29 |issue=1 |year=1997 |pages=1–21 |doi=10.1112/S0024609396001828 }}
* {{cite journal |first=S.-G. |last=Lee |first2=Q.-P. |last2=Vu |title=Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum |journal=[[Linear Algebra and its Applications|Linear Algebra Appl.]] |volume=435 |year=2011 |issue=9 |pages=2097–2109 |doi=10.1016/j.laa.2010.09.034 }}
* {{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=[[IEEE Transactions on Image Processing]] |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572|arxiv=1502.03121|bibcode=2015ITIP...24.4109W}}
* {{cite book|last1=Birkhoff and MacLane|title=A survey of Modern Algebra|publisher=Macmillan|pages=213, 299}}

==外部リンク==
* [http://calculator-fx.com/calculator/linear-algebra/solve-sylvester-equation Online solver for arbitrary sized matrices.]
* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/LyapunovSolve.html Mathematica function to solve the Sylvester equation]
* [http://www.mathworks.co.uk/help/matlab/ref/sylvester.html MATLAB function to solve the Sylvester equation]

{{Linear-algebra-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しるべすたーほうていしき}}
[[Category:制御理論]]
[[Category:行列]]
[[Category:方程式]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]