シンクホーンの定理のソースを表示


'''シンクホーンの定理'''（シンクホーンのていり、Sinkhorn's theorem）では、正の成分からなるすべての[[正方行列]]は特定の標準形式で記述できることが述べられている。

== 定理 ==
<math>A</math> が真に正の（0 は含まない）成分からなる正方行列である場合、<math>D_1AD_2</math> が二重確率行列であるような、真に正の成分からなる対角行列 <math>D_1</math>、<math>D_2</math> が存在する。<math>D_1</math> と <math>D_2</math> は、定数倍の不定性を除いて一意である。 <ref name="Sinkhorn">Sinkhorn, Richard. (1964). "A relationship between arbitrary positive matrices and doubly stochastic matrices." ''Ann. Math. Statist.'' '''35''', 876–879. {{Doi|10.1214/aoms/1177703591}}</ref> <ref name="Marshall">Marshall, A.W., & Olkin, I. (1967). "Scaling of matrices to achieve specified row and column sums." ''Numerische Mathematik''. '''12(1)''', 83–90. {{Doi|10.1007/BF02170999}}</ref>

== Sinkhorn-Knopp アルゴリズム ==
二重確率行列に接近する簡単な逐次法は、<math>A</math> のすべての行とすべての列を交互に再スケーリングして合計を 1 にすることである。 Sinkhorn と Knopp はこのアルゴリズムを提示し、その収束性を分析した。 <ref name="SinkhornKnopp">Sinkhorn, Richard, & Knopp, Paul. (1967). "Concerning nonnegative matrices and doubly stochastic matrices". ''Pacific J. Math.'' '''21''', 343–348.</ref>

== 類似物と拡張 ==
ユニタリ行列を対象とした次の類似点も正である。すなわち、

すべての[[ユニタリ行列]] ''<math>U</math>'' に対して、2つの対角ユニタリ行列 <math>L</math> と <math>R</math> が存在し、<math>LUR</math> の列と行の合計は 1 になる。 <ref name="IdelWolf">{{Cite journal|last=Idel|first=Martin|last2=Wolf|first2=Michael M.|date=2015|title=Sinkhorn normal form for unitary matrices|journal=Linear Algebra and its Applications|volume=471|pages=76–84|arxiv=1408.5728|DOI=10.1016/j.laa.2014.12.031}}</ref>

行列間のマップに対する次の拡張も当てはまる（定理5 <ref name="GeoPav">{{Cite journal|last=Georgiou|first=Tryphon|last2=Pavon|first2=Michele|date=2015|title=Positive contraction mappings for classical and quantum Schrödinger systems|journal=Journal of Mathematical Physics|volume=56|pages=033301-1-24|arxiv=1405.6650|bibcode=2015JMP....56c3301G|DOI=10.1063/1.4915289}}</ref> および定理 4.7 <ref name="Gur">{{Cite journal|last=Gurvits|first=Leonid|date=2004|title=Classical complexity and quantum entanglement|journal=Journal of Computational Science|volume=69|pages=448-484|DOI=10.1016/j.jcss.2004.06.003}}</ref> も参照）。すなわち、

[[密度行列]]を別の[[密度行列|行列]]にマッピングする量子操作 <math>\Phi</math> を表すクラウス演算子に対し、

: <math> S \to \Phi(S) = \sum_i B_i S B_i^*, </math>

それはトレース保存であり

: <math> \sum_i B_i^* B_i = I, </math>

さらに、その範囲が正定値錐の内部（真に正）にある場合、再スケールされたKraus演算子

: <math> S \to x_1\Phi(x_0^{-1}Sx_0^{-1})x_1 = \sum_i (x_1B_ix_0^{-1}) S (x_1B_ix_0^{-1})^* </math>

が二重確率であるような正定値であるスケール因子 <math>x_0, x_1</math> が存在する。言い換えれば、それは次の 2 つの式を満たす。

: <math> x_1\Phi(x_0^{-1}I x_0^{-1})x_1 = I, </math>

: <math> x_0^{-1}\Phi^*(x_1I x_1)x_0^{-1} = I, </math>

ここで、<math>I</math> は恒等演算子を示す。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:しんくほおんのていり}}
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