シンプソンの公式のソースを表示

[[画像:simpsons method illustration.svg|thumb|関数 {{math|''f''(''x'')}} {{Color|blue|（青）}} の、二次関数 {{math|''P''(''x'')}} {{Color|red|（赤）}}による近似。]]
'''シンプソンの公式'''（シンプソンのこうしき、{{lang-en-short|Simpson's rule}}）とは、[[数値解析]]の分野における、[[数値積分]]の方法の一つである。[[定積分]]
:<math>\int_a^b f(x)\, dx</math>
の[[近似値]]を、[[関数 (数学)|関数]] {{math|''f''(''x'')}} を[[二次関数]]で近似することによって得る。名前は、[[トーマス・シンプソン]]に因んでいる。次数2の閉じた[[ニュートン・コーツの公式]]である。'''シンプソン則'''ともいう。

== 基本 ==
シンプソンの公式は、{{math|''f''(''x'')}} を[[二次関数]] {{math|''P''(''x'')}} で近似することによって導かれる。ここで、{{math|''P''(''x'')}} は {{math|''f''(''x'')}} の {{math|''a'', ''b'', ''m''}} における値をそれぞれとる<ref>''m'' は“中点”、すなわち {{math|{{sfrac|''a'' + ''b''|2}}}}</ref>。{{math|''P''(''x'')}} は、[[ラグランジュ補間]]によって、次の[[多項式]]（{{mvar|x}} の二次式）になることが分かる。
:<math>P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+
f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.
</math>
この多項式を範囲 [''a'', ''b''] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。
:<math> \int_a^b f(x) \, dx\approx \int_a^b P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].</math>
シンプソンの公式による、積分の近似の[[誤差]]は、''a'' と ''b'' の間にある {{mvar|ξ}} によって、次式で見積もれる（{{mvar|h}} の5次式）。
:<math>-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)</math>
ただし、{{math|''h'' {{=}} (''b'' − ''a'')/2}}。さらに {{math|''f''(''x'')}} が2回微分可能で {{mvar|f<nowiki>''</nowiki>}} が[[凸関数]]であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。
:<math>(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{3}h^3f''\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].</math>

== 合成シンプソン公式 ==
シンプソンの公式は、積分範囲 [''a'', ''b''] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分[[区間 (数学)|区間]]に[[集合の分割|分割]]し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、'''合成シンプソン公式'''（composite Simpson's rule）として知られている。
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx 
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg].</math>
ただし、''n'' は [''a'', ''b''] を等しく[[偶数]]個に分割した部分区間の個数、{{math2|1=''h'' = {{sfrac|''b'' &minus; ''a''|''n''}}}} は各部分区間の長さ、{{math|''x''<sub>i</sub> {{=}} ''a'' + ''ih'' (''i'' {{=}} 0, ..., ''n'')}}、特に、{{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} ''a'', ''x<sub>n</sub>'' {{=}} ''b''}}。この式は、次のようにも書ける。
:<math>\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\dotsb+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].</math>

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。
:<math>-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi).</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 関連記事 ==
* [[ニュートン・コーツの公式]]

== 参考文献 ==
* {{Cite book |author=Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas |title=Numerical Analysis, (7th Ed) |publisher=Brooks/Cole |year=2000 |id=ISBN 0534382169}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Simpson's rule}}
* {{高校数学の美しい物語|766|シンプソンの公式の証明と例題}}
* {{MathWorld|title=Simpson's Rule|urlname=SimpsonsRule}}

{{DEFAULTSORT:しんふそんのこうしき}}
[[Category:数値積分]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]