シンプレクティック簡約化のソースを表示

'''シンプレクティック簡約化'''とは、マースデンとワインシュタインによって示された「'''シンプレティック多様体の自由度低減定理'''」のこと。
これは[[解析力学]]における[[ネーターの定理]]の一般化であるともみられる。

== 簡約化 (Weinstein and Marsden) ==
<math>\, (M,\omega) \,</math>を[[シンプレクティック多様体]]とする。
また、<math>\, G \,</math>を[[リー群]]とし、Ｍに作用しているとする：

<math>\, \mathrm{L}_{g} : M \to M ; x \to g\cdot x, \,\,\,\, g\in G. \,</math>

さらに、このＧによる作用はシンプレクティック形式<math>\, \omega \,</math>を保つ、
すなわち、<math>\, L_{g}^{*}\omega = \omega \,</math>であるとする。

<math>\, \mathfrak{g} \,</math>でＧの[[リー代数]]を表し、
<math>\, \mathfrak{g}^* \,</math>でその[[双対空間]]を表すことにする。
リー群Ｇのシンプレクティック多様体Ｍへの作用に関する[[運動量写像]]
<math> J : M \to \mathfrak{g}^* \,</math>とは

<math> dJ_{x}(X)(\xi) = \omega_{x}(\xi_{M}|_{x}, X), \,\,\,\,\, X \in T_{x}M \,</math>

を満たすものである。
ここで、<math>\, \xi \in \mathfrak{g} \,</math>であり、
<math>\, \xi_{M} \,</math>は<math>\, \xi \,</math>に関するＭ上の基本ベクトル場である。
また、<math>\, dJ : TM \to T\mathfrak{g}^* \,</math>はＪの微分写像である。

<!--[[Category:シンプレクティック幾何学|*]]-->
[[Category:幾何学|しんぷれくてぃっくきかがく]]
[[Category:数学に関する記事|しんふれくていつくかんやくか]]