ジェネリックフィルターのソースを表示

数学の[[集合論]]における、'''ジェネリックフィルター'''
とは、[[強制法]]の理論で使われる対象の一種で、
そのテクニックはいろんな目的に使われるが、特に、何かしらの命題の
ZFCのような形式的な理論からの独立性を示すのに使われる。

例えば、[[ポール・コーエン (数学者)|ポール・コーエン]]はZFCが無矛盾であれば
[[連続体仮説]](実数全体の集合の濃度が <math>\aleph_1</math> である)
を証明することができないということを示すのに使った。
コーエンの証明は、<math>\aleph_1</math> の値を変えることなしに、
<math>\aleph_1</math> より多くの実数を生成する
ジェネリックフィルターを構成することによって為された。

形式的には、''P'' を[[半順序]]として、''F'' を ''P'' 上の[[フィルター (数学)|フィルター]]とする。
すなわち、''F'' は ''P'' の部分集合で、

#''F'' は空でない
#''p'',''q''&isin;''P'' で、 ''p''&le;''q'' で、 ''p'' が ''F'' の要素なら、''q'' も''F'' の要素(''F'' は''上に閉じている'')
#''p'' と ''q'' が ''F''の要素なら、''F''の要素''r''で、''r''&le;''p'' かつ ''r''&le;''q'' となるものが存在する。(''F'' の任意の二要素は''両立'' する。)

を満たす。

''D'' を ''P'' の[[ラショーヴァ＝シコルスキの補題|稠密]]部分集合の族とする。
フィルター''F'' が '''''D''-ジェネリック''' であるとは、''F'' が ''D''の要素の全てと交わりを持つこと、
すなわち、
:<math>F\cap E \ne \varnothing,\,</math> for all E &isin; D
となることである。

同様に、''M'' がZFCの推移モデル(または、十分なフラグメント)で、
''P'' が ''M'' の要素であるとき、''F'' が ''' ''M''上ジェネリック'''であるとは、
''D'' を ''P'' の稠密開部分集合とすると、
:<math>F\cap D \ne \varnothing,\,</math> for all D &isin; M
となることである。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考 ==
* K. Ciesielski, ''Set Theory for the Working Mathematician'', [[London Mathematical Society]]

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[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]
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