ジェリウムモデルのソースを表示

{{出典の明記|date=2017-05-06}}
'''ジェリウム'''（Jellium）は、固体中の原子核がもつ[[正電荷]]と[[電子密度]]が、固体内で均一に分布していると仮定する[[モデル (自然科学)|模型]]である。この模型によって、[[結晶格子]]などの固体の構造を無視して、固体中の電子の量子力学的性質と、固体中の電子との相互作用によって起こる効果について比較的簡単に議論することが可能になる。'''均一電子ガス'''または'''一様電子ガス'''（uniform electron gas、'''UEG'''; homogeneous electron gas、'''HEG'''）とも呼ばれる。

== 概要 ==
ジェリウムは、非局在化した金属中の電子の単純な模型として、[[固体物理学]]でしばしば使われ、[[遮蔽]]、[[プラズモン]]、[[ウィグナー結晶]]化、[[フリーデル振動]]といった金属の特徴を定性的に再現できる。

[[絶対零度]]では、ジェリウムの性質は一定の[[電子密度]]にのみ依存する。これが[[密度汎関数理論]]内での取り扱いに役立つ。ジェリウム模型自身は[[交換相互作用|交換]]-[[電子相関|相関]]エネルギー密度汎関数への[[局所密度近似]]の基礎を与える。

「Jellium」という用語は、{{仮リンク|コニャーズ・ヘリング|en|Conyers Herring}}による造語である。これは「positive jelly」背景とそれが示す典型的な金属的振る舞いを暗示する<ref>{{cite journal|doi=10.1162/posc.2006.14.4.457|last=Hughes|first=R. I. G. |year=2006|title=Theoretical Practice: the Bohm-Pines Quartet|journal=Perspectives on Science|volume=14|issue=4|pages=457–524|url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v014/14.4hughes.pdf}}</ref>。

ジェリウムモデルのみ（例：正電荷のジェリウム＋[[自由電子]]）で電子状態の計算が行われる以外にも、[[バンド計算]]においては[[単位胞]]内で通常電荷の中性が保たれるが、[[電子]]が過剰あるいは過少にあると仮定し、そのままの計算では[[エバルト項]]などが発散してしまう場合に使われる。この発散の問題を解消するため、電子が過剰な場合は全体の電荷中性を満たすよう、正（過少なら負）の一様な電荷（→ジェリウム）を分布させる。ただし、これは近似なので、現実の系を正しく記述できてはいない。

== ハミルトニアン ==
電子系のハミルトニアンが

:<math>	H^{(\mathrm{e})}=\sum_{i}\left(\frac{\boldsymbol{p}^{2}_{i}}{2m}+V_{L}(\boldsymbol{r}_{i})\right)-\sum_{i\neq{}j}\frac{e^{2}}{|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}|}+E_{I}</math>

で与えられるときを考える<ref>{{Cite book|title=Kotai denshiron|url=https://www.worldcat.org/oclc/675293964|publisher=裳華房|date=1995|isbn=4-7853-2062-1|oclc=675293964|others=Kanaji, Tooru, 1931-, 金持, 徹, 1931-}}</ref>。ここで、<math display="inline">V_L(\boldsymbol{r}_{i})</math>は格子ポテンシャルで、<math>E_{I}</math>はイオンの背景電荷によるエネルギーである。これらは

:<math>	V_{L}(\boldsymbol{r}_{i}):=-\sum_{\lambda}\frac{Z_{\lambda}e^{2}}{|\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{R}_{\lambda}|},\ E_{I}:=\sum_{\lambda\neq{}\lambda'}\frac{Z_{\lambda}Z_{\lambda'}e^{2}}{|\boldsymbol{R}_{\lambda}-\boldsymbol{R}_{\lambda'}|}
</math>

で定義される。ここで<math>\boldsymbol{r}_{i}</math>は<math>i</math>番目の電子の位置、<math>\boldsymbol{R}_{\lambda}</math>は<math>\lambda</math>番目のイオンの位置、<math>m</math>は電子の電荷、<math>Z_{\lambda}</math>はイオンの価数を表す。ジェリウムモデルでは、格子ポテンシャルを連続体近似して、<math display="block">V_L(\boldsymbol{r})=-\sum_\lambda\frac{Z_{\lambda}e^{2}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}_{\lambda}|}\simeq-\int{}d^{3}R\frac{Ze^{2}n_{I}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|}=-n\int{}d^{3}R\frac{e^{2}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|}</math>

<math display="block">E_{I}=\sum_{\lambda\neq{}\lambda'}\frac{Z_{\lambda}Z_{\lambda'}e^{2}}{|\boldsymbol{R}_{\lambda}-\boldsymbol{R}_{\lambda'}|}\simeq\iint{}d^{3}Rd^{3}R'\frac{Z^{2}e^{2}n^{2}_{I}}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'|}=n^{2}\iint{}d^{3}Rd^{3}R'\frac{e^{2}}{|\boldsymbol{R}-\boldsymbol{R}'|}.
</math>とする。ここで<math>n</math>は電子密度、<math display="inline">n_{I}</math>はイオン密度である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* 浅野健一　『固体電子の量子論』　東京大学出版会、2019年、16頁。

== 関連項目 ==
* [[電子ガス]]
* [[第一原理バンド計算]]

{{Physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:しえりうむもてる}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:計算物理学]]
[[Category:密度汎関数理論]]