ジェルゴンヌ点のソースを表示

[[File:Triangle-gergonne-point.svg|thumb|三角形と[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]とジェルゴンヌ点]]
'''ジェルゴンヌ点'''（ジェルゴンヌてん、''Gergonne Point''）は、[[三角形]]上で一意的に定義される[[三角形の中心|点]]の1つである。[[ジョセフ・ジェルゴンヌ]]に由来する。

1818年に発行された、''Annales de Math''（[[Annales de Gergonne]]）1818-9 にこの点についての記述がある<ref>[[岩田至康]]『幾何学大辞典』（1971年初版） P.192</ref>。

== 定義と証明 ==
三角形ABCの[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]が辺BC,AC,AB と接する点をそれぞれ X,Y,Z とする。AX,BY,CZ の3つの線の交点がジェルゴンヌ点となる。

[[円 (数学)|円]]と[[接線]]の関係から AY=AZ などが成り立つため、[[チェバの定理]]の逆より3本の線が1点で交わることは自明である。

== 性質 ==
* [[三角形の内接円と傍接円|内心]]と[[ド・ロンシャン点]]を通る直線上にある。この線を[[ソディ線]]<ref>{{MathWorld|title=Soddy Line|urlname=SoddyLine}}</ref>という。
* [[ナーゲル点]]と[[等長共役]]の関係にある。
* ジェルゴンヌ点と内接円と[[外接円]]の内側の相似中心X<sub>55</sub>は[[等角共役]]の関係にある。
* ジェルゴンヌ点の[[重心座標]]は以下の式で表される。
*: <math>\frac{1}{-a+b+c}:\frac{1}{a-b+c}:\frac{1}{a+b-c}</math>
* [[フォイエルバッハ双曲線]]上にある。

== チェバ三角形 ==
ジェルゴンヌ点の[[チェビアン#チェバ三角形|チェバ三角形]]XYZは'''ジェルゴンヌ三角形'''、または接触三角形(intouch triangle,contact triangle)と呼ばれる。また、ジェルゴンヌ三角形と元の三角形の[[配景]]の軸をジェルゴンヌ線と言う<ref>{{Cite web |title=Contact Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。ジェルゴンヌ線とソディ線は直交する。

=== アダムス円 ===
{{Mvar|YZ, ZX, XY}}に平行でジェルゴンヌ点を通る直線をそれぞれ{{Mvar|l, m, n}}とする。{{Mvar|l}}と{{Mvar|AB}}、{{Mvar|l}}と{{Mvar|AC}}、{{Mvar|m}}と{{Mvar|BA}}、{{Mvar|m}}と{{Mvar|BC}}、{{Mvar|n}}と{{Mvar|CA}}、{{Mvar|n}}と{{Mvar|CB}}の交点は[[共円]]である。この円を{{仮リンク|アダムス円|fr|Cercle d'Adams}}と言う<ref>{{Cite web |title=Adams' Circle |url=https://mathworld.wolfram.com/AdamsCircle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂書店]] |page=622 |doi=10.11501/930885}}</ref>。[[カール・アダムス (数学者)|カール・アダムス]]の名を冠する。アダムス円の中心は内心である。アダムス円の半径は以下の式で表される。

<math>\frac{r\sqrt{p^2-abcs-ps^2}}{p-s^2}</math>

ここで{{Mvar|s}}は[[半周長]]、{{Mvar|r}}は内接円の半径、{{Mvar|p}}は{{Math|1= ''ab'' + ''bc'' + ''ca''}}である。この6点を辺上に持つもう1つの三角形の[[類似重心]]、第一ルモワーヌ円はそれぞれ元の三角形のジェルゴンヌ点、アダムス円となる。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[三角形]]
* [[三角形の中心]]
* [[フォイエルバッハ双曲線|刈屋の定理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Gergonne Point|urlname=GergonnePoint}}

{{DEFAULTSORT:しえるこんぬてん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:三角形の中心]]
[[fr:Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle#Point de Gergonne]]