ジップの法則のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年7月6日 (水) 05:46 (UTC)}}
{{確率分布|
  name       =ジップの法則|
  type       =密度|
  pdf_image  =[[画像:Zipf distribution PMF.png|325px|Plot of the Zipf PMF for ''N'' = 10]]<br /><small>''N'' = 10の両対数スケールのZipf確率密度関数。横軸は順位''k''。この関数は''k''の整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。）</small>|
  cdf_image  =[[Image:Zipf distribution CMF.png|325px|Plot of the Zipf CDF for N=10]]<br /><small>''N'' = 10のZipf累積分布関数。横軸は順位''k''。（この関数は''k''の整数値のみについて定義されていることに注意。点間の接続線は連続であることを意味してはいない。）</small>|
  parameters =<math>s \geq 0\,</math> ([[実数]])<br /><math>N \in \{1,2,3\ldots\}</math> ([[整数]])|
  support    =<math>k \in \{1,2,\ldots,N\}</math>|
  pdf        =<math>\frac{1/k^s}{H_{N,s}}</math> ここで''H<sub>N,s</sub>''は''N''番目の一般化[[調和数 (発散列)|調和数]]|
  cdf        =<math>\frac{H_{k,s}}{H_{N,s}}</math>|
  mean       =<math>\frac{H_{N,s-1}}{H_{N,s}}</math>|
  median     =|
  mode       =<math>1\,</math>|
  variance   =<math>\frac{H_{N,s-2}}{H_{N,s}}-\frac{H^2_{N,s-1}}{H^2_{N,s}}</math>|
  skewness   =|
  kurtosis   =|
  entropy    =<math>\frac{s}{H_{N,s}}\sum\limits_{k=1}^N\frac{\ln(k)}{k^s}
+\ln(H_{N,s})</math>|
  mgf        =<math>\frac{1}{H_{N,s}}\sum\limits_{n=1}^N \frac{e^{nt}}{n^s}</math>|
  char       =<math>\frac{1}{H_{N,s}}\sum\limits_{n=1}^N \frac{e^{int}}{n^s}</math>|
}}
[[File:Zipf 30wiki en labels.png|400px|thumb|ウィキペディア（30ヶ国語版）における単語の出現頻度]]
'''ジップの法則'''（ジップのほうそく、{{lang|en|Zipf's law}}）あるいは'''ジフの法則'''とは、出現頻度が {{mvar|k}} 番目に大きい要素が、1位のものの頻度と比較して {{math|{{sfrac|1|''k''}}}}  に比例するという経験則である。{{lang|en|Zipf}} は「ジフ」と読まれることもある。また、この法則が機能する世界を「ジフ構造」と記する論者もいる。

包括的な理論的説明はまだ成功していないものの、様々な現象に適用できることが知られている。この法則に従う[[確率分布]]（離散分布）を'''ジップ分布'''という。ジップ分布は{{仮リンク|ゼータ分布|en|Zeta distribution}}の特殊な形である。

この法則はアメリカの言語学者[[ジョージ・キングズリー・ジップ]]に帰せられている。ジップ以前に似た観察をしていた先行研究として{{仮リンク|Felix Auerbach|en|Felix Auerbach}}、{{仮リンク|Jean-Baptiste Estoup|fr|Jean-Baptiste Estoup}}などの研究があり、ジップ自身もそのことを1942年の論文で紹介した<ref>{{Cite journal|last=Zipf|first=George Kingsley|date=1942|title=The Unity of Nature, Least-Action, and Natural Social Science|url=https://www.jstor.org/stable/2784953|journal=Sociometry|volume=5|issue=1|pages=48–62|doi=10.2307/2784953|issn=0038-0431}}</ref>。

== 法則が成立する現象の例 ==
次のような様々な現象（自然現象、社会現象など）に成り立つ場合があることが確認されている：
* 単語の出現頻度：言語全体だけでなく、例えば「[[ハムレット]]」など1作品中でも成り立つことが示されている。
* [[ウェブページ]]への[[アクセス]]頻度
* [[都市]]の[[人口]]（都市の[[順位・規模法則]]）
* 上位3%の人々の[[収入]]
* [[音楽]]における[[音符]]の使用頻度
* [[細胞]]内での[[遺伝子]]の発現量
* [[地震]]の[[マグニチュード|規模]]
* [[固体]]が割れたときの破片の大きさ

== 論理的な定義==
一般のジップの法則は
:<math>f(k;s,N)=\frac{1/k^s}{\sum_{n=1}^N 1/n^s}</math>
（ただし {{mvar|N}} は全要素の数、{{mvar|k}} は順位）と書き表される。

ここで元来のジップの法則では {{math|''s'' {{=}} 1}} である。このとき {{mvar|N}} を無限大にすると分母は[[収束級数|収束]]しない（無限大に発散する、「[[調和級数]]」を参照）ため、元来のジップの法則では {{mvar|N}} を有限としなければならない（現実にもそう考えられる場合が多い）。

ただし {{mvar|s}} が1より少しでも大きい[[実数]]ならば、{{mvar|N}} を無限大にしても分母は収束し（[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]] {{math|''ζ''(''s'')}} に等しい）、{{mvar|k}} の値を無限にとりうる分布関数とすることができる。

== 関連する概念 ==
ジップの法則は[[冪乗則]] ({{lang|en|Power law}}) の一種である。また、ジップ分布は変数変換により[[パレート分布]]（連続分布）と同じ形になることが示されている。パレート分布の離散型である。[[パレートの法則]]はパレート分布の特別な場合に当たり、また[[80-20の法則]]とも関係がある。'''順位規模の法則'''とも呼ばれる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[パレートの法則]]
* [[80-20の法則]]

{{確率分布の一覧}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しつふのほうそく}}
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