ジャコブソン予想のソースを表示

[[抽象代数学]]において、'''ジャコブソン予想''' (Jacobson's conjecture) は[[ネーター環]]の[[ジャコブソン根基]]のベキの共通部分に関する[[環論]]の未解決問題である。

それは今のところネーター環の特別なタイプに対してしか証明されていない。環が一方の側でネーターでないときに予想が成り立たないことを示す例が存在するので、環が両側ネーターであることは絶対に必要である。

予想は予想の最初のバージョンを提出した代数学者 [[:en:Nathan Jacobson|Nathan Jacobson]] にちなんで名づけられている。

==ステートメント==
ジャコブソン根基 ''J'' をもつ環 ''R'' に対して、非負の冪 ''J''<sup>''n''</sup> は[[イデアルの積]]を使って定義される。

:''ジャコブソン予想：'' 右かつ左[[ネーター環]]において、<math>\bigcap_{n\in \mathbb{N}}J^n=\{0\}.</math>

言い換えると： "''J'' のすべての冪に入るネーター環の唯一の元は 0 である。"

ジャコブソンによって1956年に<ref>{{citation
 | last = Jacobson | first = Nathan
 | location = 190 Hope Street, Prov., R. I.
 | mr = 0081264
 | page = 200
 | publisher = American Mathematical Society
 | series = American Mathematical Society, Colloquium Publications, vol. 37
 | title = Structure of rings
 | year = 1956}}. As cited by {{citation
 | last1 = Brown | first1 = K. A.
 | last2 = Lenagan | first2 = T. H.
 | doi = 10.1017/S0017089500004729
 | issue = 1
 | journal = Glasgow Mathematical Journal
 | mr = 641612
 | pages = 7–8
 | title = A note on Jacobson's conjecture for right Noetherian rings
 | volume = 23
 | year = 1982}}.</ref> 提出されたもともとの予想は非可換片側ネーター環について問うていたが、[[:en:Herstein|Herstein]] は 1965 年に{{sfn|Herstein|1965}} 反例を示し、すぐ後に Jategaonkar が左[[主イデアル環|主イデアル域]]である別の例を示した{{sfn|Jategaonkar|1968}}。その時以来、予想は両側ネーター環を要求するように再定式化された。

==部分的結果==
ジャコブソン予想はネーター環の特定のタイプに対して証明されている：
* [[可換環|可換]]ネーター環はすべてジャコブソン予想を満たす。これは[[クルルの交叉定理]]の結果である。
* [[Fully bounded Noetherian ring]]s{{sfn|Cauchon|1974}}{{sfn|Jategaonkar|1974}}
* [[クルル次元]] 1 のネーター環{{sfn|Lenagan|1977}}
* [[second layer condition]] を満たすネーター環{{sfn|Jategaonkar|1982}}
==脚注==
{{Reflist}}
==参考文献==
*{{citation |last=Cauchon|first=Gérard |title=Sur l'intersection des puissances du radical d'un T-anneau noethérien |language=French |journal=C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A |volume=279 |year=1974 |pages=91–93 |mr=0347894}}
*{{citation  |last1=Goodearl|first1=K. R.   |last2=Warfield|first2=R. B., Jr.   |title=An introduction to noncommutative Noetherian rings   |series=London Mathematical Society Student Texts  |volume=61   |edition=2   |publisher=Cambridge University Press   |place=Cambridge  |year=2004  |pages=xxiv+344<!--   |isbn=0-521-83687-5   -->|isbn=0-521-54537-4   |mr=2080008 }}
*{{citation |last=Herstein |first=I. N. |title=A counterexample in Noetherian rings |journal=Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. |volume=54 |year=1965 |pages=1036–1037 |issn=0027-8424 |mr=0188253 |doi=10.1073/pnas.54.4.1036}}
*{{citation |last=Jategaonkar |first=Arun Vinayak |title=Left principal ideal domains |journal=J. Algebra |volume=8 |year=1968 |pages=148–155 |issn=0021-8693 |mr=0218387 |doi=10.1016/0021-8693(68)90040-9}}
*{{citation|last=Jategaonkar |first=Arun Vinayak |title=Jacobson's conjecture and modules over fully bounded Noetherian rings |journal=J. Algebra |volume=30 |year=1974 |pages=103–121 |issn=0021-8693 |mr=0352170 |doi=10.1016/0021-8693(74)90195-1}}
*{{citation |last=Jategaonkar|first=Arun Vinayak |title=Solvable Lie algebras, polycyclic-by-finite groups and bimodule Krull dimension |journal=Comm. Algebra|volume=10 |year=1982  |number=1  |pages=19–69  |issn=0092-7872  |mr=674687  |doi=10.1080/00927878208822700}}
*{{citation   |last=Lenagan|first=T. H. |title=Noetherian rings with Krull dimension one  |journal=J. London Math. Soc. (2)  |volume=15  |year=1977  |number=1  |pages=41–47  |issn=0024-6107 |mr=0442008}}
*{{citation |last=Rowen  |first=Louis H. |title=Ring theory. Vol. I  |series=Pure and Applied Mathematics  |volume=127  |publisher=Academic Press Inc.  |place=Boston, MA |year=1988  |pages=xxiv+538  |isbn=0-12-599841-4  |mr=940245}}

{{DEFAULTSORT:しやこふそんよそう}}
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