ジャック–ベラ検定のソースを表示

'''ジャック＝ベラ検定'''（ジャック＝ベラけんてい、{{lang-en-short|Jarque–Bera test}}）とは、[[統計学]]において[[標本]]データが[[正規分布]]に従う[[尖度]]と[[歪度]]を有しているかどうかを調べる[[適合度検定]]である。[[検定]]名は[[w:Carlos Jarque|Carlos Jarque]]と[[w:Anil K. Bera|Anil K. Bera]]にちなんで名づけられた。

== 概要 ==
[[検定統計量]] ''JB'' は以下のように定義される。

: <math>
    \mathit{JB} = \frac{n}{6} \left[ S^2 + \frac14 (K-3)^2 \right]
  </math>

ここで、''n'' は標本サイズ、''S'' は標本歪度、''K'' は標本尖度である。''S'' 及び ''K'' は次式で表される。

: <math>\begin{align}
  S &= \frac{ \hat{\mu}_3 }{ \hat{\sigma}^3 } 
     = \frac{\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^3} {\left[\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \right]^{3/2}} ,\\
  K &= \frac{ \hat{\mu}_4 }{ \hat{\sigma}^4 }  
     = \frac{\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^4} {\left[\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \right]^2} .
  \end{align}</math>

ここで、<math>\hat{\mu}_3</math> と <math>\hat{\mu}_4</math> はそれぞれ三次及び四次中心[[モーメント (数学)|モーメント]]の推計値、<math>\bar{x}</math> は標本[[平均]]、<math>\hat{\sigma}^2</math> は二次中心モーメントの推計値（すなわち[[分散 (確率論)|分散]]）である。

標本データが正規分布から得られたとすれば、統計量 ''JB'' は漸近的に[[自由度]] 2 の[[カイ二乗分布]]に従う。そのため、統計量 ''JB'' は標本データが正規分布由来であるという仮説を検定するのに利用できる。[[帰無仮説]]は歪度がゼロであるという仮説と過剰尖度がゼロであるという仮説の結合仮説である。正規分布由来の標本は歪度の期待値が 0 及び過剰尖度の期待値が 0（尖度 3 と等しい）である。統計量 ''JB'' の定義が示す通り、歪度と尖度が 0 から逸脱すると ''JB'' の値は増加する。

== 小標本の場合 ==
小標本の場合、カイ二乗近似は過剰に敏感に働く。すなわち、実際には帰無仮説が正しくても、検定によって帰無仮説がしばしば棄却される。その上、[[p値]]の分布は単一分布から逸脱し右にひずんだ単峰の分布となる。特に''p''値が小さい場合は分布のひずみの影響が大きくなる。こうして、[[第一種過誤と第二種過誤|第一種の過誤]]率''α''が上昇する。下表にカイ二乗分布から近似した''p''値を示す。小標本の場合''p''値が真の''α''と異なるとわかる。

:{| class="wikitable"
|+真のα値と標本サイズを変化させたときの近似''p''値との対応
! rowspan="2"|真の''α''値 
!! colspan="5"|標本サイズ
|-
!20 !! 30 !! 50 !! 70 !! 100
|-
! 0.1
| 0.307 || 0.252 || 0.201 || 0.183 || 0.1560
|-
! 0.05
| 0.1461 || 0.109 || 0.079 || 0.067 || 0.062
|-
! 0.025
| 0.051 || 0.0303 || 0.020 || 0.016 || 0.0168
|-
! 0.01
| 0.0064 || 0.0033 || 0.0015 || 0.0012 || 0.002
|}

（これらの値は[[MATLAB]]の[[モンテカルロ法|モンテカルロ]]シミュレーションから近似された値である。）

MATLABでは、標本サイズが大きい（2000以上）ときのみ''JB''統計量分布をカイ二乗で近似する。標本サイズが2000未満の場合MATLABはp値を補間するためにモンテカルロシミュレーションから得られた表を用いる。

== 歴史 ==
Bowman and Shenton は1975年に発表した論文で、統計量''JB''がカイ二乗分布に漸近すると言及した{{harv|Bowman|Shenton|1975}} 。しかし彼らは「カイ二乗近似が成立するためには大きな標本サイズが必要なことは疑いない。」（p.243）とも言及している。彼らは[[w:D'Agostino's K-squared test|D'AgostinoのK二乗検定]]を支持し、''JB''の性質についてそれ以上の研究をしなかった。

1979年ごろ[[回帰分析]]に関する博士論文の研究をしていたAnil BeraとCarlos Jarqueは観察されていない回帰[[残差]]の正規性を検定するために[[ラグランジュの未定乗数法]]を[[w:Pearson distribution|ピアソン族の分布]]に適用した。その結果、ジャック-ベラ検定が漸近的に最適であることを彼らは発見した。（漸近に達するには非常に大きな標本サイズを要するのだが。）1980年に彼らは論文を発表した{{harv|Jarque|Bera|1980}}。その論文では、[[正規性]]、[[等分散性]]および線形回帰モデルに由来する残差に[[自己相関]]がないことを連続的に検定するためのより発展的な事例を取り扱った。ジャック-ベラ検定はその論文内でより単純な事例として言及されたものである。ジャック-ベラ検定に関する完全な論文は1987年にInternational Statistical Reviewで発表された。その論文では観察値の正規性の検定と観察されていない回帰残差の正規性の検定の両方を取扱い、有限標本の有意点を与えた。

== ジャック-ベラ検定を実行できるソフトウェア ==
* [http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/jarqueberatest.php ALGLIB]では[[C++]], [[C#]], [[Delphi]], [[Visual Basic]]等の[[プログラミング言語]]で実行可能な[[ソースコード]]が公開されている。
* [[R言語|R]]では、''tseries''パッケージ内の''jarque.bera.test''関数や ''moments''パッケージ内の''jarque.test''で実行できる。
* [[MATLAB]]では、"jbtest"関数で実行できる。
* [[gretl]]
*[[IGOR pro]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
{{refbegin}}
* {{cite journal
  | first1 = K.O. | last1 = Bowman
  | first2 = L.R. | last2 = Shenton
  | title = Omnibus test contours for departures from normality based on √''b''<sub>1</sub> and ''b''<sub>2</sub>
  | year = 1975
  | journal = Biometrika
  | volume = 62 | issue = 2
  | pages = 243–250
  | jstor = 2335355
  | ref = CITEREFBowmanShenton1975
  }}
* {{cite journal
  | first1 = Carlos M. | last1 = Jarque
  | first2 = Anil K. | last2 = Bera
  | title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals
  | year = 1980
  | journal = Economics Letters
  | volume = 6 | issue = 3
  | pages = 255–259
  | doi = 10.1016/0165-1765(80)90024-5
  | ref = CITEREFJarqueBera1980
  }}
* {{cite journal
  | first1 = Carlos M. | last1 = Jarque
  | first2 = Anil K. | last2 = Bera
  | title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence
  | year = 1981
  | journal = Economics Letters
  | volume = 7 | issue = 4
  | pages = 313–318
  | doi = 10.1016/0165-1765(81)90035-5
  | ref = CITEREFJarqueBera1981
  }}
* {{cite journal
  | first1 = Carlos M. | last1 = Jarque
  | first2 = Anil K. | last2 = Bera
  | title = A test for normality of observations and regression residuals
  | year = 1987
  | journal = International Statistical Review
  | volume = 55 | issue = 2
  | pages = 163–172
  | jstor = 1403192
  | ref = CITEREFJarqueBera1987
  }}
* {{cite book
  | first = | last = Judge
  | coauthors = et al.
  | title = Introduction and the theory and practice of econometrics
  | year = 1988
  | edition = 3rd
  | pages = 890–892
  }}
*{{cite web
  |url=http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/stats/jbtest.html
  |title=Jarque-Bera検定 - MATLAB
  |publisher=MathWorks
  |accessdate=May 25, 2012
  }}
*{{cite book|和書
  |author = 向井文雄編著
  |title = 生物統計学
  |series = 基礎生物学テキストシリーズ
  |publisher = 化学同人
  |year = 2011
  |page = 121
  |isbn = 978-4-7598-1109-4
  }}
{{refend}}

== 関連項目 ==
以下の検定手法はいずれもジャック-ベラの検定と同様に正規性の検定に用いられる。
*[[コルモゴロフ-スミルノフ検定]]
*[[リリフォース検定]]
*[[シャピロ-ウィルク検定]]
*[[アンダーソン-ダーリング検定]]

{{統計学}}

{{DEFAULTSORT:しやつくへらけんてい}}
[[Category:正規性検定]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]