ジョルダンの補題のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年5月12日 (日) 09:11 (UTC)}}
[[複素解析]]において、'''ジョルダンの補題'''は、[[複素線積分|周回積分]]と[[広義積分]]を評価するために[[留数定理]]と組み合わせて頻繁に使用される定理である。フランスの数学者[[カミーユ・ジョルダン]]にちなんで名付けられた。

== 定理 ==
原点を中心とする[[上半平面]]にある正の半径{{Math|''R''}}の半円の経路で定義された[[複素数]]値の[[連続写像|連続関数]]{{Math|''f''}}を考える。

: <math>C_R = \{R e^{i \theta} \mid \theta \in [0, \pi]\}</math>

{{Math|''a''}}を正の数として、関数{{Math|''f''}}が次の形式であるとする。

: <math>f(z) = e^{i a z} g(z), \quad z \in C_R</math>

このとき、ジョルダンの補題は、周回積分の次の上限を示す。

: <math>\left| \int_{C_R} f(z) \, dz \right| \le \frac{\pi}{a} M_R \quad \text{where} \quad M_R := \max_{\theta \in [0,\pi]} \left| g \left(R e^{i \theta}\right) \right| .</math>

等号は{{Math|''g''}}がすべてにおいてゼロとなるときに成り立ち、このとき両辺がゼロになる。下半平面の半円形の経路に関する同様の定理は、 {{Math|''a'' < 0}}の場合に当てはまる。

=== 備考 ===

* {{Math|''f''}}が大きな{{Math|''R''}}の半円{{Math|''C<sub>R</sub>''}}上で連続であり、なおかつ
{{NumBlk|::|<math>\lim_{R \to \infty} M_R = 0</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}

: が成り立つとき、ジョルダンの補題より次が導かれる。

:: <math>\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\, dz = 0.</math>

* {{Math|''a'' {{=}} 0}}の場合については、推定補題を参照せよ。
* 推定補題と比較すると、ジョルダンの補題の上限は経路{{Math|''C<sub>R</sub>''}}の長さに明示的に依存しない。

== ジョルダンの補題の適用 ==
[[ファイル:Jordan's_Lemma.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル|経路{{Math|''C''}}は経路{{Math|''C''<sub>1</sub>}} {{Math|''C''<sub>2</sub>}}からなる。]]
ジョルダンの補題により、関数{{Math|''f''(''z'') {{=}} ''e<sup>iaz</sup> g''(''z'')}}の実軸に沿った積分を計算する簡単な方法が与えられる。{{Math|''f''(''z'')}}が上半平面で[[正則関数|正則]]であり、閉じた上半平面で連続であるとき(ただし有限個の極{{math|''z''<sub>1</sub>}}, {{math|''z''<sub>2</sub>}}, …, {{math|''z<sub>n</sub>''}}を除く)、画像に示されている経路{{Math|''C''<sub>1</sub>}} {{Math|''C''<sub>2</sub>}}を連結した閉じた経路{{Math|''C''}}を考える。定義より、

: <math>\oint_C f(z) \, dz = \int_{C_1}f(z)\,dz + \int_{C_2} f(z)\,dz\,.</math>

{{Math|''C''<sub>2</sub>}}では変数{{Math|''z''}}が実数であるため、2番目の積分は実数である。

: <math>\int_{C_2} f(z) \, dz = \int_{-R}^{R} f(x)\,dx\,.</math>

左辺は、留数定理を使用して計算する。 {{Math|{{!}}''z''<sub>1</sub>{{!}}}} 、 {{Math|{{!}}''z''<sub>2</sub>{{!}}}} 、…、 {{Math|{{!}}''z<sub>n</sub>''{{!}}}} のすべてより大きい{{math|''R''}}について以下が成り立つ。

: <math>\oint_{C} f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)\,,</math>

{{Math|Res(''f'', ''z<sub>k</sub>'')}}は{{Math|''f''}}の特異点{{Math|''z<sub>k</sub>''}}についての[[留数]]を示す。 {{Math|''f''}}が条件（ {{EquationNote|*}} ）を満たしている場合、 {{Math|''R''}}が無限大の極限では、{{Math|''C''<sub>1</sub>}}についての周回積分はジョルダンの補題によって消滅し、広義積分の値が以下のように得られる。

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)\,.</math>

== 例 ==
関数

: <math>f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2},\qquad z\in{\mathbb C}\setminus\{i,-i\},</math>

は{{Math|''R'' ≠ 1}}をみたす{{Math|''R'' > 0}}に対して{{Math|''a'' {{=}} 1}}でジョルダンの補題の条件を満たす。 {{Math|''R'' > 1}}の場合、

: <math>M_R=\max_{\theta\in[0,\pi]}\frac1{|1+R^2e^{2i\theta}|}=\frac1{R^2-1}\,,</math>

したがって、（ {{EquationNote|*}} ）が成り立つ。上半平面における{{Math|''f''}}の唯一の特異点は{{Math|''z'' {{=}} ''i''}}にあるため

: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{1+x^2}\,dx=2\pi i\,\operatorname{Res}(f,i)\,.</math>

{{Math|''z'' {{=}} ''i''}}は{{Math|''f''}}の[[極 (複素解析)|単純な極]]であり、{{Math|1 + ''z''<sup>2</sup> {{=}} (''z'' + ''i'')(''z'' − ''i'')}}であるため、次のようになる。

: <math>\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)
=\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}</math>

そのため

: <math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx=\operatorname{Re}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{e}\,.</math>

この結果は、古典的な方法での計算が難しい積分のうち、一部が複素解析により簡単に求まることの例である。

== ジョルダンの補題の証明 ==
[[線積分|複素線積分]]の定義により、

: <math> \int_{C_R} f(z)\, dz
=\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos\theta+i \sin\theta)}\,i Re^{i\theta}\,d\theta
=R\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta\,.
</math>

不等式

: <math> \biggl|\int_a^b f(x)\,dx\biggr|\le\int_a^b \left|f(x)\right|\,dx</math>

から

: <math> I_R:=\biggl|\int_{C_R} f(z)\, dz\biggr|
\le R\int_0^\pi\bigl|g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta} \bigr|\,d\theta
=R\int_0^\pi \bigl|g(Re^{i\theta})\bigr|\,e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.
</math>

（ {{EquationNote|*}} ）で定義されている{{Math|''M<sub>R</sub>''}}と、正弦関数の対称性{{Math|sin ''θ'' {{=}} sin(''π'' – ''θ'')}}から、次が導かれる。

: <math> I_R \le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta = 2RM_R\int_0^{\pi/2} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.</math>

{{Math|sin ''θ''}}のグラフは領域{{Math|''θ'' ∈ [0, ''π'' ⁄ 2]}}で[[凹関数]]なので、{{Math|sin ''θ''}}のグラフは、それの端点を結んだ直線よりも上に来る。よって{{Math|''θ'' ∈ [0, ''π'' ⁄ 2]}}において

: <math>\sin\theta\ge \frac{2\theta}{\pi}\quad</math>

このことから

: <math>I_R
\le 2RM_R \int_0^{\pi/2} e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta
=\frac{\pi}{a} (1-e^{-a R}) M_R\le\frac\pi{a}M_R\,.</math>

== 参照 ==

* 推定補題

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|last=Brown|first=James W.|last2=Churchill|first2=Ruel V.|date=2004|title=Complex Variables and Applications|edition=7th|location=New York|publisher=[[McGraw Hill]]|pages=262–265|isbn=0-07-287252-7}}  


{{DEFAULTSORT:しよるたんのほたい}}
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