ジョーンズ計算法のソースを表示

'''ジョーンズ計算法'''（ジョーンズけいさんほう）は[[光学]]において[[偏光]]を記述・計算するために、1941年に[[ロバート・クラーク・ジョーンズ|R.C.ジョーンズ]]によって発明された計算法。

偏光はジョーンズベクトルで記述され、線形光学素子はジョーンズ行列で記述される。光が光学素子を通過するとき、その出射光の偏光は、光学素子のジョーンズ行列と入射光のジョーンズベクトルの積となる。

ここで注意が必要なのは、ジョーンズ計算法を適用できるのは完全に偏光した光だけだということである。非偏光及び部分的偏光、あるいはインコヒーレント光は[[ミュラー計算法]]で取り扱わなければならない。

== ジョーンズベクトル ==
''z''方向に進む光波の電場の複素振幅の''x''及び''y''成分、 <math>E_x(t)</math> と <math>E_y(t)</math> は、
: <math>
\begin{pmatrix}
E_x (t) \\
E_y (t)
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
E_{0x} e^{i(kz-\omega t+\phi_x )} \\
E_{0y} e^{i(kz-\omega t+\phi_y )}
\end{pmatrix}
=e^{i(kz-\omega t)} \begin{pmatrix}
E_{0x} e^{i\phi_x} \\
E_{0y} e^{i\phi_y}
\end{pmatrix}</math>
と表される。この右辺に現れる、偏光を記述するベクトル <math>\begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix}</math> を'''ジョーンズベクトル'''という（<math>i=\sqrt{-1}</math> は[[虚数単位]]）。ジョーンズベクトルは''x''及び''y''成分の（相対的）振幅と（相対的）位相を表す。

各成分の絶対値の2乗の和が光強度に比例する。計算の始まりではこれが1になるように規格化するのが一般的であり、これによって多くの計算は簡単になる。ジョーンズベクトルの第一成分を[[実数]]にすることも一般的である。これによって他の光波との[[干渉 (物理学) |干渉]]の計算に必要な位相の情報が失われる。なお、この記事でのジョーンズベクトル及びジョーンズ行列は、Hechtに従い、光波の位相の振動項を <math>\phi =kz-\omega t</math> と表すことを想定する。この定義の下では、 <math>\phi_x</math> や <math>\phi_y</math> の増加は位相の遅れ、減少は位相の進みを表す。例えば、ジョーンズベクトルの成分が <math>i</math> ( <math>=e^{i\pi/2}</math> ) のときは、1 ( <math>=e^0</math> ) に比べて位相が <math>\pi/2</math> (または 90度) 遅れていることを意味する。Collettはこれと反対の定義( <math>\phi =\omega t-kz</math> )を使っている。他の文献を参照するときには注意が必要である。

下の表は、よく使われる6つの規格化ジョーンズベクトルを示す。 
<!-- [[Image:Poincare Sphere with Polarizations.svg|thumb|256px|Poincare sphere with 6 common types of polarizations labeled]] -->

{| class="wikitable"
!偏光||ジョーンズベクトル||典型的な[[ブラ-ケット記法|ケット]] 記法
|-
| x方向直線偏光<BR>通称 '水平偏光' || <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> || <math>|H\rangle</math>
|-
| y方向直線偏光<BR>通称 '垂直偏光' || <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> || <math>|V\rangle</math>
|-
| x軸から45°傾いた直線偏光<BR>通称 '対角' L+45 || <math>\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> || <math> |D\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + |V\rangle )</math>
|-
| x軸から-45°傾いた直線偏光<BR>通称 '逆対角' L-45 || <math>\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> || <math> |A\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - |V\rangle )</math>
|-
| 右回り円偏光<BR>通称 RCP または RHCP || <math>\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}</math> || <math>| R\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - i |V\rangle )</math>
|-
| 左回り円偏光<BR>通称 LCP または LHCP || <math>\frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}</math> || <math> |L\rangle  = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + i |V\rangle )</math>
|}

<!-- 
[[ポアンカレ球]]（[[ブロッホ球]]とも言われる）を考えるとき、基底ケット( <math>|0\rangle</math> and <math>|1\rangle</math> )には正反対の位置にあるベクトルのペアを割り当てなければならない。例えば、 <math>|0\rangle</math> = <math>|H\rangle</math> で <math>|1\rangle</math> = <math>|V\rangle</math> のように。割り当てには任意性がある。正反対にあるペアは

* <math>|H\rangle</math> と <math>|V\rangle</math>
* <math>|D\rangle</math> と <math>|A\rangle</math>
* <math>|R\rangle</math> と <math>|L\rangle</math>

Any point not in the table above and not on the circle that passes through <math>|H\rangle, |D\rangle, |V\rangle, |A\rangle</math> is collectively known as [[elliptical polarization]].


<math>|\psi\rangle</math> [[ブラ-ケット記法|ケット]]は、ポアンカレ球表面を指す一般的なベクトルである。上の表になく、かつ、<math>|H\rangle, |D\rangle, |V\rangle, |A\rangle</math>を含む円上にない点は、全て[[楕円偏光]]である。
 -->

== ジョーンズ行列 ==
ジョーンズ行列はジョーンズベクトルに作用する演算子である。
<!-- レンズ、ビームスプリッター、鏡などの様々な光学素子に対しジョーンズ行列を与えることができる。 -->
以下の表は、偏光子のジョーンズ行列の例である。

{| class="wikitable" style="text-align:center"
!光学素子||ジョーンズ行列
|-
| 透過軸がx方向の直線[[偏光子]] ||
<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}</math>
|-
| 透過軸がy方向の直線偏光子 ||
<math>\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}</math>
|-
| 透過軸がx軸から45°傾いた直線偏光子 ||
<math>\frac12 \begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}</math>
|-
| 透過軸がx軸から-45°傾いた直線偏光子 ||
<math>\frac12 \begin{pmatrix}
1 & -1 \\ -1 & 1
\end{pmatrix}</math>
|-
| 右回り円偏光子 ||
<math>\frac12 \begin{pmatrix}
1 & i \\ -i & 1
\end{pmatrix}
</math>
|-
| 左回り円偏光子 ||
<math>\frac12 \begin{pmatrix}
1 & -i \\ i & 1
\end{pmatrix}</math>
|-
| 透過軸がx軸から<math>\theta</math>傾いた直線偏光子 ||
<math>\begin{align}
&\begin{pmatrix}
\cos^2(\theta) & \cos(\theta)\sin(\theta) \\
\sin(\theta)\cos(\theta) & \sin^2(\theta)
\end{pmatrix} =\\
&\begin{pmatrix}
\cos(-\theta) & \sin(-\theta) \\
-\sin(-\theta) & \cos(-\theta)
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) \\
-\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}\end{align}</math>
|}

== 移相子（波長板） ==
移相子<ref>移相子は光学におけるphase retarderあるいはretarderの訳。一般には波長板が知られているが、ここでは補償板を含む一般的な単語として移相子を採用した。遅相子、移相器などと呼ばれることもある。</ref>は、x成分とy成分とに位相差を与え、結果として偏光の状態を変えるものである。{{仮リンク|波長板|en|Waveplate}}は移相子の代表的なものである。
<!-- 移相子は通常、[[方解石]]、MgF<sub>2</sub>、[[水晶]]などの複屈折性を持つ一軸性結晶を材料として作られる。一軸性結晶では、1つの結晶軸の屈折率が他の2つの結晶軸とは異なる（すなわち ''n<sub>i</sub>'' ≠ ''n<sub>j</sub>'' = ''n<sub>k</sub>''）。この特異な軸は異常軸または[[光学軸]]と呼ばれる。光学軸は、結晶の種類に応じて進相軸のことも遅相軸のこともある。光は[[屈折率]]が小さい軸に沿ってより速い[[位相速度]]で進む。この軸を進相軸という。同様に、屈折率が大きく位相速度が遅い軸を遅相軸という。光学的負号結晶（負号結晶、負の一軸性結晶）（例えば[[方解石]]（CaCO<sub>3</sub>）、[[ルビー]]Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub>）は異常光の屈折率が常光よりも小さい（''n<sub>e</sub>'' < ''n<sub>o</sub>''）もので、異常光軸は進相軸である。反対に、光学的正号結晶（正号結晶、正の一軸性結晶）（例えば[[水晶]]SiO<sub>2</sub>、[[フッ化マグネシウム]]MgF<sub>2</sub>、[[ルチル]]TiO<sub>2</sub>）では異常光軸は遅相軸である。
 -->
進相軸が垂直あるいは水平な移相子では、そのジョーンズ行列の非対角成分はゼロである。つまり、

: <math>
\begin{pmatrix}
e^{i\phi_x} & 0 \\ 0 & e^{i\phi_y}
\end{pmatrix}</math>

と書き表すことができる。
ここで <math>\phi_x</math> と <math>\phi_y</math> はそれぞれ <math>x</math> と <math>y</math> 方向の電場の位相を表す。この記事で採用している位相を <math>\phi =kz-\omega t</math> とする体系では、相対位相を <math>\epsilon =\phi_y -\phi_x</math> とすると、相対位相が正（つまり <math>\phi_y</math> > <math>\phi_x</math> ）ということは <math>E_x</math> の方が <math>E_y</math> よりも位相が進んでいることを示す。同様に、もし <math>\epsilon <0</math> すなわち <math>\phi_x</math> > <math>\phi_y</math> ならば、 <math>E_y</math> は <math>E_x</math> よりも位相が進んでいる。例えば四分の一波長板の進相軸が水平方向ならば、水平方向の方が垂直方向よりも位相速度が速く、 <math>E_x</math> の方が <math>E_y</math> よりも位相が進む。

<!-- 逆の体系、すなわち位相を<math>\phi =\omega t-kz</math>とする体系では、相対位相を<math>\epsilon = \phi_x -\phi_y</math>と定義すると、 <math>\epsilon</math> が正のときに <math>E_x</math> の方が <math>E_y</math> よりも位相が進んでいることになる。 -->

{| class="wikitable"
! 移相子（波長板） !! ジョーンズ行列
|-
| 進相軸がy方向の四分の一波長板 ||
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & -i
\end{pmatrix} </math>
|-
| 進相軸がx方向の四分の一波長板 ||
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & i
\end{pmatrix} </math>
|-
| 進相軸がx方向から角<math>\theta</math>傾いた二分の一波長板||
<math>\begin{pmatrix}
\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta
\end{pmatrix}</math>
<!-- |-
| 一般的な複屈折物質
（<math> \phi_x </math>と<math> \phi_y </math>はそれぞれx方向とy方向において生じる位相遅れ、<math>\theta</math>は回転角度）||
<math>\begin{pmatrix}
 e^{i\phi_x} \cos^2\theta+e^{i\phi_y} \sin^2\theta & (e^{i\phi_x}-e^{i\phi_y}) \cos\theta \sin\theta \\ (e^{i\phi_x}-e^{i\phi_y}) \cos\theta \sin\theta & e^{i\phi_x} \sin^2\theta+e^{i\phi_y} \cos^2\theta
\end{pmatrix}
</math><br /> -->
|}

<!-- 特定の条件における移相子の行列は、一般的な複屈折物質の行列から導くことができる。ここでは、
*<math>E_x</math>に対する<math>E_y</math>の位相遅れは <math>\phi =\phi_y -\phi_x</math> で与えられる。
*<math>\theta</math> は、回転角度を表す。
*<math>\phi</math> は円偏光の度合いに関係する。
*Phase retardation induced between <math>E_x</math> and <math>E_y</math> by a birefringent material is given by <math>\phi_y -\phi_x</math>
*<math>\theta</math> is the orientation of the fast axis with respect to the x-axis.
*<math>\phi</math> is the circularity (For linear retarders, <math>\phi</math> = 0 and for circular retarders, <math>\phi</math> = ± <math>\pi</math>/2. For elliptical retarders, it takes on values between - <math>\pi</math>/2 and <math>\pi</math>/2). -->

== 回転した光学素子 ==
元の角度から角<math>\theta</math>だけ回転した光学素子のジョーンズ行列<math>M(\theta )</math>は、回転していないときのジョーンズ行列<math>M</math>から、次のような変換で求めることができる。
:<math>M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta ),</math>
ここで
: <math>R(\theta )= 
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}</math>
は[[回転行列]]である。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*Eugene Hecht　『光学 II』　尾崎義治・朝倉利光訳、丸善、2003年、139-144頁。
*Edward Collett　『フィールドガイド　偏光』　笠原一郎訳、オプトロニクス社、2008年、57-61頁。
<!-- 
* E. Collett, ''Field Guide to Polarization'', SPIE Field Guides vol. '''FG05''', SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
* D. Goldstein and E. Collett, ''Polarized Light'', 2nd ed., CRC Press (2003). ISBN 0-8247-4053-X.
* E. Hecht, ''Optics'', 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
* Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, ''Introduction to Optics'', 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6
* A. Gerald and J.M. Burch, ''Introduction to Matrix Methods in Optics'',1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6
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|doi=10.1364/JOSA.31.000488
|year=1941}}
* {{Cite journal
|first1=Henry
|last1=Hurwitz
|first2=R. Clark
|last2=Jones
|title=A new calculus for the treatment of optical systems, II. Proof of three general equivalence theorems
|journal=Journal of the Optical Society of America
|volume=31
|issue=7
|pages=493&ndash;499
|doi=10.1364/JOSA.31.000493
|year=1941}}
* {{Cite journal
|first1=R. Clark
|last1=Jones
|title=A new calculus for the treatment of optical systems, III The Sohncke Theory of optical activity
|journal=Journal of the Optical Society of America
|volume=31
|issue=7
|pages=500&ndash;503
|doi=10.1364/JOSA.31.000500
|year=1941}}
* {{Cite journal
|first1=R. Clark
|last1=Jones
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|year=1942}}
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|year=1971}}
* {{Cite journal
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|last1=Fymat
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|first1=Ignacio
|last1=Moreno
|first2=Maria J.
|last2=Yzuel
|first3=Juan
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|first4=Asticio
|last4=Vargas
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|title=Jones matrix treatment for polarization Fourier optics
|volume=51
|issue=14
|pages=2031&ndash;2038
|doi=10.1080/09500340408232511
|year=2004}}
* {{Cite journal
|first1=Ivan
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|journal=Applied Optics
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|volume=43
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|doi=10.1364/AO.43.003373
|year=2004}}
-->
== 関連項目 ==
* [[偏光]]
* [[ミュラー計算法]]

== 外部リンク ==
* [http://spie.org/x32380.xml ''Jones Calculus written by E. Collett on Optipedia'']

{{デフォルトソート:しよおんすけいさんほう}}
[[Category:偏光]]
[[Category:エポニム]]