ジーゲル円板のソースを表示

[[数学]]、特に[[複素力学系]]に於ける'''ジーゲル円板'''（ジーゲルえんばん、{{Lang-en-short|''Siegel disc''}} ）は、[[ファトゥ集合]]の[[連結空間|連結成分]]であって、その挙動が[[無理回転]]と解析的に[[位相共役性|共役]]であるものを言う。[[数学者]][[カール・ジーゲル]]の名に因む。

== 解説 ==
[[リーマン面]] <math>S</math> 上のある[[正則関数|正則]]な[[自己準同型|自己準同型写像]] <math>f:S\to S</math> が与えられるとき、<math>f^n=f\circ\stackrel{\left(n\right)}{\cdots}\circ f</math> で表される <math>f</math> の[[反復関数|反復適用]]によって生成される[[力学系]]を考える。このとき、<math>z_0</math> の前進反復よりなる集合を <math>z_0</math> の[[軌道 (力学)|軌道]] <math>\mathcal{O}^+(z_0)</math> と呼ぶ。ここでの興味は <math>S</math> 内の軌道（通常は[[複素平面]] <math>\mathbb{C}</math> あるいは[[リーマン球面]] <math>\mathbb{\hat C}=\mathbb{C}\cup\{\infty\}</math> の中で考える）の漸近挙動にあり、<math>S</math> は[[位相空間 (物理学)|相平面]]([[:en:phase plane|phase plane]])あるいは「力学的平面」と呼ばれる。

ある点 <math>z_0</math> に対する漸近挙動としてあり得るものの一つは、[[不動点]]あるいはより一般に、周期点である。後者では、周期 <math>p</math> に対して <math>f^p(z_0)=z_0</math> が成立し、特に <math>p=1</math> は <math>z_0</math> が不動点であることを意味する。すると軌道の「積」を <math>\rho=(f^p)'(z_0)</math> として定義することが出来、このことより周期軌道の分類が可能となる：<math>|\rho|<1</math> ならば「吸引的」（attracting）、<math>|\rho|=0</math> ならば「超吸引的」（superattracting）、<math>|\rho|>1</math> ならば「反発的」（repelling）、<math>\rho=1</math> ならば「中立的」（indifferent）と呼ばれる。中立的な周期軌道はさらに、ある <math>n\in\mathbb{Z}</math> に対して <math>\rho^n=1</math> となるか、すべての <math>n\in\mathbb{Z}</math> に対して <math>\rho^n\neq1</math> であるかに依存して、それぞれ「有理中立」（rationally indifferent）および「無理中立」（irrationally indifferent）と呼ばれる。

'''ジーゲル円板'''は、[[ファトゥ成分の分類]]によると、ファトゥ集合の連結成分の一つであり、無理中立な周期点の周りにおいて生じ得る。ジーゲル円板は、<math>f</math> の挙動が複素円板の無理回転と解析的に共役であるような点に対応する。

== ギャラリー ==
<gallery widths="300px" heights="300px" perrow=3>
Image:SiegelDisk.jpg |多項式類似写像に対するジーゲル円板
Image:FigureJuliaSetForPolynomialLike.jpg|<math>a=15-15i</math> および[[黄金比]] <math>\lambda</math> に対する <math>B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)</math> の[[ジュリア集合]]。'''ジーゲル円板'''の内側のいくつかの点の軌道が強調されている。
Image:UnboundedSiegeldisk.jpg|<math>a=-0.33258+0.10324i</math> および黄金比 <math>\lambda</math> に対する <math>B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)</math> のジュリア集合。ジーゲル円板の内側のいくつかの点の軌道が強調されている。ジーゲル円板は非有界であるか、その境界が分解不能な連続体であるかのいずれかである<ref>Rubén Berenguel and Núria Fagella ''An entire transcendental family with a persistent Siegel disc, 2009 preprint: [https://arxiv.org/abs/0907.0116 arXiV:0907.0116]</ref>。

File:Golden Mean Quadratic Siegel Disc Speed.png | 軌道上の平均離散速度 = abs( ''z''<sub>''n''+1</sub> &minus; ''z<sub>n</sub>'' ) に比例する、内側が色づけされた[[黄金比|黄金平均]]回転数に対する <math>f_c(z) = z^2 + c</math> の[[充填ジュリア集合]]。ジーゲル円板は唯一つであり、その中の軌道の多くの原像があることに注意されたい。
File:Golden Mean Quadratic Siegel Disc.png|ジーゲル円板とその内側のいくつかの軌道を伴う、黄金平均回転数に対する <math>f_c(z) = z^2 + c</math> の充填ジュリア集合。
File:Siegel quadratic 3,2,1000,1... ,.png|回転数 [3,2,1000,1...] に対するジーゲル円板を伴う二次多項式のジュリア集合。
</gallery>

== 正式な定義 ==
<math>S</math> はリーマン面、<math>f:S\to S</math> は正則な自己準同型写像とし、''U'' はそのファトゥ集合 <math>\mathcal{F}(f)</math> の連結成分とする。''U'' が点 ''z''<sub>0</sub> の周りでの ''f'' のジーゲル円板であるとは、単位円板 <math>\mathbb{D}</math> に対する解析的な[[位相同型|位相同型写像]] <math>\phi:U\to\mathbb{D}</math> で、ある <math>\alpha\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}</math> に対して <math>\phi(f^n(\phi^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha}z</math> であり、かつ <math>\phi(z_0)=0</math> であるようなものが存在することを言う。

ジーゲルの定理では、ある「強無理性条件」（[[ディオファントス近似|ディオファントス条件]]）を満たす[[無理数]]に対する'''ジーゲル円板'''の存在が示された。これにより、ファトゥ成分の分類に関して[[ピエール・ファトゥ]]が提唱していた未解決問題が解かれた<ref>[[レンナルト・カルレソン|Lennart Carleson]] and Theodore W. Gamelin, ''Complex Dynamics'', Springer 1993</ref>。

後日、{{仮リンク|アレクサンドル・ブルーノ|en|Alexander Bruno}}はこの無理性に関する条件を改善し、[[ブルーノ数]]までその条件を弱めた<ref name="MilnorComplexDynamics">[[ジョン・ウィラード・ミルナー|John W. Milnor]], ''Dynamics in One Complex Variable'' (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (First appeared in 1990 as a [http://www.math.sunysb.edu/preprints.html Stony Brook IMS Preprint] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060424085751/http://www.math.sunysb.edu/preprints.html |date=2006年4月24日 }}, available as [http://www.arxiv.org/abs/math.DS/9201272 arXiV:math.DS/9201272].)</ref>。

これはファトゥ成分の分類による結果の一部である。

== 関連項目 ==
* [[複素力学系]]
* [[ファトゥ成分の分類]]
* [[カール・ジーゲル]]
{{wikibooks|:en:Fractals/Iterations in the complex plane/siegel}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Siegel_disks/Quadratic_Siegel_disks Siegel disks ar Scholarpedia]

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[[Category:フラクタル]]
[[Category:極限集合]]
[[Category:複素力学系]]
[[Category:数学に関する記事]]