スカラー曲率のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年8月}}
[[リーマン幾何学]]における'''スカラー曲率'''（すからーきょくりつ、{{lang-en-short|Scalar curvature}}）または'''リッチスカラー'''（{{lang-en-short|Ricci scalar}}）は、リーマン多様体の最も単純な曲率不変量である。リーマン多様体の各点に、その近傍における[[多様体]]の内在的な形状から定まる単一の[[実数]]を対応させる。

2次元においては、スカラー曲率はリーマン多様体の曲率を完全に特徴付ける。しかし、次元が3以上の場合は、曲率の決定にはさらに情報が必要である。詳しい議論は[[リーマン多様体の曲率]]([[:en:Curvature of Riemannian manifolds|en]]) を参照。

スカラー曲率はしばしば ''S'' (その他の表記として''Sc'', ''R'')と表され、計量テンソル ''g'' に関するリッチ曲率 Ric の[[トレース (線型代数学)|トレース]]

:<math>S = \mbox{tr}_g\,\operatorname{Ric}</math>

として定義される。リッチテンソルは (0,2)-型テンソルであり、トレースをとるためには最初の添字を上げて (1,1)-型テンソルとしなければならないから、このトレースは計量の取り方に依存する。[[局所座標系]]を用いて

:<math>S  = g^{ij}R_{ij}</math>

と書き表すことができる。ただし

:<math>\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i\otimes dx^j</math>

である。座標系と[[計量テンソル]]が与えられたとき、スカラー曲率は

:<math>S = g^{ab} (\Gamma^c_{ab,c} - \Gamma^c_{ac,b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd})</math>

のように表示できる。ここで &Gamma;<sup>''a''</sup><sub>''bc''</sub> は計量の[[クリストッフェル記号]]である。

任意の[[アフィン接続]]に対して自然に定義される[[リーマン曲率テンソル]]や[[リッチテンソル]]とは異なり、スカラー曲率は（その定義がまさに計量と不可分な方法で与えられたことを思えば）完全にリーマン幾何学の領域に特有の概念であることが分かる。

== 直接的な幾何学表現 ==
ある点でのスカラー曲率が正であるとき、その点の小さな球の体積はユークリッド空間での同じ半径の球の体積より小さい。一方で、スカラー曲率が負である点では、その点の小さな球の体積はユークリッド空間での場合と比べて大きい。

これをもっと定量的に表すことができる。n次元リーマン多様体<math>(M,g)</math>の点''p''での正確なスカラー曲率を''S''とする。すなわち、多様体のユークリッド空間に対する半径&epsilon;の球のn次元体積の比は次で与えられる。

: <math> \frac{\operatorname{Vol}   (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}  
 (B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{S}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4).</math>

それゆえ、この比の二階微分は、半径&epsilon;&nbsp;=&nbsp;0で評価すると正確に負のスカラー曲率を3(''n''&nbsp;+&nbsp;2)で割った量となる。

(n-1)次元の半径<math>\epsilon</math>の表面について、面積は次の方程式を満たす。

: <math> \frac{\operatorname{Area}   (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}  
 (\partial B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{S}{6n}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4).</math>

==2次元について==

2次元ではスカラー曲率は[[ガウス曲率]]のちょうど二倍となる。

:<math>S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}</math>

ここで<math>\rho_1,\,\rho_2</math>は表面の[[主曲率]]である。例として半径rの球面のスカラー曲率は<math>2/r^2\,</math>に等しい。もっと一般的に、半径rのn次元表面のスカラー曲率は:<math>n(n-1)/r^2\,</math>となる。

2次元のリーマンテンソルは1つの独立変数のみを持ち、それはスカラー曲率と計量を用いて表すことが出来る。任意の座標系でその1つは次のようになる。

:<math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S[g_{11}g_{22}-(g_{12})^2].</math>

== 慣習的な表記について ==

テンソルの添字の表記を用いる中で、文字のRを3つの別のものに対して用いることが一般的である。

#[[リーマン曲率テンソル]]: <math>R_{ijk}^l</math> or <math>R_{abcd}</math>
#[[リッチテンソル]]: <math>R_{ij}</math>
#スカラー曲率: ''R''

これら3つの量は添字の数により区別する。リーマンテンソルは4つの添字を持ち、リッチテンソルは2つの添字、リッチスカラーは添字を持たない。それはつまりRという文字を用いる量が全てリーマンテンソルではないことである。
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== 脚注 ==
<references/>-->

== 関連項目 ==
*[[リッチテンソル]]

{{Curvature}}
{{DEFAULTSORT:すからあきよくりつ}}
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:曲率]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Riemannscher Krümmungstensor#Krümmungsskalar]]