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'''スキューズ数'''（スキューズすう、Skewes number）は、[[南アフリカ共和国|南アフリカ]]の数学者[[スタンレー・スキューズ]]が[[素数]]の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、{{mvar|x}} 以下の[[素数計数関数|素数の個数]] {{math|π(''x'')}} および [[対数積分]] {{math|li(''x'')}} について、{{math| π(''x'') > li(''x'')}} を満たす最小の[[自然数]] {{mvar|x}} の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような {{mvar|x}} 自体を指すこともある。2021年時点で、このような {{mvar|x}} は 10<sup>14</sup> より大きく{{Sfn|Kotnik|2008}} 1.3983 × 10<sup>316</sup> 未満{{Sfn|Bays|Hudson|2000}}であることが知られているが、正確な値は不明である。 == 歴史 == [[素数定理]]によれば、{{math|π(''x'')}} は漸近的に {{math|li(''x'')}} に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に {{mvar|x}} が小さいあいだは常に {{math|li(''x'')}} の方が大きいように見える。このことから、{{math|π(''x'') > li(''x'')}} となる {{mvar|x}} が存在するか、という問題が自然に考えられる。[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]や[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]はそのような {{mvar|x}} は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官である[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は、[[1914年]]の論文において、そのような {{mvar|x}} が存在することのみならず、{{math|π(''x'') − li(''x'')}} の符号は無限回変わることを示した。すなわち、{{math|π(''x'')}} と {{math|li(''x'')}} は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて {{math|π(''x'')}} が {{math|li(''x'')}} を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。 スキューズは、[[1933年]]の論文において、[[リーマン予想]]が真であるとの仮定の下に、{{math|π(''x'') > li(''x'')}} となる {{mvar|x}} は、次の数以下に存在することを証明した。 :<math>e^{e^{e^{79}}} \left( \approx 10^{10^{10^{33.947}}}<10^{10^{10^{34}}} \right)</math> これがオリジナルのスキューズ数であり、'''第一スキューズ数'''とも呼ばれる。 後に[[グラハム数]]などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった<ref>{{Cite book|和書|title=モジュライのたのしみ : フォーラム:現代数学の風景|year=2001|publisher=日本評論社|page=100|NCID=BA54557143|month=12|issue=28|series=数学の楽しみ}}</ref>。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。 さらに、スキューズは[[1955年]]には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、{{mvar|x}} は次の数以下に存在することを証明した。 :<math>e^{e^{e^{e^{7.705}}}} \left( <10^{10^{10^{964}}} \right)</math> これは'''第二スキューズ数'''と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 <math>10^{10^{10^{10^{3}}}}</math> も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。 == 評価の改良 == スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いて[[リーマンゼータ関数]]の[[零点]]を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 10<sup>1165</sup> から 1.65 × 10<sup>1165</sup> の間に {{math|π(''x'') > li(''x'')}} となるような整数 {{mvar|x}} が連続して 10<sup>500</sup> 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10<sup>370</sup> にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10<sup>316</sup> にまで下げ、その付近に {{math|π(''x'') > li(''x'')}} なる {{mvar|x}} が存在することを示した。 一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、{{math|''x'' < 10<sup>8</sup>}} においては常に {{math|π(''x'') < li(''x'')}} であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 10<sup>10</sup> にまで、Kotnik (2008) によって 10<sup>14</sup> にまで更新された。 正確にいつ初めて {{math|π(''x'')}} が {{math|li(''x'')}} を追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、{{math|π(''x'') > li(''x'')}} となる具体的な {{mvar|x}} の値はひとつも知られていない。 Wintner (1941) は、{{math|π(''x'') > li(''x'')}} なる {{mvar|x}} の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。 == 出典 == {{Reflist}} == 参考文献 == *{{citation|id={{MR|1752093}}|first=C.|last= Bays |first2=R. H.|last2= Hudson |url=http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf |title=A new bound for the smallest ''x'' with π(''x'') > li(''x'') |journal=Mathematics of Computation|volume=69|year=2000 |issue= 231|pages= 1285--1296}} *{{citation|id={{MR|0369287}}|first=R. P.|last= Brent |title=Irregularities in the distribution of primes and twin primes |journal=Mathematics of Computation|volume=29|year=1975 |pages= 43--56|doi=10.2307/2005460|url=http://jstor.org/stable/2005460|issue=129|publisher=American Mathematical Society}} *{{citation|unused_data=DUPLICATE DATA: year=2010|doi=10.1142/S1793042110003125|title=A new bound for the smallest ''x'' with π(''x'') > li(''x'') |first=Kuok Fai|last= Chao|first2= Roger|last2= Plymen|year=2005|url=http://arXiv.org/abs/math/0509312 |journal= International Journal of Number Theory |volume= 6|pages= 681--690}} *{{citation|first= T.|last= Kotnik |doi=10.1007/s10444-007-9039-2 |title=The prime-counting function and its analytic approximations |journal=Advances in Computational Mathematics|volume=29|year=2008|pages= 55–70}} *{{citation|first= R. Sherman |last=Lehman|title= On the difference π(''x'') － li(''x'')|journal= Acta Arith. |volume=11 |year=1966|pages= 397--410 |id={{MR|0202686}}}} * {{citation|first=J. E.|last= Littlewood|title=Sur la distribution des nombres premiers|journal=Comptes Rendus|volume= 158 |year=1914|pages= 1869–1872}} *{{citation|first= S.|last= Skewes|title=On the difference π(''x'') − Li(''x'')|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=8|year=1933|pages= 277–283}} *{{citation|id={{MR|0067145}}| first= S.|last= Skewes|title=On the difference π(''x'') − Li(''x'') (II)|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume= 5 |year=1955|pages= 48–70}} *{{citation|id={{MR|0866118}}|first= H. J. J. |last=te Riele|title=On the sign of the difference π(''x'') − Li(''x'')|journal=Mathematics of Computation|volume=48|year=1987|pages= 323–328 |url=http://links.jstor.org/sici?sici=0025-5718%28198701%2948%3A177%3C323%3AOTSOTD%3E2.0.CO%3B2-N|issue=177 }} *{{citation|id={{MR|0137689}}|first= J. B.|last= Rosser |first2= L.|last2= Schoenfeld |title=Approximate formulas for some functions of prime numbers |journal=Illinois Journal of Mathematics|volume=6|year=1962|pages= 64–94}} *{{citation|id={{MR|1329368}} |author2=Peter Sarnak |last=Rubinstein|first= M.|last2= Sarnak|first2= P. |title=Chebyshev's bias |journal=Experiment. Math. |volume=3 |year=1994|issue= 3|pages= 173–197 |url= http://projecteuclid.org/euclid.em/1048515870 }} *{{citation|id={{MR|0004255}}|last= Wintner|first= A. |title=On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem|journal= Amer. J. 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