スチュワートの定理のソースを表示

[[File:Satz von Stewart Grafik.jpg|thumb|スチュワートの定理は、図における線分たちの長さの間の関係式を与える。]]
'''スチュワートの定理'''（-ていり）は、[[平面幾何学]]において[[三角形]]の[[頂点]]から辺に引かれた線分の長さに関する定理である。

1746年に[[スコットランド]]の数学者{{ill|マシュー・スチュワート (数学者)|en|Matthew Stewart (mathematician)||label=マシュー・スチュワート}}によって発表された<ref>''Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics'' "Proposition II"</ref>。

== 定理 ==
三角形の辺 BC, CA, AB の長さを a, b, c とする。辺 AB 上に点 M を取り、C との距離を d とする。AM, BM の長さを x, y とすると、以下の式が成り立つ。
:<math>a^2x + b^2y = c(d^2 + xy)</math>
M が辺の[[中点]]のとき、この式は[[中線定理]]の式に一致する。

== 証明 ==
∠AMC=θ, ∠BMC=θ′ とおくと cos θ′ = cos(π-θ) = −cos θ である。

[[余弦定理]]より以下の式が成り立つ。
:<math>
\begin{align}
b^2 &= x^2 + d^2 - 2dx\cos\theta \\
a^2 &= y^2 + d^2 - 2dy\cos\theta' \\
&= y^2 + d^2 + 2dy\cos\theta.\, \end{align}
</math>
上の式に y をかけ、下の式に x をかけて和をとり、cos θ の項を消去する。
:<math>
\begin{align}
&b^2y + a^2x \\
&= x^2y + y^2x + (x + y)d^2 \\
&= (x + y)(xy + d^2) \\
&= c(xy + d^2) \\
\end{align}
</math>

== 脚注 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|688|スチュワートの定理の証明とその仲間}}
* {{Citation |title=A Course of Mathematics|first1=C.|last1=Hutton|first2=O.|last2=Gregory |publisher=Longman, Orme & co.|year=1843|page=219|volume=II|url=https://books.google.co.jp/books?id=9-4GAAAAYAAJ&pg=PA219&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage}}
* {{MathWorld|title=Stewart's Theorem|urlname=StewartsTheorem}}
* {{PlanetMath|title=Stewart's Theorem|urlname=StewartsTheorem}}
* {{PlanetMath|title=Proof of Stewart's Theorem|urlname=ProofOfStewartsTheorem}}

{{DEFAULTSORT:すちゆわあとのていり}}
[[Category:三角形に関する定理]]
[[Category:初等幾何学]]
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[[Category:証明を含む記事]]
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