スティーフェル・ホイットニー類のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]、特に[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]や[[微分幾何学]]において、'''スティーフェル・ホイットニー類''' ({{lang-en-short|Stiefel–Whitney class}}) は、[[ベクトルバンドル|実ベクトル束]]の[[位相不変量]] (topological invariant) であって、ベクトル束の[[切断 (ファイバーバンドル)|切断]]がどこでも（線型）独立な集合を構成するための{{仮リンク|障害理論|label=障害|en|Obstruction theory}} (obstruction) を記述する。ベクトル束の[[ファイバー (数学)|ファイバー]]のベクトル空間としての次元を {{mvar|n}} とすると、0 番目から {{mvar|n}} 番目までスティーフェル・ホイットニー類を持つ。{{mvar|i}} 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないならば、ベクトル束は、どこでも線型独立な切断を ( {{math|''n'' &minus; ''i'' + 1}} ) 個持つことはない。{{mvar|n}} 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないことは、束のどの切断もある点で 0 とならねばならないことを示している。1 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないことは、ベクトル束が[[向き付け可能]]ではないことを示している。たとえば、円上の[[直線束]]としての[[メビウスの帯]]の 1 番目のスティーフェル・ホイットニー類は 0 でなく、一方、円上の[[自明バンドル|自明直線束]] {{math|''S''<sup>1</sup> &times; '''R'''}} の 1 番目のスティーフェル・ホイットニー類は 0 である。

[[エドゥアルト・シュティーフェル]] (Eduard Stiefel) と[[ハスラー・ホイットニー]] (Hassler Whitney) の名前に因んだ命名のスティーフェル・ホイットニー類は、[[ベクトルバンドル|実ベクトル束]]に付帯する {{math|'''Z'''/2'''Z'''}}-[[特性類]]である。

代数幾何学では、非退化二次形式を持つベクトル束に対してスティーフェル・ホイットニー類の類似も定義されていて、[[エタールコホモロジー|エタールコホモロジー群]]や[[ミルナーのK-理論]]に値を持つ。特別な例として、体上の二次形式のスティーフェル・ホイットニー類を定義することもでき、最初の 2つは[[判別式]]と{{仮リンク|ハッセ・ヴィット不変量|en|Hasse–Witt invariant}} (Hasse–Witt invariant) である{{harv|Milnor|1970}}。
<!---In [[mathematics]], in particular in [[algebraic topology]] and [[differential geometry]], the '''Stiefel–Whitney classes''' are a set of [[topological invariant]]s of a [[Vector bundle#Definition and first consequences|real vector bundle]] that describe the [[Obstruction theory|obstructions]] to constructing everywhere independent sets of [[section (fiber bundle)|section]]s of the vector bundle. Stiefel–Whitney classes are indexed from 0 to ''n'', where ''n'' is the dimension of the vector space [[fiber (mathematics)|fiber]] of the vector bundle. If the Stiefel–Whitney class of index ''i'' is nonzero, then there cannot exist (''n''&minus;''i''+1) everywhere linearly independent sections of the vector bundle. A nonzero ''n''th Stiefel–Whitney class indicates that every section of the bundle must vanish at some point.  A nonzero first Stiefel–Whitney class indicates that the vector bundle is not [[orientable]].  For example, the first Stiefel–Whitney class of the [[Möbius strip]], as a [[line bundle]] over the circle, is not zero, whereas the first Stiefel–Whitney class of the [[trivial bundle|trivial line bundle]] over the circle, ''S''<sup>1</sup>&times;'''R''' is zero.

The Stiefel–Whitney class was named for [[Eduard Stiefel]] and [[Hassler Whitney]] and is an example of a '''Z'''/2'''Z'''-[[characteristic class]] associated to real vector bundles.

In algebraic geometry one can also define analogous Stiefel–Whitney classes for vector bundles with a non-degenerate quadratic form, taking values in [[Étale cohomology|etale cohomology groups]] or in [[Milnor K-theory]]. As a special case one can define Stiefel–Whitney classes for quadratic forms over fields, the first two cases being the discriminant and the [[Hasse–Witt invariant]] {{harv|Milnor|1970}}.-->

==はじめに==

===一般的事項===
実ベクトル束 {{math|''E''}} に対し、{{math|''E''}} の'''スティーフェル・ホイットニー類'''は、{{math|''w''(''E'')}} と書き、次の[[コホモロジー環]]の元である。

:<math>H^\ast(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \bigoplus_{i\geq0} H^i(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math>

ここで {{math|''X''}} は束 {{math|''E''}} の[[ベクトルバンドル#定義および直ちに従うこと|底空間]]であり、[[巡回群#定義|{{math|'''Z'''/2'''Z'''}}]]（しばしば、代わりに {{math|'''Z'''<sub>2</sub>}} とも書かれる）は、0 と 1 のみからなる[[可換環]]である。{{math|''H<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} の中の {{math|''w''(''E'')}} の[[加群の直和#加群の任意の族に対する構成|直和成分]]は、{{math|''w''<sub>''i''</sub>(''E'')}} で表され、{{math|''E''}} の '''{{math|''i''}}-番目のスティーフェル・ホイットニー類'''と呼ぶ。したがって {{math|''w''(''E'') {{=}} ''w''<sub>0</sub>(''E'') + ''w''<sub>1</sub>(''E'') + ''w''<sub>2</sub>(''E'') + …}} であり、ここに各々の {{math|''w<sub>i</sub>''(''E'')}} は、{{math|''H<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} の元である。
<!---==Introduction==

===General presentation===
For a real vector bundle {{math|''E''}}, the '''Stiefel–Whitney class of {{math|''E''}}''' is denoted by {{math|''w''(''E'')}}. It is an element of the [[cohomology ring]]

:<math>H^\ast(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \bigoplus_{i\geq0} H^i(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math>

here {{math|''X''}} is the [[Vector bundle#Definition and first consequences|base space]] of the bundle {{math|''E''}}, and [[cyclic group#Definition|{{math|'''Z'''/2'''Z'''}}]] (often alternatively denoted by {{math|'''Z'''<sub>2</sub>}}) is the [[commutative ring]] whose only elements are 0 and 1. The [[Direct sum of modules#Construction for an arbitrary family of modules|component]] of {{math|''w''(''E'')}} in {{math|''H<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} is denoted by {{math|''w''<sub>''i''</sub>(''E'')}} and called the '''{{math|''i''}}-th Stiefel–Whitney class of {{math|''E''}}'''. Thus {{math|''w''(''E'') {{=}} ''w''<sub>0</sub>(''E'') + ''w''<sub>1</sub>(''E'') + ''w''<sub>2</sub>(''E'') + ⋅⋅⋅}}, where each {{math|''w<sub>i</sub>''(''E'')}} is an element of {{math|''H''<sup>i</sup>''(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}}.-->

スティーフェル・ホイットニー類 {{math|''w''(''E'')}} は、実ベクトル束 {{math|''E''}} の[[不変量 (数学)|不変量]]である。つまり、{{math|''F''}} が {{math|''E''}} とが同じ底空間 {{math|''X''}} を持つ別の実ベクトルで、{{math|''F''}} が {{math|''E''}} とが[[ベクトルバンドル#ベクトル束の射|同型]]であれば、スティーフェル・ホイットニー類 {{math|''w''(''E'')}} と {{math|''w''(''F'')}} とは等しい。 （ここに、'''同型'''とは、恒等写像 {{math|id<sub>''X''</sub>: ''X'' → ''X''}} を被覆する[[ベクトルバンドル#ベクトル束の射|ベクトル束の同型写像]] {{math|''E'' → ''F''}} が存在することを言う。）2つの実ベクトル束 {{math|''E''}} と {{math|''F''}} が同型か否かを判断することは一般的には困難であるが、スティーフェル・ホイットニー類 {{math|''w''(''E'')}} と {{math|''w''(''F'')}} は、簡単に計算可能な場合もある。スティーフェル・ホイットニー類が異なっていれば、{{math|''E''}} と {{math|''F''}} は同型ではない。
<!---The Stiefel–Whitney class {{math|''w''(''E'')}} is an [[Invariant (mathematics)|invariant]] of the real vector bundle {{math|''E''}}; i.e., when {{math|''F''}} is another real vector bundle which has the same base space {{math|''X''}} as {{math|''E''}}, and if {{math|''F''}} is [[vector bundle#Vector bundle morphisms|isomorphic]] to {{math|''E''}}, then the Stiefel–Whitney classes {{math|''w''(''E'')}} and {{math|''w''(''F'')}} are equal. (Here ''isomorphic'' means that there exists a [[vector bundle#Vector bundle morphisms|vector bundle isomorphism]] {{math|''E''&nbsp;→&nbsp;''F''}} which [[vector bundle#Vector bundle morphisms|covers]] the identity {{math|id<sub>''X''</sub> : ''X''&nbsp;→&nbsp;''X''}}.) While it is in general difficult to decide whether two real vector bundles {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are isomorphic, the Stiefel–Whitney classes {{math|''w''(''E'')}} and {{math|''w''(''F'')}} can often be computed easily. If they are different, one knows that {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are not isomorphic.-->

例としては、[[超球面|円]] {{math|''S''<sup>1</sup>}} 上、[[自明束]]に同型ではない[[直線束]]（つまり、[[ベクトル束#定義および定義からただちに証明されること|階数]] 1 の実ベクトル束）が存在する。この直線束 {{mvar|L}} は、[[メビウスの帯]]（ベクトル束となるベクトル空間の構造をファイバーへいれることのできる[[ファイバー束]]）である。コホモロジー群 {{math|''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''')}} は、0 以外にはひとつしか元がない。この元が {{mvar|L}} の第一スティーフェル・ホイットニー類 {{math|''w''<sub>1</sub>(''L'')}} である。{{math|''S''<sup>1</sup>}} 上の自明直線束の第一スティーフェル・ホイットニー類は 0 であるので、それは {{mvar|L}} とは同型ではない。 
<!---As an example, [[vector bundle|over]] the [[n-sphere|circle]] {{math|''S''<sup>1</sup>}}, there is a [[line bundle]] (i.e. a real vector bundle of [[Vector bundle#Definition and first consequences|rank]] 1) that is not isomorphic to a [[Fiber bundle#Trivial bundle|trivial]] bundle. This line bundle {{math|''L''}} is the [[fiber bundle#Möbius strip|Möbius strip]] (which is a [[fiber bundle]] whose fibers can be equipped with vector space structures in such a way that it becomes a vector bundle). The cohomology group {{math|''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''')}} has just one element other than 0. This element is the first Stiefel–Whitney class {{math|''w''<sub>1</sub>(''L'')}} of {{math|''L''}}. Since the trivial line bundle over {{math|''S''<sup>1</sup>}} has first Stiefel–Whitney class 0, it is not isomorphic to {{math|''L''}}.-->

しかし、同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ 2つのベクトル束 {{math|''E''}} と {{math|''F''}} は、必ずしも同型とは限らない。例えば、{{mvar|E}} と {{mvar|F}} が同じ底空間 {{math|''X''}} 上の異なる階数の自明な実ベクトル束であるときに、同型でないということが起きる。{{math|''E''}} と {{math|''F''}} が同じ階数であってもこのようなことが起きる。[[球面|2-球面]] {{math|''S''<sup>2</sup>}} の[[接束]]と {{math|''S''<sup>2</sup>}} 上の階数 2 の自明な実ベクトル束は同じスティーフェル・ホイットニー類を持つが、同型ではない。ところが、{{math|''X''}} 上 2 つの実'''直線'''束が同じスティーフェル・ホイットニー類を持てば、それらは同型である。
<!---However, two real vector bundles {{math|''E''}} and {{math|''F''}} which have the same Stiefel–Whitney class are not necessarily isomorphic. This happens for instance when {{math|''E''}} and {{math|''F''}} are trivial real vector bundles of different ranks over the same base space {{math|''X''}}. It can also happen when {{math|''E''}} and {{math|''F''}} have the same rank: the [[tangent bundle]] of the [[sphere|2-sphere]] {{math|''S''<sup>2</sup>}} and the trivial real vector bundle of rank 2 over {{math|''S''<sup>2</sup>}} have the same Stiefel–Whitney class, but they are not isomorphic. However, if two real ''line'' bundles over {{math|''X''}} have the same Stiefel–Whitney class, then they are isomorphic.-->

===原点===
[[エドゥアルト・シュティーフェル]] (Eduard Stiefel) と[[ハスラー・ホイットニー]](Hassler Whitney)により ''X'' の ''i''-スケルトンに限定した[[ベクトル束]] {{math|''E''}} のいたるところで[[線形独立]]な {{math|''n'' − ''i'' + 1}} 個の[[切断 (ファイバー束)|切断]]を構成するための{{仮リンク|障害理論|label=障害類|en|obstruction theory}}(obstruction class) の[[合同算術|2を法とした]]還元として発見したことから、スティーフェル・ホイットニー類 ''w''<sub>''i''</sub>(''E'') との名前がついている。ここに ''n'' はベクトル束 {{math|''F'' &rarr; ''E'' &rarr; ''X''}} のファイバーの次元を表す。

詳しくは、{{mvar|X}} を{{仮リンク|CW-複体|en|CW-complex}}(CW complex)とすると、ホイットニーは、ツイストした係数を持つ ''X'' の ''i''-番目の胞体[[コホモロジー群]]の中の類 ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') を定義した。次元 {{nowrap|(''n'' − ''i'' + 1)}} の{{仮リンク|スティーフェル多様体|en|Stiefel manifold}}の ''(i-1)''-番目の[[ホモトピー群]]である係数系は、''E'' の線形独立なベクトルである。ホイットニーは、{{math|''W<sub>i</sub>''(''E'') {{=}} 0}} であることと、''X'' の ''i''-スケルトンへ制限したときに ''E'' が {{math|''n'' − ''i'' + 1)}} 個の線型独立な切断を持つことが同値であることを証明した。
<!---===Origins===
The Stiefel–Whitney classes ''w''<sub>''i''</sub>(''E'') get their name because [[Eduard Stiefel]] and [[Hassler Whitney]] discovered them as [[Modular arithmetic|mod-2]] reductions of the [[obstruction theory|obstruction classes]] to constructing {{nowrap|''n'' − ''i'' + 1}} everywhere [[linearly independent]] [[Section (fiber bundle)|sections]] of the [[vector bundle]] {{math|''E''}} restricted to the ''i''-skeleton of ''X''.  Here ''n'' denotes the dimension of the fibre of the vector bundle {{nowrap|''F'' &rarr; ''E'' &rarr; ''X''}}.

To be precise, provided ''X'' is a [[CW-complex]], Whitney defined classes ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') in the ''i''-th cellular [[cohomology group]] of ''X'' with twisted coefficients.  The coefficient system being the (''i''−1)-st [[homotopy group]] of the [[Stiefel manifold]] of {{nowrap|(''n''−''i''+1)}} is linearly independent vectors in the fibres of ''E''. Whitney proved ''W''<sub>''i''</sub>(''E'')&nbsp;=&nbsp;0 if and only if ''E'', when restricted to the ''i''-skeleton of ''X'', has {{nowrap|(''n''−''i''+1)}} linearly-independent sections.-->

{{π}}<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') は、無限[[巡回群]]か、もしくは、'''Z'''/2'''Z''' に同型であるので、''W''<sub>''i''</sub>(''E'') のクラスの、スティーフェル・ホイットニー類である {{nowrap|''w''<sub>''i''</sub>(''E'') ∈ ''H''<sup>''i''</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} への{{仮リンク|標準形式|label=標準的|en|canonical form}}(canonical)なリダクションが存在する。さらに、{{nowrap|{{π}}<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') {{=}} '''Z'''/2'''Z'''}} であるときはいつも、2つのクラスは同一である。このようにして、{{math|1=''w''<sub>1</sub>(''E'') = 0}} であることと、束 {{math|''E'' → ''X''}} が[[向き付け可能]]であることとは同値である。

クラス ''w''<sub>0</sub>(''E'') は何も情報を持っていない。なぜなら、定義により 1 に等しいからである。ホイットニーによるこの構成は、創造的な考え方であり、{{仮リンク|ホイットニー和|en|Whitney sum}}(Whitney sum)公式 {{nowrap|''w''(''E''<sub>1</sub> &oplus; ''E''<sub>2</sub>) {{=}} ''w''(''E''<sub>1</sub>)''w''(''E''<sub>2</sub>)}} が正しいことを示した。しかしながら、多様体の一般化に際し（つまりある{{仮リンク|ホモロジー多様体|en|homology manifold}}(homology manifold)）、''w''<sub>0</sub>(''M'')&nbsp;≠&nbsp;1 となることがある。8 を法として 1 になればよいのである{{Clarify|date=April 2011}}{{Citation needed|date=April 2011}}。
<!---Since π<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') is either infinite-[[Cyclic group|cyclic]] or [[isomorphic]] to '''Z'''/2'''Z''', there is a [[canonical form|canonical]] reduction of the ''W''<sub>''i''</sub>(''E'') classes to classes {{nowrap|''w''<sub>''i''</sub>(''E'') ∈ ''H''<sup>''i''</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} which are the Stiefel–Whitney classes.  Moreover, whenever {{nowrap|π<sub>''i''−1</sub>''V''<sub>''n''−''i''+1</sub>(''F'') {{=}} '''Z'''/2'''Z'''}}, the two classes are identical.  Thus, ''w''<sub>1</sub>(''E'')&nbsp;=&nbsp;0 if and only if the bundle ''E''&nbsp;→&nbsp;''X'' is [[orientable]].

The ''w''<sub>0</sub>(''E'') class contains no information, because it is equal to 1 by definition. Its creation by Whitney was an act of creative notation, allowing the [[Whitney sum]] Formula {{nowrap|''w''(''E''<sub>1</sub> &oplus; ''E''<sub>2</sub>) {{=}} ''w''(''E''<sub>1</sub>)''w''(''E''<sub>2</sub>)}} to be true. However, for generalizations of manifolds (namely certain [[homology manifold]]s), one can have ''w''<sub>0</sub>(''M'')&nbsp;≠&nbsp;1: it only needs to equal 1 mod 8.{{Clarify|date=April 2011}}{{Citation needed|date=April 2011}}-->

==定義==
本記事を通して、{{math|''H''<sup>''i''</sup>(''X''; ''G'')}} で[[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} に係数を持つ空間 {{mvar|X}} の[[特異コホモロジー]]を表すこととする。'''写像''' (map) という用語はいつも[[位相空間]]の間の[[連続写像]]を意味することとする。
<!---==Definitions==
Throughout, {{math|''H''<sup>''i''</sup>(''X''; ''G'')}} denotes [[singular cohomology]] of a space {{math|''X''}} with coefficients in the [[group (mathematics)|group]] {{math|''G''}}. The word ''map'' means always a [[continuous function#Continuous functions between topological spaces|continuous function]] between [[topological spaces]].-->

===公理的定義===
次の公理系は、 基底の '''mod'''-2 コホモロジーを[[パラコンパクト空間|パラコンパクト基底]]を持つ有限ランクの実ベクトルバンドルへ結び付けるスティーフェル・ホイットニー特性類 ''w'' の唯一の特徴付けをもたらす。

# '''正規化'''(Normalization): {{仮リンク|実射影空間|en|real projective space}}(real projective space) '''P'''<sup>1</sup>('''R''') 上の{{仮リンク|トートロジーラインバンドル|en|tautological line bundle}}(tautological line bundle)のホイットニー類は、非自明である。すなわち、<math>w(\gamma^1_1)= 1 + a \in H^*(\mathbf{P}^1(\mathbf{R}); \mathbf Z_2)= \mathbf Z_2[a]/(a^2)</math> である。
# '''ランク'''(Rank): ''w''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X'') と ''E'' のランクの ''i'' に対し、<math>w_i = 0 \in H^i(X)</math> である。つまり <math>w(E) \in H^{\le \mathrm{rank} E}(X)</math> である。
# '''ホイットニー積公式''' (Whitney product formula): <math>w(E\oplus F)= w(E) \smallsmile w(F)</math> である。つまり、直和のホイットニー類は、和の類の[[カップ積]] (cup product) である。
# '''自然性''' (Naturality): 任意の実ベクトルバンドル ''E'' → ''X'' と写像 <math>f:X' \to X</math> に対し、''w''(''f*E'') = ''f*w''(''E'') である。ここに ''f*E'' は{{仮リンク|引き戻し束|label=引き戻しバンドル|en|Pullback bundle}}(pullback vector bundle)を表す。
<!---===Axiomatic definition===
The following set of axioms provides a unique way (the Stiefel-Whitney characteristic class) ''w'' of associating to finite rank real vector bundles with [[paracompact space|paracompact base]] a class of the '''mod'''-2 cohomology of the base: ('''Z'''/2'''Z''' denotes the ring of ''mod''-2 integers.) 

# '''Normalization:''' The Whitney class of the [[tautological line bundle]] over the [[real projective space]] '''P'''<sup>1</sup>('''R''') is nontrivial, i.e. <math>w(\gamma^1_1)= 1 + a \in H^*(\mathbf{P}^1(\mathbf{R}); \mathbf Z_2)= \mathbf Z_2[a]/(a^2)</math>.
# '''Rank:''' ''w''<sub>0</sub>(''E'') = 1 ∈ ''H''<sup>0</sup>(''X''), and for ''i'' above the rank of ''E'', <math>w_i = 0 \in H^i(X)</math>, that is, <math>w(E) \in H^{\le \mathrm{rank} E}(X)</math>.
# '''Whitney product formula:''' <math>w(E\oplus F)= w(E) \smallsmile w(F)</math>, that is, the Whitney class of a direct sum is the [[cup product]] of the summands' classes.
# '''Naturality:''' ''w''(''f*E'') = ''f*w''(''E'') for any real vector bundle ''E'' → ''X'' and map <math>f:X' \to X</math>, where ''f*E'' denotes the [[Pullback bundle|pullback vector bundle]].-->

これらのクラスの一意性は、たとえば、Husemollerのセクション 17.2 - 17.6 1 や Milnor と Stasheff のセクション 8 に証明されている。存在性にはいくつかの証明があり、様々な種類の構成から導かれ、それらは異なった性格を持っている。<!--their coherence is ensured by the unicity statement.-->
<!--The uniqueness of these classes is proved for example, in section 17.2 – 17.6 in Husemoller or section 8 in Milnor and Stasheff. There are several proofs of the existence, coming from various constructions, with several different flavours, their coherence is ensured by the unicity statement.-->

===無限グラスマン多様体を通した定義===

==== 無限グラスマン多様体とベクトル束 ====
このセクションでは、[[分類空間]]の考え方を使う構成を述べる。

任意のベクトル場 ''V'' に対し、''Gr<sub>n</sub>''(''V'') で ''V'' の ''n'' 次元線型部分の空間である{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}(Grassmannian)を表し、無限グラスマン多様体を
:<math>Gr_n = Gr_n(\mathbf{R}^\infty)</math>
で表す。この空間は、{{仮リンク|自然束|en|tautological bundle}} (tautological bundle) <math>\gamma^n \to Gr_n</math> の構造が入る。この自然束は、ランク ''n'' のベクトル束であり、点 <math>W \in Gr_n (V)</math> でのファイバーが ''Ẃ'' により表現される部分空間であるようなファイバー ''V'' の[[自明束]]の部分束として定義できる。
<!--===Definition ''via'' infinite Grassmannians===

==== The infinite Grassmannians and vector bundles ====
This section describes a construction using the notion of [[classifying space]].

For any vector space ''V'', let ''Gr<sub>n</sub>''(''V'') denote the [[Grassmannian]], the space of ''n''-dimensional linear subspaces of ''V'', and denote the infinite Grassmannian 
:<math>Gr_n = Gr_n(\mathbf{R}^\infty)</math>.
Recall that it is equipped with the [[tautological bundle]] <math>\gamma^n \to Gr_n</math>, a rank ''n'' vector bundle that can be defined as the subbundle of the trivial bundle of fiber ''V'' whose fiber at a point <math>W \in Gr_n (V)</math> is the subspace represented by ''Ẃ''.-->

''f'': ''X'' → ''Gr<sub>n</sub>'' を無限グラスマン多様体の連続写像とすると、同型を除き ''X'' 上の写像 ''f'' により誘導された束

:<math>f^*\gamma^n \in \mathit{Vect}_n(X)</math>

は写像 [''f''] のホモトピー類のみに依存する。したがって、引き戻しの操作は、ホモトピー同値を法とした写像 {{math|''X'' → ''Gr<sub>n</sub>''}} の集合
:<math> [X; Gr_n]</math>
から、''X'' 上のランク ''n'' のベクトル束の同型類の集合
:<math>\mathit{Vect}_n(X)</math>
への写像を与える。

この構成において重要なことは、''X'' が[[パラコンパクト空間]]であれば、この写像は[[全単射]]であるということである。これが無限グラスマン多様体をベクトル束の分類空間と呼ぶ理由である。
<!--Let ''f'' : ''X'' → ''Gr<sub>n</sub>'', be a continuous map to the infinite Grassmannian. Then, up to isomorphism, the bundle induced by the map ''f'' on ''X'' 
:<math>f^*\gamma^n \in Vect_n(X)</math>
depends only on the homotopy class of the map [''f'']. The pullback operation thus gives a morphism from the set 
:<math> [X; Gr_n]</math>
of maps ''X'' → ''Gr<sub>n</sub>'' ''modulo'' homotopy equivalence, to the set 
:<math>Vect_n(X)</math>
of isomorphism classes of vector bundles of rank ''n'' over ''X''. 

The important fact in this construction is that if ''X'' is a [[paracompact space]], this map is a [[bijection]]. This is the reason why we call infinite Grassmannians the classifying spaces of vector bundles.-->

====直線束の場合====
直線束へ上記の構成を限定する、つまり、''X'' 上の直線束の空間 Vect<sub>1</sub>(''X'') を考えることとする。直線のグラスマン多様体 ''Gr''<sub>1</sub> はまさに無限次の[[射影空間]]である。

:<math>\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^\infty/\mathbf{R}^*,</math>
これは、無限次元球面 ''S''<sup>∞</sup> によって{{仮リンク|対蹠点 (数学)|label=対蹠的|en|Antipodal point}}に二重被覆されている。無限次元球面 ''S''<sup>∞</sup> は[[可縮空間|可縮]]であるので、

:<math>\begin{align}
\pi_1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \\
\pi_i(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \pi_i(S^\infty) = 0 && i > 1
\end{align}</math>
を得る。従って、'''P'''<sup>∞</sup>('''R''') は{{仮リンク|アイレンベルグ・マックレーン空間|en|Eilenberg-Maclane space}}(Eilenberg-Maclane space) K('''Z'''/2'''Z''', 1) である。

アイレンベルグ・マックレーン空間の性質は次のような性質である。任意の ''X'' と η を生成子とする ''f'' → ''f*''η により与えられる同型に対し、
:<math>[X; \mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})] = H^1(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math>
であり、また、
:<math>H^1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}); \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}</math>
となる。第一の式を適用することは、α : [''X'', ''Gr''<sub>1</sub>] → Vect<sub>1</sub>(''X'') も全射となり、全射である写像
:''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''');
を得る。このことが、直線束に対するスティーフェル・ホイットニー類 ''w''<sub>1</sub> を定義する。
<!--====The case of line bundles====
We now restrict the above construction to line bundles, ''ie'' we consider the space, Vect<sub>1</sub>(''X'') of line bundles over ''X''. The Grassmannian of lines ''Gr''<sub>1</sub> is just the infinite [[projective space]]
:<math>\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}) = \mathbf{R}^\infty/\mathbf{R}^*</math>,
which is doubly covered by the infinite sphere ''S''<sup>∞</sup> by [[antipodal points|antipody]]. This sphere ''S''<sup>∞</sup> is [[contractible]], so we have

:<math>\begin{align}
\pi_1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \\
\pi_i(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})) &= \pi_i(S^\infty) = 0 && i > 1
\end{align}</math>
Hence '''P'''<sup>∞</sup>('''R''') is the [[Eilenberg-Maclane space]] K('''Z'''/2'''Z''', 1).

It is a property of Eilenberg-Maclane spaces, that 
:<math>[X; \mathbf{P}^\infty(\mathbf{R})] = H^1(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math>
for any ''X'', with the isomorphism given by ''f'' → ''f*''η, where η is the generator 
:<math>H^1(\mathbf{P}^\infty(\mathbf{R}); \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}</math>.
Applying the former remark that α : [''X'', ''Gr''<sub>1</sub>] → Vect<sub>1</sub>(''X'') is also a bijection, we obtain a bijection 
:''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''');
this defines the Stiefel–Whitney class ''w''<sub>1</sub> for line bundles.-->

==== 直線束の群 ====
Vect<sub>1</sub>(''X'') をテンソル積作用素の下の群と考えると、スティーフェル・ホイットニー類は同型である。{{math|''w''<sub>1</sub>: Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''')}} は同型、つまり、すべての直線束 {{math|λ, μ → ''X''}} に対し、{{math|1=''w''<sub>1</sub>(λ ⊗ μ) = ''w''<sub>1</sub>(λ) + ''w''<sub>1</sub>(μ)}} である。

たとえば、{{math|1=''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''') = '''Z'''/2'''Z'''}} であるので、束同型を除き、円上には 2つの直線束しか存在しない、つまり自明直線束と開いたメビウスの帯（すなわち境界を消したメビウスの帯）である。

同じ構成を[[複素ベクトル束]]に対して行うと、[[チャーン類]]が ''X'' 上の複素直線束と {{math|''H''<sup>2</sup>(''X''; '''Z''')}} の間の全単射を定義することが示される。何故ならば、対応する分類空間は、'''P'''<sup>∞</sup>('''C'''), a K('''Z'''/2'''Z''', 2) であるからである。この同型は、位相的なラインバンドルに対し成立し、代数的ベクトルバンドルのチャーン類の単射性への障害は、[[ヤコビ多様体]]である。
<!--==== The group of line bundles ====
If Vect<sub>1</sub>(''X'') is considered as a group under the operation of tensor product, then the Stiefel–Whitney class is an isomorphism: ''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') is an isomorphism, that is ''w''<sub>1</sub>(λ ⊗ μ) = ''w''<sub>1</sub>(λ) + ''w''<sub>1</sub>(μ) for all line bundles λ, μ → ''X''.

For example, since ''H''<sup>1</sup>(''S''<sup>1</sup>; '''Z'''/2'''Z''') = '''Z'''/2'''Z''', there are only two line bundles over the circle up to bundle isomorphism: the trivial one, and the open Möbius strip (i.e., the Möbius strip with its boundary deleted). 

The same construction for [[complex vector bundle]]s shows that the [[Chern class]] defines a bijection between complex line bundles over ''X'' and ''H''<sup>2</sup>(''X''; '''Z'''), because the corresponding classifying space is '''P'''<sup>∞</sup>('''C'''), a K('''Z'''/2'''Z''', 2). This isomorphism is true for topological line bundles, the obstruction to injectivity of the Chern class for algebraic vector bundles is the [[Jacobian variety]].-->

===消滅の位相幾何学的解釈===
# ''i'' > rank(''E'') のときはいつでも、''w<sub>i</sub>''(''E'') = 0 である。
# ''E<sup>k</sup>'' がどこでも[[線型独立]]であるような <math>s_1,\ldots,s_{\ell}</math> [[ファイバーバンドル#切断|切断]]を持っていると、<math>\ell</math> トップ次数のホイットニー類は 0 消滅し、<math>w_{k-\ell+1}=\cdots=w_k=0</math> である。
# 第一スティーフェル・ホイットニー類が 0 であることと、バンドルが[[向き付け可能]]であることとは同値である。特に、多様体 ''M'' が向き付け可能であることと ''w''<sub>1</sub>(''TM'') = 0 は同値である。
# バンドルが[[スピン構造]]を持つことと、第一と第二スティーフェル・ホイットニー類がともに 0 であることとは同値である。
# 向き付け可能なバンドルに対し、第二スティーフェル・ホイットニー類は自然な射影 ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z''') → ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z'''/2'''Z''') の像の中にある（同じことであるが、いわゆる、第三'''整数係数'''のスティーフェル・ホイットニー類が 0 である）ことと、バンドルが[[スピン構造#スピンc-構造| spin<sup>c</sup>構造]]を持つことは同値である。
# 滑らかな多様体 ''X'' のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であることと、多様体が滑らかなコンパクトな多様体の（向きつけられていない）境界であることとは同値である。この条件は充分条件でもある。
<!--==Properties==

===Topological interpretation of vanishing===
# ''w<sub>i</sub>''(''E'') = 0 whenever ''i'' > rank(''E'').
# If ''E<sup>k</sup>'' has <math>s_1,\ldots,s_{\ell}</math> [[fiber bundle#Sections|sections]] which are everywhere [[linearly independent]] then the <math>\ell</math> top degree Whitney classes vanish: <math>w_{k-\ell+1}=\cdots=w_k=0</math>.
#The first Stiefel–Whitney class is zero if and only if the bundle is [[orientability|orientable]].  In particular, a manifold ''M'' is orientable if and only if ''w''<sub>1</sub>(''TM'') = 0.
#The bundle admits a [[spin structure]] if and only if both the first and second Stiefel–Whitney classes are zero.
#For an orientable bundle, the second Stiefel–Whitney class is in the image of the natural map ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z''') → ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z'''/2'''Z''') (equivalently, the so-called third '''integral''' Stiefel–Whitney class is zero) if and only if the bundle admits a spin<sup>c</sup> structure.
#All the Stiefel–Whitney numbers of a smooth compact manifold ''X'' vanish if the manifold is a boundary (unoriented) of a smooth compact manifold. This condition is in fact also sufficient.-->

===スティーフェル・ホイットニー類の一意性===
ラインバンドルに関する上記の全単射は、4つの公理を満たす函手 θ は次の議論により ''w'' と等しいことを意味する。第二の公理は、θ(γ<sup>1</sup>) = 1 + θ<sub>1</sub>(γ<sup>1</sup>) であることを意味する。包含写像 ''i'' : '''P'''<sup>1</sup>('''R''') → '''P'''<sup>∞</sup>('''R''') に対し、引き戻しバンドル ''i*''γ<sup>1</sup> は <math>\gamma_1^1</math> と等しいので、第一と第三の公理を使うと、<math>i^* \theta_1(\gamma^1) = \theta_1(i^* \gamma^1) = \theta_1(\gamma_1^1) = w_1(\gamma_1^1) = w_1(i^* \gamma^1) = i^* w_1(\gamma^1)</math> である。写像 ''i*'': ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>∞</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') → ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>1</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') は同型であるので、<math>\theta_1(\gamma^1) = w_1(\gamma^1)</math> であり、θ(γ<sup>1</sup>) = ''w''(γ<sup>1</sup>) であることが分かる。''E'' を空間 ''X'' 上のランク ''n'' の実ベクトルバンドルとすると、''E'' は{{仮リンク|分解原理|en|Splitting principle|label=分解写像}}(splitting map)、すなわち、ある空間 ''X'' が存在し、<math>f^*:H^*(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})) \to H^*(X'; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math> が単射であり、ラインバンドル <math>\lambda_i \to X'</math> に対し、 <math>f^* E = \lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n</math> となるような写像 ''f'' : ''X′'' → ''X'' となる。''X'' 上の任意のラインバンドルは、ある写像 ''g'' に対し ''g*''γ<sup>1</sup> の形をし、自然に θ(''g*''γ<sup>1</sup>) = ''g*''θ(γ<sup>1</sup>) = ''g*w''(γ<sup>1</sup>) = ''w''(''g*''γ<sub>1</sub>) となる。このように <math>Vect_1(X)</math> 上では、θ = ''w'' となる。上記の四番目の公理からは、
:<math>f^*\theta(E) = \theta(f^*E) = \theta(\lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n) = \theta(\lambda_1) \cdots \theta(\lambda_n) = w(\lambda_1) \cdots w(\lambda_n) = w(f^*E) = f^* w(E)</math>
であることが分かる。''f*'' は単射であるので、θ = ''w'' であるからである。このように、スティーフェル・ホイットニー類は 4つの公理を満たし、一意的な函手である。
<!--===Uniqueness of the Stiefel–Whitney classes===
The bijection above for line bundles implies that any functor θ satisfying the four axioms above is equal to ''w'', by the following argument.  The second axiom yields θ(γ<sup>1</sup>) = 1 + θ<sub>1</sub>(γ<sup>1</sup>). For the inclusion map ''i'' : '''P'''<sup>1</sup>('''R''') → '''P'''<sup>∞</sup>('''R'''), the pullback bundle ''i*''γ<sup>1</sup> is equal to <math>\gamma_1^1</math>. Thus the first and third axiom imply <math>i^* \theta_1(\gamma^1) = \theta_1(i^* \gamma^1) = \theta_1(\gamma_1^1) = w_1(\gamma_1^1) = w_1(i^* \gamma^1) = i^* w_1(\gamma^1)</math>. Since the map ''i*'': ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>∞</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') → ''H''<sup>1</sup>('''P'''<sup>1</sup>('''R'''); '''Z'''/2'''Z''') is an isomorphism, <math>\theta_1(\gamma^1) = w_1(\gamma^1)</math> and θ(γ<sup>1</sup>) = ''w''(γ<sup>1</sup>) follow. Let ''E'' be a real vector bundle of rank ''n'' over a space ''X''.  Then ''E'' admits a [[splitting map]], i.e. a map ''f'' : ''X′'' → ''X'' for some space ''X′'' such that <math>f^*:H^*(X; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})) \to H^*(X'; \mathbf{Z}/2\mathbf{Z})</math> is injective and <math>f^* E = \lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n</math> for some line bundles <math>\lambda_i \to X'</math>.  Any line bundle over ''X'' is of the form ''g*''γ<sup>1</sup> for some map ''g'', and θ(''g*''γ<sup>1</sup>) = ''g*''θ(γ<sup>1</sup>) = ''g*w''(γ<sup>1</sup>) = ''w''(''g*''γ<sub>1</sub>) by naturality.  Thus θ = ''w'' on <math>Vect_1(X)</math>.  It follows from the fourth axiom above that
:<math>f^*\theta(E) = \theta(f^*E) = \theta(\lambda_1 \oplus \cdots \oplus \lambda_n) = \theta(\lambda_1) \cdots \theta(\lambda_n) = w(\lambda_1) \cdots w(\lambda_n) = w(f^*E) = f^* w(E).</math> 
Since ''f*'' is injective, θ = ''w''. Thus the Stiefel–Whitney class is the unique functor satisfying the four axioms above.-->

=== 同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ非同型なバンドル ===
写像 ''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') は全単射であるにもかかわらず、対応する写像は高次元では必ずしも単射となるわけではない。たとえば、''n'' を偶数として、接バンドル ''TS<sup>n</sup>'' を考えると、'''R'''<sup>''n''+1</sup> への ''S<sup>n</sup>'' の標準的な埋め込みを持つ ''S<sup>n</sup>'' への法バンドル ν はラインバンドルである。''S<sup>n</sup>'' は向きつけ可能であるので、ν は自明である。和 ''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν はまさに ''T'''''R'''<sup>''n''+1</sup> から ''S<sup>n</sup>'' への制限であり、'''R'''<sup>''n''+1</sup> は可縮であるので、和は自明である。従って ''w''(''TS<sup>n</sup>'') = ''w''(''TS<sup>n</sup>'')''w''(ν) = ''w''(''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν) = 1 である。しかし ''TS<sup>n</sup>'' → ''S<sup>n</sup>'' は自明ではない。その[[オイラー類]] <math>e(TS^n) = \chi(TS^n)[S^n] = 2[S^n] \not =0</math> である。ここに [''S<sup>n</sup>''] は ''S<sup>n</sup>'' の[[基本類]]を表し、χ は[[オイラー標数]]を表す。
<!--===Non-isomorphic bundles with the same Stiefel–Whitney classes===
Although the map ''w''<sub>1</sub> : Vect<sub>1</sub>(''X'') → ''H''<sup>1</sup>(''X''; '''Z'''/2'''Z''') is a bijection, the corresponding map is not necessarily injective in higher dimensions.  For example, consider the tangent bundle ''TS<sup>n</sup>'' for ''n'' even.  With the canonical embedding of ''S<sup>n</sup>'' in '''R'''<sup>''n''+1</sup>, the normal bundle ν to ''S<sup>n</sup>'' is a line bundle.  Since ''S<sup>n</sup>'' is orientable, ν is trivial.  The sum ''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν is just the restriction of ''T'''''R'''<sup>''n''+1</sup> to ''S<sup>n</sup>'', which is trivial since '''R'''<sup>''n''+1</sup> is contractible.  Hence ''w''(''TS<sup>n</sup>'') = ''w''(''TS<sup>n</sup>'')''w''(ν) = w(''TS<sup>n</sup>'' ⊕ ν) = 1.  But ''TS<sup>n</sup>'' → ''S<sup>n</sup>'' is not trivial; its [[Euler class]] <math>e(TS^n) = \chi(TS^n)[S^n] = 2[S^n] \not =0</math>, where [''S<sup>n</sup>''] denotes a [[fundamental class]] of ''S<sup>n</sup>'' and χ the [[Euler characteristic]].-->

==関連する不変量==

===スティーフェル・ホイットニー数===
次元 ''n'' の多様体上で考えると、全次数&nbsp;''n'' のスティーフェル・ホイットニー類の任意の積は、与えられた '''Z'''/2'''Z''' の元を与える多様体の '''Z'''/2'''Z'''-[[基本類]](fundamental class)、ベクトルバンドルの'''スティーフェル・ホイットニー数'''(Stiefel–Whitney number)とペアとすることができる。たとえば、多様体の次元を 3 とすると、3つの線型独立な <math>w_1^3, w_1 w_2, w_3</math> により与えられるスティーフェル・ホイットニー数が存在する。一般に、多様体の次元が ''n'' であれば、独立なスティーフェル・ホイットニー数の数は、''n'' の[[分割数]]となる。

滑らかな多様体の接バンドルのスティーフェル・ホイットニー数を、多様体のスティーフェル・ホイットニー数を呼ぶ。スティーフェル・ホイットニー数は[[コボルディズム]](cobordism)不変量であることが知られている。このことは[[レフ・ポントリャーギン]](Lev Pontryagin)により証明され、''B'' が滑らかなコンパクトな (''n''+1)–次元多様体で ''M'' と等しい境界を持っているとすると、''M'' のスティーフェル・ホイットニー数は、すべて 0 となる<ref>{{cite journal|title=Characteristic cycles on differentiable manifolds|journal=Math. Sbornik N. S.|volume=21|issue=63|year=1947|pages=233–284|language=Russian|first=L. S.|last=Pontrjagin}}</ref>。さらに、''M'' のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であれば、''M'' はある滑らかなコンパクトな多様体の境界として実現することができることが、[[ルネ・トム]](René Thom)により証明された<ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=50–53}}</ref>。

{{仮リンク|手術理論|en|surgery theory}}(surgery theory)におけるスティーフェル・ホイットニー数の重要性のひとつに、スティーフェル・ホイットニー数は (4''k''+1)-次元多様体 <math>w_2w_{4k-1}</math> の'''{{仮リンク|ド・ラーム不変量|en|de Rham invariant}}'''(de Rham invariant)という定理がある。
<!--==Related invariants==

===Stiefel–Whitney numbers===
If we work on a manifold of dimension ''n'', then any product of Stiefel–Whitney classes of total degree&nbsp;''n'' can be paired with the '''Z'''/2'''Z'''-[[fundamental class]] of the manifold to give an element of '''Z'''/2'''Z''', a '''Stiefel–Whitney number''' of the vector bundle. For example, if the manifold has dimension 3, there are three linearly independent Stiefel–Whitney numbers, given by <math>w_1^3, w_1 w_2, w_3</math>. In general, if the manifold has dimension ''n'', the number of possible independent Stiefel–Whitney numbers is the number of [[integer partition|partition]]s of&nbsp;''n''.

The Stiefel–Whitney numbers of the tangent bundle of a smooth manifold are called the Stiefel–Whitney numbers of the manifold.  They are known to be [[cobordism]] invariants. It was proven by [[Lev Pontryagin]] that if ''B'' is a smooth compact (''n''+1)–dimensional manifold with boundary equal to ''M'', then the Stiefel-Whitney numbers of ''M'' are all zero.<ref>{{cite journal|title=Characteristic cycles on differentiable manifolds|journal=Math. Sbornik N. S.|volume=21|issue=63|year=1947|pages=233–284|language=Russian|first=L. S.|last=Pontrjagin}}</ref> Moreover, it was proved by [[René Thom]] that if all the Stiefel-Whitney numbers of ''M'' are zero then ''M'' can be realised as the boundary of some smooth compact manifold.<ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=50–53}}</ref>

One Stiefel–Whitney number of importance in [[surgery theory]] is the ''[[de Rham invariant]]'' of a (4''k''+1)-dimensional manifold, <math>w_2w_{4k-1}.</math>-->

===ウー類===
スティーフェル・ホイットニー類 ''w<sub>k</sub>'' は、{{Harv|Wu|1955}} で{{仮リンク|吳文俊|en|Wu Wenjun}}(Wu Wenjun)により定義された'''ウー類'''(Wu classes) ''v<sub>k</sub>'' の{{仮リンク|スティンロッドの平方根|en|Steenrod square}}(Steenrod square)である。単純に、全スティーフェル・ホイットニー類は、全ウー類の全スティンロッドの平方根 ''Sq''(''v'') = ''w'' である。ウー類はいつも暗にスティンロッドの平方根の項でスティンロッドの平方根を表現するコホモロジー類として定義される。多様体 ''X'' を ''n'' 次元とすると、次数 ''n-k'' のコホモロジー類 ''x'' に対し、<math>v_k \cup x = Sq^k(x)</math> となる。特に、狭く <math>\langle v_k \cup x, \mu\rangle = \langle Sq^k(x), \mu \rangle</math> を要求すると、再び、次数 ''n-k'' のコホモロジー類 ''x'' に対し同じことになる<ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=131–133}}</ref>。
<!--===Wu classes===
The Stiefel–Whitney classes ''w<sub>k</sub>'' are the [[Steenrod square]]s of the '''Wu classes''' ''v<sub>k</sub>'', defined by [[Wu Wenjun]] in {{Harv|Wu|1955}}. Most simply, the total Stiefel–Whitney class is the total Steenrod square of the total Wu class: ''Sq''(''v'') = ''w''. Wu classes are most often defined implicitly in terms of Steenrod squares, as the cohomology class representing the Steenrod squares. Let the manifold ''X'' be ''n'' dimensional. Then, for any cohomology class ''x'' of degree ''n-k'',  <math>v_k \cup x = Sq^k(x),</math>.  Or more narrowly, we can demand <math>\langle v_k \cup x, \mu\rangle = \langle Sq^k(x), \mu \rangle</math>, again for cohomology classes ''x'' of degree ''n-k''. <ref>{{cite book|first1=J. W.|last1=Milnor|first2=J. D.|last2=Stasheff|title=Characteristic Classes|publisher=Princeton University Press|year=1974|ISBN=0-691-08122-0|pages=131–133}}</ref>-->

==整数スティーフェル・ホイットニー類==
元 <math>\beta w_i \in H^{i+1}(X;\mathbf{Z})</math> は ''i'' + 1 '''整数'''スティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる。ここに β は{{仮リンク|ボックシュタイン準同型|en|Bockstein homomorphism}}(Bockstein homomorphism)であり、modulo 2 のリダクション '''Z''' → '''Z'''/2'''Z''' に対応する。

:<math>\beta\colon H^i(X;\mathbf{Z}/2) \to H^{i+1}(X;\mathbf{Z}).</math>

たとえば、第三の整数スティーフェル・ホイットニー類は、[[スピン構造#スピンc-構造|Spin<sup>c</sup>構造]]への障害である。
<!--==Integral Stiefel–Whitney classes==
The element <math>\beta w_i \in H^{i+1}(X;\mathbf{Z})</math> is called the ''i'' + 1 ''integral'' Stiefel–Whitney class, where β is the [[Bockstein homomorphism]], corresponding to reduction modulo 2, '''Z''' → '''Z'''/2'''Z''':
:<math>\beta\colon H^i(X;\mathbf{Z}/2) \to H^{i+1}(X;\mathbf{Z}).</math>

For instance, the third integral Stiefel–Whitney class is the obstruction to a [[Spin_structure#Spinc_structures|Spin<sup>c</sup> structure]].-->

===スティンロッド代数上の関係式===
{{仮リンク|スティンロッド代数|en|Steenrod algebra}}(Steenrod algebra)上において、（接バンドルのスティーフェル・ホイットニー類として定義された）滑らかな多様体のスティーフェル・ホイットニー類は、<math>w_{2^i}</math> の形をした類により生成される。特に、吳文俊(Wu Wenjun)の名前に因んだ'''{{visible anchor|ウーの公式}}'''
:<math>Sq^i(w_j)=\sum_{t=0}^i {j+t-i-1 \choose t} w_{i-t}w_{j+t}.</math>
を満たす<ref>{{Harv|May|1999|p=197}}</ref>。
<!--===Relations over the Steenrod algebra===
Over the [[Steenrod algebra]], the Stiefel–Whitney classes of a smooth manifold (defined as the Stiefel–Whitney classes of its [[tangent bundle]]) are generated by those of the form <math>w_{2^i}</math>. In particular, the Stiefel–Whitney classes satisfy the '''{{visible anchor|Wu formula}}''', named for [[Wu Wenjun]]:<ref>{{Harv|May|1999|p=197}}</ref>
:<math>Sq^i(w_j)=\sum_{t=0}^i {j+t-i-1 \choose t} w_{i-t}w_{j+t}.</math>-->

==関連項目==
* 一般的な事項としては[[特性類]]、特に[[チャーン類]]は[[複素ベクトルバンドル]]の直接の類似である。
* {{仮リンク|実射影空間|en|Real projective space}}(Real projective space)

==参考文献==
{{Reflist}}
{{Refbegin}}
*D. Husemoller, ''Fibre Bundles'', Springer-Verlag, 1994.
*{{citation |last= May |first=J. P. |authorlink=J. Peter May|title=A Concise Course in Algebraic Topology |year=1999 |publisher=U. Chicago Press, Chicago |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |accessdate=2009-08-07}}
{{Refend}}

{{DEFAULTSORT:すていいふえるほいつとにいるい}}
[[Category:特性類]]
[[Category:数学に関する記事]]