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'''ストリッカーツ評価''' (ストリッカーツひょうか、英：Strichartz estimate) とは、分散型および双曲型[[偏微分方程式]]の解の時空間[[ノルム]]を評価する[[不等式]]である<ref>{{citation|title=Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions of Wave Equations|author=R.S. Strichartz|year=1977|journal=Duke Math. J.|volume=44|issue=3|pages=705–713|doi=10.1215/s0012-7094-77-04430-1}}</ref>。

分散型・[[双曲型偏微分方程式]]の現代的な数学解析においてもっとも基本的かつ必要不可欠な道具であり、あらゆる場面で用いられる。

== 歴史 ==
[[シュレーディンガー方程式]]に対するストリッカーツ評価は、[[:en:Robert_Strichartz|Robert_Strichartz]]<ref>{{Cite journal|last=Strichartz|first=Robert S.|date=1977-09-01|title=Restrictions of Fourier transforms to quadratic surfaces and decay of solutions of wave equations|url=https://projecteuclid.org/journals/duke-mathematical-journal/volume-44/issue-3/Restrictions-of-Fourier-transforms-to-quadratic-surfaces-and-decay-of/10.1215/S0012-7094-77-04430-1.full|journal=Duke Mathematical Journal|volume=44|issue=3|doi=10.1215/S0012-7094-77-04430-1|issn=0012-7094}}</ref>が最初に与えた。オリジナルの論文では、d次元空間内のフーリエ変換を(d-1)次元(超)曲面上へ制限することで評価を得ている。その後、Ginibre--Velo<ref>{{Cite journal|last=Ginibre|first=J.|last2=Velo|first2=G.|date=1979-04-01|title=On a class of nonlinear Schrödinger equations. I. The Cauchy problem, general case|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022123679900764|journal=Journal of Functional Analysis|volume=32|issue=1|pages=1–32|doi=10.1016/0022-1236(79)90076-4|issn=0022-1236}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Ginibre|first=J.|last2=Velo|first2=G.|date=1979-04-01|title=On a class of nonlinear Schrödinger equations. II. Scattering theory, general case|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022123679900776|journal=Journal of Functional Analysis|volume=32|issue=1|pages=33–71|doi=10.1016/0022-1236(79)90077-6|issn=0022-1236}}</ref>, Yajima<ref>{{Cite journal|last=Yajima|first=Kenji|date=1987-01|title=Existence of solutions for Schrödinger evolution equations|url=https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-110/issue-3/Existence-of-solutions-for-Schr%c3%b6dinger-evolution-equations/cmp/1104159313.full|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=110|issue=3|pages=415–426|issn=0010-3616}}</ref>, Cazenave--Weissler<ref>{{Cite journal|last=Cazenave|first=Thierry|last2=Weissler|first2=Fred B.|date=1990-01-01|title=The cauchy problem for the critical nonlinear Schrödinger equation in Hs|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0362546X9090023A|journal=Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications|volume=14|issue=10|pages=807–836|doi=10.1016/0362-546X(90)90023-A|issn=0362-546X}}</ref>らによって改良された。最後のピースである、所謂「端点評価」を証明したのはKeel--Tao<ref>{{Cite journal|last=Keel|first=Markus|last2=Tao|first2=Terence|date=1998|title=Endpoint Strichartz Estimates|url=https://www.jstor.org/stable/25098630|journal=American Journal of Mathematics|volume=120|issue=5|pages=955–980|issn=0002-9327}}</ref>である。端点評価は空間2次元において破綻するが、Taoはノルムを補正することで同様の評価が与えられることを示した<ref>{{Cite journal|last=Tao|first=Terence|date=1999-01|title=Spherically Averaged Endpoint Strichartz Estimates For The TwoDimensional Schrödinger Equation|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/03605300008821556|journal=Communications in Partial Differential Equations|volume=25|issue=7-8|pages=1471–1485|language=en|doi=10.1080/03605300008821556|issn=0360-5302}}</ref>。

== 自由シュレーディンガー方程式の場合 ==

=== 許容指数対 ===
実数の組<math>(p,q) \in [2,\infty]^2</math>が'''許容指数対'''であるとは、次が成り立つことである：
<math>
\frac{2}{p}+\frac{d}{q} = \frac{d}{2}.
</math>
ただし、<math>(d,p,q) = (2,2,\infty)</math>は除外する。

=== 自由シュレーディンガー方程式に対するストリッカーツ評価 ===
次の自由シュレーディンガー方程式を考える：
:<math>
i \partial_t u + \Delta u = 0, \quad u(t,x) : \mathbb{R}^{1+d}_{t,x} \to \mathbb{C}.
</math>
ここで<math>\Delta</math>はラプラシアンである。初期値が<math>u(0)=u_0</math>であれば、解は
:<math>
u(t,x)=e^{it\Delta}u_0 = \mathcal{F}^{-1}(e^{-it|\xi|^2} \widehat{u_0}(\xi))
</math>
と書ける。このとき、ある定数<math>C_0 > 0</math>があって、任意の許容指数対<math>(p,q),(p_1,q_1)</math>に対して、次の不等式が成立する<ref>{{Cite book|和書 |title=非線型発展方程式の実解析的方法 |date=2013/1/1 |year=2013 |publisher=丸善出版}}</ref>：

<math>
\|e^{it\Delta} u_0\|_{L^p(\mathbb{R}_t;L^q(\mathbb{R}^d_x))} \le C_0 \|u_0\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}, 
</math><math>
\Big\|\int_{\mathbb{R}}e^{i(t-\tau)\Delta} u(\tau) d\tau \Big\|_{L^p(\mathbb{R}_t; L^q(\mathbb{R}^d_x))}
\le C_0 \|u\|_{L^{p_1'}(\mathbb{R}_t; L^{q_1'}(\mathbb{R}^d_x))},
</math>
<math>
\Big\|\int_0^t e^{i(t-\tau)\Delta} u(\tau) d\tau \Big\|_{L^p(\mathbb{R}_t; L^q(\mathbb{R}^d_x))}
\le C_0 \|u\|_{L^{p_1'}(\mathbb{R}_t; L^{q_1'}(\mathbb{R}^d_x))}.
</math>

ここで、<math>1/p+1/p'=1</math>である。

=== 空間2次元の端点評価 ===
空間2次元の場合の端点指数<math>(d,p,q) = (2,2,\infty)</math>は除かれていた。しかし、次のように右辺のノルム(=抑えるノルム)を弱めることで、同様の評価が成り立つ<ref>{{Cite journal|last=Tao|first=Terence|date=1999-01|title=Spherically Averaged Endpoint Strichartz Estimates For The TwoDimensional Schrödinger Equation|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/03605300008821556|journal=Communications in Partial Differential Equations|volume=25|issue=7-8|pages=1471–1485|language=en|doi=10.1080/03605300008821556|issn=0360-5302}}</ref>：

<math>
\|e^{it\Delta} u_0\|_{L^2(\mathbb{R}_t;X)} \le C_1 \|u_0\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}, 
</math>

<math>
\Big\|\int_{\mathbb{R}}e^{-i\tau\Delta} u(\tau) d\tau \Big\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}
\le C_1 \|u\|_{L^2(\mathbb{R}_t;X')},
</math>

<math>
\Big\|\int_0^t e^{i(t-\tau)\Delta} u(\tau) d\tau \Big\|_{L^2(\mathbb{R}_t; X)}
\le C_1 \|u\|_{L^{p_1'}(\mathbb{R}_t; L^{q_1'}(\mathbb{R}^d_x))}.
</math>

ここで、<math>\|f\|_X := \|f(r\theta)\|_{L^\infty_r L^2_\theta}
, \|f\|_{X'} := \|f(r\theta)\|_{L^1_r L^2_\theta}</math>である。また、<math>(p_1,q_1)</math>は許容指数対である。特に、<math>u_0</math>が球対称関数のとき、<math>X=L^\infty(\mathbb{R}^d)</math>であることに注意せよ。

=== 一般化 ===

==== 直交ストリッカーツ評価 ====
三角不等式と通常のストリッカーツ評価から、直ちに次のことが分かる。許容指数対<math>(p,q)</math>と正規化されたL²関数の列<math>(u_n)_{n=1}^\infty</math>に対して、

<math>
\Big\| \sum_{n=1}^\infty a_n|e^{it\Delta}u_n|^2\Big\|_{L^{p/2}(\mathbb{R}_t; L^{q/2}(\mathbb{R}^d_x))}
\le C_0 \|a\|_{\ell^1}.
</math> 

が成り立つ。しかし実は、<math>(u_n)_{n=1}^\infty</math>が正規直交系である場合、不等式は次のように改良されることが知られている<ref>{{Cite journal|last=Frank|first=Rupert L.|last2=Sabin|first2=Julien|date=2017|title=Restriction theorems for orthonormal functions, Strichartz inequalities, and uniform Sobolev estimates|url=https://muse.jhu.edu/pub/1/article/677449|journal=American Journal of Mathematics|volume=139|issue=6|pages=1649–1691|doi=10.1353/ajm.2017.0041|issn=1080-6377}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Frank|first=Rupert|last2=Lewin|first2=Mathieu|last3=Lieb|first3=Elliott|last4=Seiringer|first4=Robert|date=2014|title=Strichartz inequality for orthonormal functions|url=https://cir.nii.ac.jp/crid/1362262943732920320|journal=Journal of the European Mathematical Society|volume=16|issue=7|pages=1507–1526|doi=10.4171/jems/467}}</ref>：<math>1 \le q/2 < (d+1)/(d-1)</math>かつ<math>\alpha = 2q/(q+1)</math>とするとき、

<math>
\Big\| \sum_{n=1}^\infty a_n|e^{it\Delta}u_n|^2\Big\|_{L^{p/2}(\mathbb{R}_t; L^{q/2}(\mathbb{R}^d_x))}
\le C_{d,p} \|a\|_{\ell^\alpha}
</math>

が成り立つ。右辺のノルムが<math>\ell^1</math>から<math>\ell^\alpha, \alpha>1</math>になっているところがポイントである。a<bのとき<math>\ell^a \subset \ell^b</math>であることに注意せよ。

== ポテンシャルがついたシュレーディンガー方程式の場合 ==
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=== 時間に依存しないポテンシャルの場合 ===
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=== 時間に依存するポテンシャルの場合 ===
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== 変数係数のシュレーディンガー方程式の場合 ==
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== 波動方程式の場合 ==
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== 日本語の関連文献 ==
* {{Cite book|和書|author=小川卓克 |title=非線型発展方程式の実解析的方法 |publisher=丸善出版 |year=2013 |series=シュプリンガー現代数学シリーズ |id={{国立国会図書館書誌ID|024182041}} |ref=harv}}
* {{Cite book|和書|author=堤誉志雄 |title=偏微分方程式論 : 基礎から展開へ |publisher=培風館 |year=2004 |series=数学レクチャーノート ; 基礎編 3 |id={{国立国会図書館書誌ID|000007376517}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000007376517 |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=BEZ NEAL; HONG YOUNGHUN; LEE SANGHYUK; 中村昌平; 澤野嘉宏 |url=https://hdl.handle.net/2433/254981 |title=滑らかさを加味した直交ストリッカーツ評価 (関数空間の一般化とその周辺) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |date=2019-12 |volume=2143 |pages=173-184 |hdl=2433/254981 |CRID=1050285700355872512 |ref=harv}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:すとりつかあつひょうか}}
[[Category:不等式]]
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]