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'''ストークスの定理'''（ストークスのていり、{{lang-en-short|Stokes’ theorem}}）は、[[ベクトル解析]]の[[定理]]のひとつである。3次元[[ベクトル場]]の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]を[[閉曲線]]を境界とする[[曲面]]上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界である閉曲線上で[[線積分]]したものと一致することを述べる<ref name ="Arfken2005">George B. Arfken and Hans J. Weber (2005), chapter.1</ref>。定理の名はイギリスの物理学者[[ジョージ・ガブリエル・ストークス]]に因む<ref name ="Katz1979">Victor J. Katz (1979)</ref><ref name ="Katz2008">Victor J. Katz (2008), chapter.16</ref>。ベクトル解析における[[グリーンの定理]]、[[ガウスの定理]]、[[ケルビン・ストークスの定理|ストークスの定理]]を、より一般的な向きづけられた[[多様体]]上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。[[微分積分学の基本定理]]の、多様体への拡張であるともいえる。

== ストークスの定理 ==
{{main|ケルビン・ストークスの定理}}
ベクトル解析における'''ストークスの定理'''は、ベクトル場の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]を曲面上で[[面積分]]したものが、元のベクトル場を曲面の境界で[[線積分]]したものに一致することを述べたものであり、以下のように記述される。

:<math>\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{A})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
=\int_{\partial S} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}</math>

ここで {{mvar|S}} は積分範囲の面、{{math|∂''S''}} はその境界の曲線である。
<!-- 面と線の向きについて書かなくてよいのか？ -->
ストークスの定理を用いることで、電磁気学では[[マクスウェルの方程式]]から[[アンペールの法則]]などを導くことができる。

=== 歴史 ===
この定理が現れたのは、イギリスの物理学者[[ウィリアム・トムソン]]（ケルビン卿）が[[ジョージ・ガブリエル・ストークス]]宛てに送った手紙が最初だとされる<ref name ="Katz1979"></ref><ref name ="Katz2008"></ref>。1850年7月2日の手紙の追伸で、トムソンはこの定理を記している。また、ストークスは1854年にこの定理を[[ケンブリッジ大学]]での[[スミス賞]]の試験問題と出題しており、印刷された形が現れるのはこれが最初である<ref name ="Katz1979"></ref><ref name ="Katz2008"></ref>。ケンブリッジ大学の[[ルーカス教授職]]であったストークスはスミス賞の問題作成に携わっており、1854年2月の試験の中で、8番目の問題として、次の形で与えた{{efn2|現代的な記法では、左辺の導関数の微分記号{{math|d}}は偏微分{{mvar|&part;}}である。}}。

{{Quotation|
{{math|''X'', ''Y'', ''Z''}} を直交座標系 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} の関数、{{math|d''S''}}を任意の有限な曲面の面素とし、{{math|''l'', ''m'', ''n''}} は{{math|d''S''}}における法線が各 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} 軸に対してなす角の[[余弦]]とする。
このとき、

:<math>\begin{align}
&\iint \biggl \{ l \biggl (\frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}y}- \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}z} \biggr )+ m \biggl (\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}z}- \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}x} \biggr )
+ n \biggl (\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}x}- \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}y} \biggr ) \biggr \} \mathrm{d}S \\
&= \int \biggl ( X \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} + Y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} + Z \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \biggr ) \mathrm{d}s
\end{align}</math>

を示せ。但し、{{math|''X'', ''Y'', ''Z''}}の微係数は偏微分であり、（右辺の）一重積分は曲面の全周囲に沿って行われるものとする。}}

電磁気学への貢献で知られる[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル]]は、当時、ケンブリッジ大学の学生であり、この試験を受け、[[エドワード・ラウス]]ともにスミス賞を受賞している。後にマクスウェルはこの定理の由来をストークスに尋ね、1873年の著作『[[電気磁気論]]』の中でこの定理を記した<ref name ="Katz1979"></ref><ref name ="Maxwell1873">James Clerk Maxwell, [https://archive.org/details/atreatiseonelec03maxwgoog ''A Treatise on Electricity and Magnetism'' vol.1] (1873), Preliminary, Art. 24, Theorem. IV</ref>。マクスウェルはベクトル解析を扱った序章の中でストークスの定理を証明とともに載せ、参考文献として、ストークスのスミス賞の試験問題を挙げている。最初にストークスの定理に証明を与えたのはドイツの数学者[[ヘルマン・ハンケル]]である<ref name ="Katz1979"></ref>。[[ベルンハルト・リーマン]]の学生であったハンケルは1861年に曲面が{{math|''z''{{=}}''z''(''x'', ''y'')}}の形で表せる特別な場合に[[グリーンの定理]]を適用し、ストークスの定理を証明した。より一般的な場合についての証明は、トムソン自身が1867年に出版された{{仮リンク|ピーター・ガスリー・テイト|en|Peter Tait (physicist)}}との共著『{{仮リンク|自然哲学論考|en|Treatise on Natural Philosophy}}』の中で与えている<ref name ="Thomson_Tait1867">William Thomson and Peter Guthrie Tait,[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044014664221;view=1up;seq=17 ''Treatise on Natural Philosophy''] (1867), chapter.I , section.190, p. 124</ref>。当初、ストークスの定理は3つの関数の組に対する形で表現されていたが、テイトは1870年に[[四元数]]による形式で書き直した<ref name ="Katz1979"></ref><ref name ="Tait1870">P. Tait, "On Green's and other Allied Theorems", ''Transactions of the Royal Society of Edinburgh'', pp.69-84 (1870) {{doi|10.1017/S0080456800026387}}</ref>。前述のマクスウェルの著作『電気磁気論』においても、ストークスの定理は四元数の形式で記述されている。これらの四元数で表現されていたストークスの定理を現代的なベクトルの記法で書き直したのは、米国の物理学者[[ウィラード・ギブズ]]や英国の物理学者[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]であり、1880年代に入ってからのことである。

=== 応用 ===
==== アンペールの法則 ====
ストークスの定理の応用の一つして、電磁気学における[[マクスウェル方程式]]からの[[アンペールの法則]]の導出がある<ref name ="Feynman1971_a">[http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands (1971), chapter.13]</ref>。時間に依存しない[[静電場]]{{mvar|'''E'''}}、[[静磁場]]{{mvar|'''B'''}}を考える。このとき、電荷密度は定数であり、電流は定常状態にある。この場合、静磁場{{mvar|'''B'''}}は時間に依存しないマクスウェル方程式

:<math>\begin{align}
\nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \\
\nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0 \boldsymbol{j}
\end{align}</math>

を満たす。但し、{{math|''&mu;''<sub>0</sub>}} は[[真空]]の[[透磁率]]、{{mvar|'''j'''}} は電流密度である。ここで、任意の閉曲線 {{math|∂''S''}} に沿って、静磁場 {{mvar|'''B'''}} の線積分を行えば、ストークスの定理より、{{math|∂''S''}} を境界とする曲面 {{mvar|S}} に対し、

:<math>
\oint_{\partial S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= 
\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{B}) \cdot  \mathrm{d}\boldsymbol{S}
</math>

が成り立つ。右辺を前述の静磁場と電流密度の関係式を用いて、書き換えれば、

:<math>
\oint_{\partial S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= 
\mu_0 \iint_S \boldsymbol{j} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
</math>

を得る。右辺の電流密度の面積分は閉曲線 {{mvar|S}} を貫いて流れる電流 {{math|''I''<sub>∂''S''</sub>}} に対応しており、

:<math>
\oint_{\partial S} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= \mu_0 I_{\partial S}
</math>

が成り立つ。このある曲面を貫いて流れる電流 {{math|''I''<sub>∂''S''</sub>}} とその周囲に発生する静磁場を結ぶ関係を'''アンペールの法則'''と呼ぶ。

==== ファラデーの電磁誘導の法則 ====
電磁気学におけるストークスの定理の別の応用例として、マクスウェル方程式からの[[ファラデーの電磁誘導の法則]]の導出がある<ref name ="Feynman1971_b">[http://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_17.html R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. Sands (1971), chapter.17]</ref>。空間に固定された閉曲線 {{math|∂''S''}} に沿った[[誘導起電力]]は

:<math>
\mathcal{E} =\oint_{\partial S} E \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
</math>

で定義される。{{math|∂''S''}} を境界とする曲面 {{mvar|S}} に対し、ストークスの定理を適用すれば、

:<math>
\mathcal{E} = \iint_S (\nabla \times \boldsymbol{E}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}
</math>

となる。右辺の被積分関数にマクスウェル方程式

:<math>
\nabla \times \boldsymbol{E}= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}
</math>

を適用すれば、

:<math>
\mathcal{E} = - \iint_S \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_S \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}
</math>

と表せる。ここで、右辺の磁場 {{mvar|'''B'''}} の面積分は[[磁束]] {{math|&Phi;<sub>''B''</sub>}} であり、

:<math>
\mathcal{E} = -  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Phi_B
</math>

が成り立つ。この誘電起電力が磁束の時間変化で与えられるという関係を'''ファラデーの電磁誘導の法則'''と呼ぶ。

=== 微分形式による表現 ===
[[多様体]]における[[微分形式]]の理論を用いれば、ストークスの定理を洗練された形式で表現できるともに、背後に存在する一般化された定式化を示唆する。ベクトル場の線積分は[[1-形式|1形式]]の積分、ベクトル場の回転の面積分は[[2-形式|2形式]]の積分で書き表すことができ、ストークスの定理は

:<math>\begin{align}
&\int_{S}  \biggl (  \frac{\partial R}{\partial y}- \frac{\partial Q}{\partial z } \biggr ) \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z+  \biggl (\frac{\partial P}{\partial z }- \frac{\partial R}{\partial x } \biggr ) \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x +  \biggl (  \frac{\mathrm{d}Q}{\partial x }- \frac{\partial P}{\partial y} \biggr ) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \\
&= \int_{\partial S}  P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y +R \mathrm{d}z
\end{align}</math>

となる。線積分における1形式をあらためて、

:<math>
\omega = P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z
</math>

とすると、{{mvar|&omega;}} に[[外微分]]を作用させた {{math|d''&omega;''}} は

:<math>
\mathrm{d}\omega=
\biggl (  \frac{\partial R}{\partial y}- \frac{\partial Q}{\partial z } \biggr ) \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + \biggl (\frac{\partial P}{\partial z } - \frac{\partial R}{\partial x } \biggr ) \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x +  \biggl (\frac{\mathrm{d}Q}{\partial x }- \frac{\partial P}{\partial y} \biggr ) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y
</math>

であり、面積分に現れる2形式に一致する。したがって、ストークスの定理は

:<math>
\int_{S} \mathrm{d}\omega =\int_{\partial S} \omega
</math>

と表すことができる。

== 微分形式による一般化 ==
{{main|一般化されたストークスの定理}}
境界付き多様体上の[[微分形式]]に対する一般化されたストークスの定理は次のように定式化される。
:<math>\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega.</math>

ここに、{{mvar|M}} は向きの付いた{{mvar|n}}次元[[多様体]]であり、{{mvar|&omega;}}は {{mvar|M}} 上の（少なくとも {{math|''C''<sup>1</sup>}} 級の）{{math|(''n'' − 1)}} 次微分形式で[[コンパクト (数学)|コンパクト]]な台を持つものとする。{{math|∂''M''}}は {{mvar|M}} の境界を、{{math|d''&omega;''}} は {{mvar|&omega;}} の[[外微分]]を表している。{{math|∂''M''}} には {{mvar|M}} の構造から誘導される {{math|(''n'' − 1)}} 次元向きつき多様体の構造が入る。

この定理は「ある量([[微分形式]])の微分を特定の領域で積分した値は、境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」と解釈でき、[[微積分学の基本定理]]の自然な拡張になっている。実際、{{mvar|M}} が区間（1次元多様体）{{math|[''a'', ''b'']}} で {{math|''f''(''x'')}} が {{mvar|M}} 上の微分可能な関数のとき、{{mvar|&omega;}} として 0次微分形式  {{math|''f''(''x'')}} を考えれば {{math|∂''M'' {{=}} {{mset|''a'', ''b''}}}} 上での {{mvar|&omega;}} の積分は {{math|''f''(''b'') − ''f''(''a'')}} となり、一方 {{mvar|M}} 上での {{math|d''&omega;'' {{=}} ''f''′(''x'') d''x''}} の積分は <math display="inline">\int_a^b f'(x) \mathrm{d}x</math> となって普通の意味での微積分学の基本定理が得られる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{notelist2}}
===出典===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', Elsevier Academic Press (2005), ISBN 978-0120598762
* Richard P. Feynman, Robert B. Leighton and Matthew Sands,''[[ファインマン物理学|The Feynman Lectures on Physics]]'' vol.II, Addison Wesley (1971) ISBN 020102117X
* Victor J. Katz, "The History of Stokes' Theorem", ''Mathematics Magazine'', vol. 52, pp. 146-156, (1979) {{doi|10.2307/2690275}}
* Victor J. Katz, ''A History of Mathematics'', Pearson (2008)  ISBN 978-0321387004

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Stokes' theorem}}
* [[ベクトル解析]]
** [[グリーンの定理]]
** [[ケルビン・ストークスの定理]]
** [[ガウスの定理]]
** [[ベクトル解析の公式の一覧]]

{{Mathanalysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:すとおくすのていり}}
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:微分積分学の定理]]
[[Category:微分幾何学の定理]]
[[Category:ジョージ・ガブリエル・ストークス]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]