ストークスの式のソースを表示

{{混同|ナビエ–ストークス方程式}}
{{出典の明記|date=2011年7月}}
'''ストークスの式'''（ストークスのしき、{{lang-en|Stokes' law}}）とは、主に小さな[[粒子]]が[[流体]]中を[[沈殿|沈降]]する際の[[終端速度]]を表す次の式である。
''':<math>v_\mathrm{s} = \frac{{D_\mathrm{p}}^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{18\eta}</math>'''
ただし
:''v''<sub>s</sub>：終端速度;[m/s]もしくは[cm/s]
:''D''<sub>p</sub>：粒子径;[m]もしくは[cm]
:&rho;<sub>p</sub>：粒子の密度;[kg/m<sup>3</sup>]もしくは[g/cm<sup>3</sup>]
:&rho;<sub>f</sub>：流体の密度;[kg/m<sup>3</sup>]もしくは[g/cm<sup>3</sup>]
:''g''：[[重力加速度]];[m/s<sup>2</sup>]もしくは[cm/s<sup>2</sup>]
:&eta;：流体の[[粘度]];[Pa･s]もしくは[g/(cm･s)]
である。

終端速度とは、粒子に上向きの力を及ぼす[[抗力|抵抗力]]および[[浮力]]と下向きの[[重力]]とが釣り合ったときの速度であり、粒子が一度その速度に達すると、その後は速度は変化せず一定になる。実際には微粒子が流体中を落下するときは落ち始めてほんの数秒（[[緩和時間]]）後に終端速度に達するが、大きな粒子の場合は終端速度に達するまでにより時間がかかる。

== 仮定 ==
ストークスの式を適用するには以下の条件が必要である。
* 粒子は球形であること。
* 次式で定義される[[レイノルズ数|レイノルズ数''Re'']]が2より小さいこと。
:: <math>Re=\frac{D_\mathrm{p} v_s \rho_\mathrm{f}}{\eta}</math>

大きな粒子や不定形粒子では以上の仮定が成り立たず、流体から受ける抵抗力も若干のずれを生じる。そのため比較的大きい粒子に対してはアレンの式やニュートンの式を適用したほうがよい場合もある（詳細は[[終端速度]]を参照）。

== 導出 ==
以下に流体中の球形の粒子の落下に関するストークスの式を導く。まず、流体中を落下する球体に働く抵抗力''F''はその速度に比例し、
:<math>F=6 \pi \eta rv</math>
と仮定される。

一方、粒子に働く[[浮力]]''F''<sub>b</sub>及び[[重力]]''F''<sub>g</sub>は、
:<math>\begin{align}F_\mathrm{b} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f} g \\
F_\mathrm{g} &= \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g \end{align}</math>
である。<br>なお、(4&pi;''r''<sup>3</sup>)/3は半径''r''の[[球]]の[[体積]]を表している。

粒子が終端速度''v''<sub>s</sub>で流体中を落下するとき、これらの力は釣り合う。すなわち、抵抗力+浮力=重力だから、
:<math>6 \pi \eta rv_\mathrm{s} + \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{f}g = \frac{4 \pi r^3}{3} \rho_\mathrm{p} g</math>
したがって終端速度''v''<sub>s</sub> は、
:<math>v_\mathrm{s} = \frac{2}{9}\frac{r^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{\eta}</math>
で示される（&rho;<sub>p</sub> > &rho;<sub>f</sub> の場合は垂直に下向き、&rho;<sub>p</sub> < &rho;<sub>f</sub>の場合は垂直に上向き）。粒子径を''D''<sub>p</sub>とおくと、''D''<sub>p</sub>=2''r''であるので、上記の式は
:<math>v_\mathrm{s} = \frac{{D_\mathrm{p}}^2 (\rho_\mathrm{p} - \rho_\mathrm{f}) g}{18\eta}</math>
となり、ストークスの式が導かれる。

== 関連項目 ==
*[[ジョージ・ガブリエル・ストークス]]
*[[ナビエ-ストークスの式|ナビエ＝ストークスの式]]
*[[ストークス数]]
*[[ミリカンの油滴実験]] - ウィルソンや[[ロバート・ミリカン|ミリカン]]の[[電気素量]]を求める実験でストークスの式が用いられた。

{{DEFAULTSORT:すとおくすのしき}}
[[Category:流体力学]]
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:ジョージ・ガブリエル・ストークス]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:物理学のエポニム]]