ストーンの表現定理のソースを表示

[[数学]]において、ブール代数に対する'''ストーンの表現定理'''（ストーンのひょうげんていり、{{lang-en-short|''Stone's representation theorem''}}）は、任意の[[ブール代数]]が何らかの[[有限加法族|集合代数]] (field of sets) に[[同型]]であることを述べるものである。この定理は20世紀前半に浮上してきた[[ブール論理|ブール代数]]の深い理解にとって基本的である。この定理を初めて証明したのは {{harvtxt|Stone|1936}} であり、名称はこの業績に因むものである。ストーンは[[ヒルベルト空間]]上の[[線型作用素|作用素]]の[[スペクトル論]]の研究によってこの定理を導いた。

この定理は[[ストーン双対性]]の特殊な場合に当たる。

== ストーン空間 ==
各[[ブール代数]] ''B'' は、それに'''付随するストーン空間'''と呼ばれる位相空間 ''S''(''B'') を持つ。''S''(''B'') における点は ''B'' 上の[[超フィルター]]、あるいは同じことだが ''B'' から[[二元ブール代数]]への準同型である。''S''(''B'') における位相は ''B'' の元 ''b'' に対して
:<math>\{ x \in S(B) \mid b \in x\}</math>
なる形に書ける集合全体からなる[[基底 (位相空間論)|基底]]によって生成される。 

任意のブール代数 ''B'' に対し ''S''(''B'') は[[コンパクト空間|コンパクト]][[完全不連結]][[ハウスドルフ空間]]である。このような位相空間は'''ストーン空間'''（または'''副有限空間''' (''profinite spaces'')）と呼ばれる。逆に、任意の位相空間 ''X'' が与えられたとき、''X'' の[[開かつ閉集合]]全体の成す族はブール代数になる。

== 表現定理 ==
単純版の'''ストーンの表現定理'''は、任意のブール代数 ''B'' が付随するストーン空間 ''S''(''B'') の開かつ閉部分集合全体の成す集合代数に同型であるというものである。この同型写像は ''B'' の元 ''b'' を ''b'' を含む超フィルター全体の成す集合（この集合は ''S''(''B'') の位相の選び方と ''B'' がブール代数であることから、開かつ閉になる）へ写す。

定理を[[圏論]]の言葉を用いて書き直すと、[[ブール代数の圏]]と[[ストーン空間の圏]]の間に[[圏論的双対性|双対性]]が存在することを意味するものになる。この双対性はブール代数とそのストーン空間の間に同型があることに加えてその同型が函手的であること、即ちブール代数 ''A'' から別のブール代数 ''B'' への各準同型に対して、''S''(''B'') から ''S''(''A'') への連続函数が[[自然性 (圏論)|自然]]な対応を持つことを意味する。言い換えれば、それらの圏の間に[[圏同値]]を与える[[函手#反変関手|反変函手]]が存在するのである。これは圏の非自明な双対性の初期の例である。

ストーンの表現定理は、もっと一般の場合では[[位相空間]]と[[半順序集合]]との間の双対性を扱う枠組みを与える、[[ストーン双対性]]の特別の場合である。

その証明には[[選択公理]]またはその弱い形の公理を必要とする。特にこの定理は、任意のブール代数が素イデアルを持つことを述べた弱い形の選択原理である[[ブール素イデアル定理]]と同値になる。

==関連項目==
* [[有限加法族]]
* [[ストーン空間]]
* [[ストーン函手]]
* [[射有限群]]
* [[表現論]]
* [[ストーン双対性]]
<!--
== 脚注 ==
<references/>-->

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{citation|first1=Paul|last1=Halmos|authorlink1=ポール・ハルモス|last2=Givant|first2=Steven|year=1998|title=Logic as Algebra|series= Dolciani Mathematical Expositions No. 21|publisher=[[アメリカ数学会|The Mathematical Association of America]]}}
* {{citation|first=Johnstone|last=Peter T.|year=1982|title=Stone Spaces|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-23893-5}}
* {{citation|last=H. Stone|first=Marshall|authorlink=マーシャル・ストーン|year=1936|url=http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947%28193607%2940%3A1%3C37%3ATTORFB%3E2.0.CO%3B2-8|title= The Theory of Representations of Boolean Algebras| series=''Transactions of the American Mathematical Society 40''|pp=37-111}}
オンライン公開のモノグラフ:
* {{citation|first1=Burris|last1=Stanley N.|first2=Sankappanavar|last2=H. P.|year=1981| url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|title= A Course in Universal Algebra |publisher=[[Springer-Verlag]]| isbn=3-540-90578-2}}

{{DEFAULTSORT:すとおんのひようけんていり}}
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[[Category:数学のエポニム]]