スピロ予想のソースを表示

[[数論]]において、'''スピロ予想''' (Szpiro's conjecture) は、[[楕円曲線]]の[[導手]]と判別式との間の関係について述べた[[予想 (数学)|予想]]であり、[[ABC予想]]と深い関係にある。この予想の名前は、1980年代にこれを定式化した [[リュシアン・スピロ]]（[[:en:Lucien Szpiro|英語版]]）に由来する。

== 言明 ==
任意の &epsilon; &gt; 0 に対し、定数 ''C'' (&epsilon;) が存在して、有理数体 '''Q''' 上定義された全ての楕円曲線 ''E'' に対して、''E'' の極小判別式を &Delta; で、導手を ''f'' で表すと、
:<math>\vert\Delta\vert \leq C(\varepsilon ) \cdot f^{6+\varepsilon }</math>
が成り立つ。

以上は有理数体における主張であるが、一般の[[代数体]]Ver.や[[関数体]]Ver.もある。関数体Ver.は、Szpiro の定式化のずっと以前に[[小平邦彦]]によって発見されており、その証明は易しい<ref>Silverman, p. 388.</ref>。

== ABC予想との関係 ==
スピロ予想より強い以下の主張が[[ABC予想]]と同値である<ref>W. Stein</ref>。
:任意の &epsilon; &gt; 0 に対し、定数 ''C'' (&epsilon;) が存在して、有理数体 '''Q''' 上定義された全ての楕円曲線 ''E'' に対して、
::<math>\max\{\vert c_4\vert^3,\vert c_6\vert^2\} \leq C(\varepsilon ) \cdot f^{6+\varepsilon }</math>
:が成り立つ。ここに、''c''<sub>4</sub>, ''c''<sub>6</sub> は楕円曲線 ''E'' のよく知られた不変量である。
一般に 1728&Delta; = ''c''<sub>4</sub><sup>3</sup> - ''c''<sub>6</sub><sup>2</sup> であるから、上記の主張から通常のスピロ予想は簡単に導かれる。

通常のスピロ予想は、少し弱いVer.のABC予想と同値である<ref>D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf Modular forms, elliptic curves, and the ABC-conjecture].</ref>。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation |first=S. |last=Lang |authorlink=Serge Lang |title=Survey of Diophantine geometry |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin |year=1997 |isbn=3-540-61223-8 | page=51 }}
* {{citation |first=L. |last=Szpiro |title=Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux |journal=Astérisque |volume=86 |issue=3 |year=1981 |pages=44–78 }}
* {{citation |first=L. |last=Szpiro |title=Présentation de la théorie d'Arakelov |journal=Contemp. Math. |volume=67 |year=1987 | zbl=0634.14012 | pages=279–293 |doi=10.1090/conm/067/902599}}
* Joseph H. Silverman, ''Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves'', Springer, 1994.

== 外部リンク ==
* [[:en:William A. Stein|William Stein]], [http://modular.math.washington.edu/mcs/archive/Fall2001/notes/12-10-01/12-10-01/node2.html Szpiro and ABC].

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