スピン群のソースを表示

[[数学]] において、 '''スピン群'''（スピンぐん、{{lang-en-short|spin group}}） Spin(''n'') は[[特殊直交群]] SO(''n'') の[[被覆空間|二重被覆]]であり、従って、以下に記す[[リー群]]の短[[完全系列]]が存在する。
:<math>1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1.</math>
''n'' &gt; 2 に対し、Spin(''n'') は[[単連結空間|単連結]]であり、よって SO(''n'') の[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]]である。
従って、リー群 Spin(''n'') の次元は ''n''(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)/2 と特殊直交群と同じであり、[[リー環]]も特殊直交群のものと同じである。

Spin(''n'') は、クリフォード多元環 ''C''&#x2113;(''n'') の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。
''n'' 次元実ユークリッド空間 '''R'''<sup>''n''</sup> の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 ''C''&#x2113;(''n'')、''C''&#x2113;<sub>0</sub>(''n'') と書く。
''C''&#x2113;(''n'') の乗法可逆元全体 ''C''&#x2113;(''n'')<sup>×</sup> は乗法群になり、''C''&#x2113;<sub>0</sub>(''n'') の乗法可逆元全体 ''C''&#x2113;<sub>0</sub>(''n'')<sup>×</sup> はその部分群になる。
''X''∈''C''&#x2113;(''n'')<sup>×</sup> に対して、
:''ψ<sub>X</sub>'' : ''C''&#x2113;(''n'')∋ ''Y'' → ''XYX''<sup>&minus;1</sup>∈''C''&#x2113;(''n'')
は ''C''&#x2113;(''n'') の内部自己同型である。
一般クリフォード群
:''Γ''(''n'')={''X''∈''C''&#x2113;(''n'')<sup>×</sup>|''ψ<sub>X</sub>''('''R'''<sup>''n''</sup>)⊆'''R'''<sup>''n''</sup>}
は、''C''&#x2113;(''n'')<sup>×</sup> の部分群で、特殊クリフォード群
:''Γ''<sub>0</sub>(''n'')=''Γ''(''n'')∩''C''&#x2113;<sub>0</sub>(''n'')<sup>×</sup>
も部分群である。
''C''&#x2113;(''n'') の主逆自己同型を ''J'' と書くとき、''X''∈''Γ''(''n'') のノルム
:''ν''(''X'')=''XJ''(''X'')
は ''C''&#x2113;(''n'') の中心の可逆元である。
準同型としてのノルム写像 ''ν'' の ''Γ''<sub>0</sub>(''n'') への制限の核
Ker(''ν''|<sub>''Γ''<sub>0</sub>(''n'')</sub>)
は、Spin(''n'') になる。

== 偶然的な同型 ==

低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。
例えば、低次元スピン群とある種の古典リー群の間に同型が存在する。
特に、

:Spin(1) = O(1)
:Spin(2) = U(1)
:Spin(3) = Sp(1) = SU(2)
:Spin(4) = Sp(1) &times; Sp(1)
:Spin(5) = Sp(2)
:Spin(6) = SU(4)

''n'' = 7,8 においては、この様な同型の名残が見られるが、これより高次の ''n'' においては、この様な同型は完全になくなってしまう。

== 関連項目 ==
* [[ピン群]]
* [[スピノール]]

{{Topology-stub}}
{{DEFAULTSORT:すひんくん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:群論]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:スピノル]]