スペクトル密度のソースを表示

'''スペクトル密度'''（スペクトルみつど、{{lang-en-short|spectral density}}<ref name="electropedia 801-21-43">{{cite web|title=IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Details for IEV number 801-21-43: "spectral density"|url=https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=801-21-43|website=electropedia.org|accessdate=2024-12-28}}</ref>）は、[[信号 (電気工学)|信号]]を構成する成分を[[周波数]]の[[関数 (数学)|関数]]として表したものであり<ref>「スペクトル：信号を構成している周波数成分の振幅や位相の分布を周波数の関数として表したものの一般的呼称。振幅スペクトル、位相スペクトル、パワースペクトル、クロススペクトル、エネルギースペクトルなどがある」{{cite|和書|chapter=スペクトル|page=190|title=新版 音響用語辞典|publisher=コロナ社|editor=日本音響学会|year=2003|isbn=4-339-00755-2}}</ref>、単に[[スペクトル]]と言うこともある。成分として信号の全エネルギー<ref>全エネルギーが無限大に発散する場合は定義できず、そのときにはパワースペクトルが用いられる。</ref>について表したものを'''エネルギースペクトル密度'''（{{lang-en-short|energy spectral density}}、ESD<ref name="electropedia 702-04-49">{{cite web|title=IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Details for IEV number 702-04-49: "energy spectral density"|url=https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=702-04-49|website=electropedia.org|accessdate=2024-12-28}}</ref>）という<ref>{{cite|和書|chapter=エネルギースペクトル|page=31|title=新版 音響用語辞典|publisher=コロナ社|editor=日本音響学会|year=2003|isbn=4-339-00755-2}}</ref>。また、[[仕事率]]（パワー）について表したものを'''パワースペクトル密度'''（{{lang-en-short|power spectral density}}<ref name="electropedia 103-09-05">{{cite web|title=IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Details for IEV number 103-09-05: "power spectral density"|url=https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=103-09-05|website=electropedia.org|accessdate=2024-12-28}}</ref>）といい、仕事率として[[電力]]が対象となる場合、'''電力スペクトル密度'''とも呼ばれる。スペクトル密度は[[定常過程]]に関する周波数値の正実数の関数または時間に関する決定的な関数である。直観的には、[[確率過程]]の周波数要素を捉えるもので、周期性を識別するのを助ける。

== 概要 ==
信号の[[エネルギー]]は振幅の二乗和でしばしば定義される。信号を[[定常波]]の和すなわちスペクトルとして見たとき（[[フーリエ変換]]）、信号全体のエネルギーは部分定常波エネルギーの総和になると考えられる。より正確には、連続値である各周波数にエネルギー密度が定義出来てその積分値が信号全体のエネルギーになると考えられる（[[パーセバルの定理]]）。各周波数におけるエネルギー密度を'''エネルギースペクトル密度'''という。

また、信号の[[仕事率]]（パワー）は時間当たりのエネルギーでしばしば定義される。全く同じ議論がパワーに関してもでき、各周波数におけるパワー密度を'''パワースペクトル密度'''という。

[[物理学]]の観点では、信号とは波動であり、代表的な波動には[[電磁波]]や[[音波]]がある。信号がどのような物理的次元を伝わるのかは問題ではないが、以下の議論では時間と共に変化する信号について解説する。[[次元解析]]の観点では、パワースペクトル密度の単位は[[ワット]]毎[[ヘルツ]] (W/Hz) か、ワット毎[[ナノメートル]] (W/nm) で表される（後者は周波数の代わりに[[波長]]を用いる）。

== 定義 ==

=== エネルギースペクトル密度 ===

==== 連続信号 ====
連続信号 ''f''(''t'') の'''エネルギースペクトル密度'''は次の式で定義される。
{{Indent|<math>ESD(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^2 = \frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}</math>}}
''ω は''[[角周波数]]''、F''(''ω'') は ''f''(''t'') の[[連続フーリエ変換]]、''F''<sup>*</sup>(''ω'') はその[[複素共役]]である。<math>1/2\pi </math> という係数は絶対的なものではなく、フーリエ変換での正規化定数の定義に依存する。''f''(''t'') が有限エネルギー信号であるとき、その信号のスペクトル密度 ''ESD''(''ω'') は、信号を[[フーリエ変換]]したときの大きさの2乗である。

すなわちESDは信号のエネルギーが周波数についてどのように分布するかを示す。

==== 離散信号 ====
離散信号 ''f<sub>n</sub>'' = ''f''(''n'',''dt'') が無限に続くとするなら'''エネルギースペクトル密度'''は次の式で定義される。
{{Indent|<math>ESD(\omega)=\left|\frac{dt}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{-i\omega n}\right|^2=\frac{dt^2}{2\pi}F_d(\omega)F_d^*(\omega)</math>}}
ここで、''F''(''ω'') は ''f<sub>n</sub>'' の[[離散時間フーリエ変換]]である。数学ではサンプリング間隔 ''dt'' を 1 として扱うことが多い。しかしながら、正確な物理単位を維持するためと、''dt'' → 0 とした場合に連続時間の関数へ逆変換できることを保証するためには ''dt'' が必要となる。

==== 次元解析 ====
ここで、エネルギーは信号の2乗を積分したものであり、その信号を電圧として 1[[オーム]]の負荷に加えたときの物理エネルギーに等しい。''f''(''t'') が[[伝送路]]を通って伝播する電気信号の[[電位]]を（[[ボルト (単位)|ボルト]]で）表す場合、スペクトル密度 ''ESD''(''ω'') の測定単位は volt<sup>2</sup>×seconds<sup>2</sup> として現れるが、物理学のエネルギースペクトル密度としてはまだ次元的に正確ではない。しかしながら、（[[オーム]]で表される）伝送路の[[特性インピーダンス]] ''Z'' によって除算すると、''ESD''(''ω'') の次元は1オーム当たり volt<sup>2</sup>×seconds<sup>2</sup> になる。これは、物理学で定義されるエネルギースペクトル密度の[[国際単位系|国際単位]]である[[ジュール]]毎[[ヘルツ]]（J/Hz）と等価となる。

=== パワースペクトル密度 ===
上述のエネルギースペクトル密度の定義は、信号の[[フーリエ変換]]が存在するパルスのような信号に最も適している。たとえば[[定常過程|定常物理過程]]を示す連続信号について、'''パワースペクトル密度'''あるいは'''電力スペクトル密度''' (PSD) を定義することは価値があり、信号や時系列の[[仕事率|パワー]]が周波数についてどのように分布しているかを示す。抽象的な信号についても、信号の2乗と定義できる。このとき、信号 ''f''(''t'') のある一瞬の力は次のように与えられる。
:<math>P(t) = f(t)^2</math>

[[平均]]（あるいは[[期待値]]）としての ''P''(''t'') は、全周波数領域にわたるパワースペクトル密度の積分である。

正規化された[[フーリエ変換]]:
:<math> \mathcal{F}_T(\omega) = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T f(t) \exp(-i\omega t) dt</math>
を使用して、次のようにパワースペクトル密度を定義できる<ref>{{cite book
|title = Spikes: Exploring the Neural Code (Computational Neuroscience)
|author = Fred Rieke, William Bialek, and David Warland
|publisher = MIT Press
|year = 1999
|isbn = 978-0262681087
}}</ref><ref>{{cite book
|title = Probability and random processes
|author = Scott Millers and Donald Childers
|publisher = Academic Press
|year = 2012
}}</ref>。
:<math> PSD(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \mathbf{E} \left[ | \mathcal{F}_T(\omega) | ^ 2 \right]</math>
確率論的な信号については、フーリエ変換の二乗値は一般的に極限に近づけないが、期待は行う。（{{仮リンク|ピリオドグラム|en|periodogram}}を参照。）

'''見解'''：取り扱う多くの信号が積分可能ではなく、その信号の ''非正規化（＝通常の）'' [[フーリエ変換]]は存在しない。何人かの著者（たとえば Risken<ref>
{{cite book
|title = The Fokker–Planck Equation: Methods of Solution and Applications
|edition = 2nd
|author = Hannes Risken
|publisher = Springer
|year = 1996
|isbn = 9783540615309
|page = 30
|url = https://books.google.co.jp/books?id=MG2V9vTgSgEC&pg=PA30&redir_esc=y&hl=ja
}}</ref>）は、まだ非正規化[[フーリエ変換]]を使ってパワースペクトル密度の定義
:<math> \langle F(\omega) F^\ast(\omega') \rangle = 2\pi\,PSD(\omega)\,\delta(\omega-\omega')</math>
を公式化している。ここで、δ(''ω'' &minus; ''ω''<nowiki/>') は[[ディラックのデルタ関数]]である。このような公式の文献は直観を導くには有用であるが、十分な注意と共に使用されるべきである。

このような形式[[推論]]を用いると、[[定常過程|定常ランダム過程]]とパワースペクトル密度 ''PSD''(''ω'') およびこの信号の[[自己相関]]関数 ''R''(τ) = <''f''(''t'') ''f''(''t'' + τ)> が[[フーリエ変換]]対でなければならないことに気づくだろう。このことは真実であり、[[ノーバート・ウィーナー]]および[[アレクサンドル・ヒンチン]]によって作り出された意味深い定理（[[ウィーナー・ヒンチンの定理]]）となる。
:<math>PSD(f)=\int_{-\infty}^\infty \,R(\tau)\,e^{-i\omega\tau}\,d \tau=\mathcal{F}(R(\tau))</math>
多くの著者が、実際にパワースペクトル密度を ''定義する'' ためにこの等式を使用している<ref>{{cite book
|title = Echo Signal Processing
|author = Dennis Ward Ricker
|publisher = Springer |year = 2003
|ISBN = 1-4020-7395-X
|url = https://books.google.co.jp/books?id=NF2Tmty9nugC&pg=PA23&dq=%22power+spectral+density%22+%22energy+spectral+density%22&lr=&as_brr=3&ei=HZMvSPSWFZyStwPWsfyBAw&sig=1ZZcHwxXkErvNXtAHv21ijTXoP8&redir_esc=y&hl=ja#PPA23,M1
}}</ref>。そうする理由は「数学的曖昧さ」を回避するためであると、多くの書籍に記載されている。

ある周波数帯域 [ω<sub>1</sub>, ω<sub>2</sub>] における信号の力は、正の周波数と負の周波数について積分することで計算できる。
:<math>P=\int_{\omega_1}^{\omega_2}\,PSD(\omega)+PSD(-\omega) \,d \omega</math>
信号のパワースペクトル密度は、その信号が[[定常過程#弱い（広義の）定常性|広義の定常過程]]であるときだけ存在する。信号が広義、もしくは、狭義の[[定常過程]]でない場合、その[[自己相関]]関数は2つの変数の関数となる。広義の {{仮リンク|周期定常過程|en|Cyclostationary process}} のような場合、PSD は存在する可能性がある<ref>
{{cite book
|title = Wireless Communications
|edition = 2nd
|author = Andreas F. Molisch
|publisher = John Wiley and Sons
|year = 2011
|isbn = 978-0-470-74187-0
|page = 194
|url = https://books.google.co.jp/books?id=vASyH5-jfMYC&pg=PA194&redir_esc=y&hl=ja
 }}</ref>。
より一般に、似たような技法で時と共に変化するスペクトル密度の近似を求めることができる。

パワースペクトル密度の定義は、全測定時間 ''T'' =''n dt'' の間に離散時間 ''f<sub>n</sub>'' = ''f''(''n'',''dt'') でサンプリングされた信号のような有限の時系列 ''f<sub>n</sub>'' = ''f''(''n'',''dt'')（ただし 1 ≤ ''n'' ≤ ''N''）を直接的に一般化する。
:<math>PSD(\omega)=\frac{dt^2}{T}\left|\sum_{n=1}^N f_n e^{-i\omega n}\right|^2</math>.
実世界の応用では、観察された物理過程の基礎となる実際の PSD のより正確な推定を行うために、一度の測定で得られる PSD の結果を複数回反復測定し平均化することが一般的である。このように計算された PSD は{{仮リンク|ピリオドグラム|en|Periodogram}}と呼ばれる。平均する時間間隔Tを無限に近づける場合、ピリオドグラムが真のパワースペクトル密度 (PSD) に近づくことを証明できる（ブラウンとホワン<ref>{{cite book
|title = Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering
|author = Robert Grover Brown & Patrick Y.C. Hwang
|publisher = John Wiley & Sons
|year = 1997
|ISBN = 0-471-12839-2
|url = http://www.amazon.com/dp/0471128392
}}</ref>）。

2つの信号共に '''''パワースペクトラ''''' （正確な用語；spectrum の複数形は spectra）を有する場合、これらの[[相互相関]]関数を用いてクロスパワースペクトルを計算できる。

==== パワースペクトル密度の特性 ====
PSD には次のような特性がある<ref>{{Cite book
|publisher = Cambridge Univ Pr
|isbn = 0-521-01230-9
|last = Storch
|first = H. Von
|coauthors = F. W Zwiers
|title = Statistical analysis in climate research
|year = 2001
}}</ref>。
*実際に使われる[[確率過程|過程]]のスペクトルは対称である: ''S''(&minus; ''f'') = ''S''(''f'') 言い換えると、[[偶関数]]である。
*[&minus; 1/2, +1/2] の範囲で連続しており、微分可能である。
*PSD の[[微分]]は ''f'' = 0 で 0 となる。（このことはパワースペクトルが[[偶関数]]となるために必要である。）そうでない場合、[[微分]]は ''f'' = 0 で存在しない可能性がある。
*[[自己共分散]]関数は[[フーリエ逆変換]]を使うことにより再構成することができる。
*PSD は、時間軸上の[[分散 (確率論)|分散]]の分布を示している。とりわけ、
*:<math>\text{Var}(X_t) = \gamma_0 = 2 \int_0^{1/2} S(\omega) d\omega</math> である。
*PSD は[[自己共分散]]関数の一次関数となる。
*:もし γ が2つの関数 γ(τ) = α<sub>1</sub>γ<sub>1</sub>(τ) + α<sub>1</sub>γ<sub>2</sub>(τ) に再構成される場合、
*:''S''(''f'') = α<sub>1</sub>''S''<sub>1</sub>(''f'') + α<sub>2</sub>''S''<sub>2</sub>(''f'') となる。
*:: ここで <math>S_i(f) = \mathcal{F}\{ \gamma_i \}</math>
'''パワースペクトル''' ''G''(''f'') は次式で定義される<ref>An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise, Wilbur B. Davenport and Willian L. Root, IEEE Press, New York, 1987, ISBN 0-87942-235-1</ref>。
:<math>G(f)=  \int _{-\infty}^f S(f^\prime) \, df^\prime. </math>

== 推定 ==
スペクトル密度推定の目的は、連続した時間サンプルから[[ランダム信号]]のスペクトル密度を[[推定論|推定]]（[[:en:Estimation theory|estimate]]）することである。
信号から何が知られているかに依存するが、推定方法は {{仮リンク|パラメトリック推定|en|Parametric statistics}} と[[非パラメトリック推定]]の2つの方法があり、時間領域または周波数領域の分析が基本となる。たとえば、{{仮リンク|パラメトリック推定|en|Parametric statistics}} で共通の技術は[[自己回帰モデル]]に観測を適応させることを含んでいる。[[非パラメトリック推定]]で共通の技術は{{仮リンク|ピリオドグラム|en|Periodogram}}である。

スペクトル密度は通常[[フーリエ変換]]法を使用して推定されるが、{{仮リンク|ウェルチ法|en|Welch's method}}や[[最大エントロピー法]]といった他の技術も使用することができる。

== 特性 ==
*''f''(''t'') のスペクトル密度と ''f''(''t'') の[[自己相関]]は、フーリエ変換対を形成する（PSD と ESD とで、自己相関関数の異なる定義が使われる）。
*フーリエ解析の1つの結果として[[パーセバルの定理]]がある。それによると、エネルギースペクトル密度<math>\Phi(\omega)</math>の曲線の面積は、信号の振幅<math>f(t)</math>の自乗すなわち全エネルギーの面積に等しい。
{{Indent|<math>\int_{-\infty}^\infty \left| f(t) \right|^2\, dt = \int_{-\infty}^\infty \Phi(\omega)\, d\omega.</math>}}
この定理は離散的な場合でも成り立つ。同様にパワースペクトル密度の積分したものは、それに対応する信号の全エネルギーの平均に等しい（それはまた、遅延ゼロでの自己相関関数である）。

== 関連する概念 ==
*周波数分布を示すグラフは、ほとんどの場合スペクトル密度を表している。完全な周波数スペクトルを描く場合、振幅と周波数のグラフ（スペクトル密度に相当）と[[位相]]と周波数のグラフ（スペクトル密度以外の情報）で表される。信号 ''f''(''t'') の波形は、完全な[[周波数スペクトル]]があれば再現できる。信号 ''f''(''t'') をスペクトル密度情報だけから再現することはできない。
*スペクトル密度関数の中点を、その信号の[[スペクトル重心]]と呼ぶ。すなわち、その周波数を分割点として、上と下でエネルギーが拮抗する。
*スペクトル密度は周波数の関数であって、時間の関数ではない。しかし、長い信号の非常に短い期間のスペクトル密度を計算することもでき、それらを時系列に並べることもできる。そのようなグラフを[[スペクトログラム]]と呼ぶ。これは、[[短時間フーリエ変換]]や[[ウェーブレット変換]]などのスペクトル解析技法の基本である。
*スペクトル密度を信号とみなし、[[フーリエ変換]]して得られる信号を[[ケプストラム]]と呼ぶ<ref>"The log power spectrum can be considered as a 'frequency series'" B. P. Bogert, et al. (1963).</ref>。すなわち、スペクトルのスペクトルである。

== 応用 ==
=== 電子工学 ===
信号のパワースペクトル密度は[[電子工学]]の基本概念の1つであり、特に電子通信システム（無線、レーダーなど）で重要である。電気信号のパワースペクトルを測定して表示する機器として[[スペクトラムアナライザ]]がある。

スペクトラムアナライザは、入力信号の[[短時間フーリエ変換]] (STFT) の絶対値を測るのが基本である。解析対象の信号が定常的ならば、STFT はパワースペクトル密度のよい近似となる。

=== 測色法 ===
[[画像:Spectral Power Distributions.png|right]]
[[光]]のスペクトルとは、色に対応した各周波数で運ばれる力を示したものである。光スペクトルは周波数よりも波長で表されることが多く、厳密にはスペクトル密度ではない。[[分光測色法|分光測色器]]によっては、1から2[[ナノメートル]]単位の分解能を持つ。値は他の用途に使われたり、光源のスペクトル属性を示すために図示されたりする。これを使って光源の[[色]]特性を解析する。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|ノイズスペクトル密度|en|Noise spectral density}}
*[[ノイズ]]
*[[スペクトル漏れ]]
*[[窓関数]]
*[[周波数領域]]
*[[周波数スペクトル]]
*{{仮リンク|バイスペクトル|en|Bispectrum}}
*[[スペクトル解析]]
*[[スペクトログラム]]
*[[スペクトラムアナライザ]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
*[http://www.cygres.com/OcnPageJ/Glosry/Spec.html 時系列データ解析におけるパワースペクトル密度関数について] Cygnus Research International
*[http://econom01.cc.sophia.ac.jp/seminar/semi96/spectr1.htm スペクトル解析の基礎知識]

{{DEFAULTSORT:すへくとるみつと}}
[[Category:信号処理]]
[[Category:分光学]]
[[Category:振動と波動]]
[[Category:周波数領域分析]]