スメイルの問題のソースを表示

'''スメイルの問題'''（スメイルのもんだい、{{lang-en-short|Smale's problems}}）は、[[スティーヴン・スメイル]]によって2000年に提唱された18の[[数学上の未解決問題]]である<ref>{{cite journal
 |author=[[スティーヴン・スメイル|Steve Smale]]
 |title=Mathematical problems for the next century
 |journal=Mathematics: frontiers and perspectives
 |pages=271–294
 |publisher=American Mathematics Society |place=Providence, RI
 |year=2000
 |url=http://www6.cityu.edu.hk/ma/doc/people/smales/pap104.pdf}}</ref>。スメイルは、[[ウラジーミル・アーノルド]]からの要請に答える形でこの問題の一覧を構成した。当時の[[国際数学連合]]の委員長の依頼により、アーノルドは何人かの数学者たちに21世紀に向けた問題の一覧を提言することを要請した。アーノルドの着想は[[ヒルベルトの23の問題]]から来ている。

== 問題の一覧 ==
{| class="wikitable sortable"
! # 
! width="40%"| 問題 !! ステータス
|-
|style="text-align: center"| 1
| [[リーマン予想]]（[[:en:Hilbert's eighth problem|ヒルベルトの第8問題]]も参照）
|
|-
|style="text-align: center"| 2
| [[ポアンカレ予想]]
|  [[グリゴリー・ペレルマン]]により証明済み
|-
|style="text-align: center"| 3
| [[P≠NP予想|P = NPか?]]
| 
|-
|style="text-align: center"| 4
| 1変数多項式の整数零点についてのτ予想
| 
|-
|style="text-align: center"| 5
| [[ディオファントス方程式|ディオファントス曲線]]の高さ境界
| 
|-
|style="text-align: center"| 6
| [[天体力学]]における相対平衡数の有限性
| 
|-
|style="text-align: center"| 7
| 2-球面上の点の分布
| 
|-
|style="text-align: center"| 8
| 経済学理論への力学の導入
| 
|-
|style="text-align: center"| 9
| [[線形計画問題]]
| 
|-
|style="text-align: center"| 10
| [[:en:Pugh's closing lemma|Pughの閉補題]]
| 
|-
|style="text-align: center"| 11
| 1次元力学系は一般に双曲型か?
| 
|-
|style="text-align: center"| 12
| [[:en:diffeomorphism|微分同相写像]]の中心化群
| C. Bonatti, S. CrovisierおよびA. WilkinsonによってC<sup>1</sup>トポロジーで解かれた<ref>{{cite journal
 |author=C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson
 |title= The C<sup>1</sup>-generic diffeomorphism has trivial centralizer
 |journal=Publications mathématiques de l'IHÉS
 |volume= 109 |year=2009 |pages=185–244}}</ref>。
|-
|style="text-align: center"| 13
| [[:en:Hilbert's sixteenth problem|ヒルベルトの第16問題]]
| 
|-
|style="text-align: center"| 14
| [[ローレンツアトラクター]]
| [[ウォリック・タッカー]]により[[区間演算]]を使って解かれた<ref>{{cite journal
 |author=Warwick Tucker
 |title=A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem
 |journal=Foundations of Computational Mathematics
 |volume=2 |issue=1 |year=2002 |pages=53–117
 |doi=10.1007/s002080010018
 |url=http://www.math.cornell.edu/~warwick/main/rodes/JFoCM.pdf}}</ref>。
|-
|style="text-align: center"| 15
| [[ナビエ-ストークス方程式]]
| 
|-
|style="text-align: center"| 16
| [[ヤコビアン予想]]（[[:en:Dixmier conjecture|Dixmier予想]]と等価）
| 
|-
|style="text-align: center"| 17
| [[多項式]]を、[[BPP (計算複雑性理論)|平均多項式時間]]で解くこと
| Carlos Beltrán AlvarezおよびLuis Miguel Pardoは、スメイルの第17問題に対する同じ形の（平均[[ラスベガス法]]）アルゴリズムを発見した<ref>{{cite journal
 |author=Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo
 |title= On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer
 |journal=Foundations of Computational Mathematics
 |volume=8 |issue=1 |year=2008 |pages=1–43
 |doi=10.1007/s10208-005-0211-0
 |url=http://personales.unican.es/beltranc/archivos/Smale17FoCM.pdf}}</ref> <ref>{{cite journal
 |author=Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo
 |title= Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions
 |journal=Journal of the American Mathematical Society
 |volume=22 |year=2009 |pages=363--385
 |url=http://personales.unican.es/beltranc/archivos/AffSmale17JAMS.pdf}}</ref>。スメイルの第17問題に対する決定論的アルゴリズムは未だ発見されていないが、部分的な解答はFelipe CuckerおよびPeter Bürgisserによって与えられている。彼らは、確率論的アルゴリズム ''à la Beltrán-Pardo'' の[[:en:smoothed analysis|平滑化解析]]を行い、次に <math>N^{O(\log\log N)}</math> の実行時間で動作する決定論的アルゴリズムを示した<ref>{{cite journal
 |author=Felipe Cucker, Peter Bürgisser
 |title= Solving Polynomial Equations in Smoothed Polynomial Time and a Near Solution to Smale's 17th Problem
 |journal=Proc. 42nd ACM Symposium on Theory of Computing
 |year=2010 |arxiv=0909.2114}}</ref>。
|-
|style="text-align: center"| 18
| [[知能]]（人間の知能と[[人工知能]]の双方について）の限界
| 
|}

== 関連項目 ==
* [[ミレニアム懸賞問題]]

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=SmalesProblems|title=Smale's Problems}}

{{デフォルトソート:すめいるのもんたい}}
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[[Category:数学に関する記事]]