スルツキー方程式のソースを表示

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'''スルツキー方程式''' （または'''スルツキー恒等式''', [[英語|英]]: Slutsky equation, Slutsky identity） とは、[[アルフレッド・マーシャル|マーシャル]]の非補償[[需要]]の変化を[[ジョン・ヒックス|ヒックス]]の[[補償需要]]の変化と関連付ける方程式のこと{{Efn2|[[効用]]水準を一定に維持するために補償しなければならない需要のことを補償需要と呼ぶ。}}<ref>{{cite|和書 |author=丸山雅祥 |title=経営の経済学 |edition=新 |publisher=有斐閣 |year=2011 |isbn=978-4-641-16376-8 |page=35}}</ref><ref name=":1">{{cite book |last=Nicholson |first=W. |year=2005 |title=Microeconomic Theory |edition=10th |location=Mason, Ohio |publisher=Thomson Higher Education }}</ref><ref name=":2">{{cite book |last=Varian |first=H. |year=1992 |title=Microeconomic Analysis |url=https://archive.org/details/microeconomicana00vari_0 |url-access=registration |edition=3rd |location=New York |publisher=W. W. Norton }}</ref>。[[エヴゲニー・スルツキー]]に由来する。

==概要==
財''j''の価格が微小単位だけ上昇したときの、財''i''へのマーシャルの非補償需要の変化を分解する式がスルツキー方程式である。
:<math>{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_j} = {\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j} - {\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w),\,</math>

ただし<math>h(\mathbf{p}, u)</math>はヒックスの補償需要で、<math>x(\mathbf{p}, w)</math>はマーシャルの非補償需要で<math>\mathbf{p}</math>は価格のベクトルで<math>w</math>は所得水準で、<math>u</math>は効用水準である。ここでの「効用水準」とは、[[効用最大化]]問題を解いて得られた[[間接効用関数]]を初期時点における価格と所得の下で評価<math>v(\mathbf{p}, w)</math>である。

この式の右辺は、「財''j''の価格が微小単位だけ上昇したときの、効用水準を''u''に固定した下での財''i''への需要（ヒックスの補償需要）の変化」から「『所得水準が微小単位だけ上昇したときの財''i''へのマーシャルの非補償需要の変化』×『財''j''へのマーシャルの非補償需要』」を引いたものである。最初の項は[[代替効果]]を表し、第2項は[[所得効果]]を表す<ref name=":1"/>。

==スルツキー方程式を用いた財の分類==
スルツキー方程式は、財の分類をする上で役に立つ。''j''を''i''に書き換えて右辺と左辺を入れ替えると以下のようになる。
:<math>{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_i} - {\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_i(\mathbf{p}, w),\ = {\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_i}</math>
この式を基に以下の場合分けができる。
{| class="wikitable"
|-
! 場合
! <math>{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j}</math>
! <math>{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)</math>
! <math>\left|{\partial h_i(\mathbf{p}, u) \over \partial p_j} \right|<\left|{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial w } x_j(\mathbf{p}, w)\right|</math>
! <math>{\partial x_i(\mathbf{p}, w) \over \partial p_j}</math>
|-
| ケース''A''
| 負
| 正（{{仮リンク|正常財|en|Normal good}}〈上級財〉）
| -
| 負（{{仮リンク|通常財|en|Ordinary good}}）
|-
| ケース''B''
| 負
| 負（{{仮リンク|劣等財|en|Inferior good}}〈下級財〉）
| No
| 負（{{仮リンク|通常財|en|Ordinary good}}）
|-
| ケース''C''
| 負
| 負（{{仮リンク|劣等財|en|Inferior good}}〈下級財〉）
| Yes
| 正（[[ギッフェン財]]）
|-
|}

ケース''A''では、所得効果が正で財''i''は{{仮リンク|正常財|en|Normal good}}（上級財）である。このとき、財''i''は必ず{{仮リンク|通常財|en|Ordinary good}}となる。つまり、財''i''の「[[需要の所得弾力性]]」が正のとき、財''i''の「[[需要の価格弾力性]]」は必ず負になる。ケース''B''では、所得効果が負で財''i''は{{仮リンク|劣等財|en|Inferior good}}（下級財）である。しかし、代替効果が所得効果を上回っており、財''i''の「需要の価格弾力性」は負となり、つまり通常財となる。ケース''C''では、負の所得効果が代替効果を上回っており、財''i''の「需要の価格弾力性」は正となり、つまり[[ギッフェン財]]となる。これにより、ギッフェン財は必ず劣等財である（「需要の価格弾力性」が正の財の「需要の所得弾力性」は必ず負である）ことがわかる{{Efn2|ある財の価格が上昇すると、予算制約がきつくなり実質的な所得が減少する。このとき、劣等財であればその財への需要が減少するように作用する。この所得を通じた効果（所得効果）が代替効果を上回るほど大きいとき、「需要の価格弾力性」が負になる（つまりギッフェン財になる）。}}。

==直感的説明==
スルツキー方程式は[[代替効果]]と[[所得効果]]の2つの項からなる。代替効果は財の相対価格の変化の効果によるもので、所得効果は所得が上昇することによる効果である。

価格の上昇による代替効果は、消費者の選択範囲を狭め効用水準を低下させる。価格が上昇すると、[[予算制約]]式が内側にシフトし、需要が減少する。反対に、価格が低下すると予算制約式が外側にシフトし、需要が増加する。
*代替効果：財の相対価格が変化することによる効果。一般的には、相対的に安くなった財への支出が増加し、 相対的に高くなった財への支出が減少する。
*所得効果：財が[[正常財]]（上級財）であれば、所得が増加することでその財への需要が増加する。財が[[劣等財]]（下級財）であれば、所得が増加することでその財への需要が減少する。

効用水準は実証的に観測できないため、代替効果は直接測定することができない。しかし、他の2つの項が計測可能であるため、それらを用いて効用水準を間接的に計測できる。このプロセスは、需要変化のヒックス分解とも呼ばれる<ref name=":2"/>。

==別の表現==
スルツキー方程式は以下のように弾力性を用いて書き直すことができる。
:<math>\epsilon_{p, ij}=\epsilon_{p,ij}^h-\epsilon_{w,i}b_j</math>

ただし'''ε<sub>p</sub>'''はマーシャルの非補償需要の、'''ε<sub>p</sub><sup>h</sup>'''はヒックスの補償需要の価格弾力性、'''ε<sub>w,i</sub>'''は、財''i''の需要の所得弾力性、'''b<sub>j</sub>'''は財''j''への支出額の総支出（予算）における割合である。

この式が意味することは、需要の総変化は所得効果と代替効果で構成され、両方の効果を合わせた需要の変化に等しいということである。つまり、以下のように書ける。
:<math>   \Delta x_1 = \Delta x_1^{s} +\Delta x_1^{l} </math> 

==脚注==
===注釈===
{{Notelist2}}

===出典===
{{Reflist|2}}

{{ミクロ経済学}}

{{economy-stub}}
{{DEFAULTSORT:するつきいふんかい}}
[[Category:ミクロ経済学]]
[[Category:経済学のエポニム]]