スレーター積分のソースを表示

'''スレーター積分'''（{{lang-en-short|Slater integral}}）とは数学または[[数理物理学]]において用いられる、三つの[[球面調和関数]]積の積分である。三次元の回転変換した単位球面上の関数の[[正規直交基底]]関数を用いるときに現れる積分である。このような積分は球対称性をもつ原子の物性計算を行うときによく用いられる。数学的ないくつかの性質により、これらの積分は下記のように定義される。

==定義==
原子構造の[[量子論]]とこの積分の関係について[[ジョン・クラーク・スレイター]]は3つの球面調和関数の積の積分を係数ｃとして定義した。<ref>John C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I</ref>この係数はウィグナーの[[3j記号|3jm記号]]

:<math>c^k(\ell,m,\ell',m')=\int d^2\Omega \ Y_\ell^m(\Omega)^* Y_{\ell'}^{m'}(\Omega) Y_k^{m-m'}(\Omega)</math>

この積分は[[クーロン演算子]]と[[交換演算子]]が必要となる、原子の[[ハートリー-フォック方程式]]の計算に必要である。

二つの球面調和関数の積はこの積分によって書くことができる。

:<math>
Y_\ell^m Y_{\ell'}^{m'} = \sum_{\ell''} \hat{A}^{\ell''}(\ell,m,\ell',m',) Y_{\ell''}^{m+m'},
</math>

:<math>
\int Y_\ell^m Y_{\ell'}^{m'} Y_{L}^{-M} d^2\Omega = (-1)^{m+m'}\hat{A}^{L}(\ell,m,\ell',m') = (-1)^{m}c^L(\ell,-m,\ell',m').
</math>

:<math>
Y_\ell^m Y_{\ell'}^{m'} = \sum_{\ell''}(-1)^{m'} c^{\ell''}(\ell,-m,\ell',m',) Y_{\ell''}^{m+m'},
</math>

==恒等式==
この積分は次のような[恒等式]をもつ

::<math>
\begin{align}
c^k(\ell,m,\ell',m') &= c^k(\ell,-m,\ell',-m')\\
&=(-1)^{m-m'}c^k(\ell',m',\ell,m)\\
&=(-1)^{m-m'}\sqrt{\frac{2\ell+1}{2k+1}}c^\ell(\ell',m',k,m'-m)\\
& = (-1)^{m'}\sqrt{\frac{2\ell'+1}{2k+1}}c^{\ell'}(k,m-m',\ell,m).\\
\sum_{m=-\ell}^{\ell} c^k(\ell,m,\ell,m)  &=  (2\ell+1)\delta_{k,0}.\\
\sum_{m=-\ell}^\ell \sum_{m'=-\ell'}^{\ell'} c^k(\ell,m,\ell',m')^2  &=  \sqrt{(2\ell+1)(2\ell'+1)}\cdot c^k(\ell,0,\ell',0).\\
\sum_{m=-\ell}^\ell c^k(\ell,m,\ell',m')^2 & =  \sqrt{\frac{2\ell+1}{2\ell'+1}}\cdot c^k(\ell,0,\ell',0).\\
\sum_{m=-\ell}^\ell c^k(\ell,m,\ell',m')c^k(\ell,m,\tilde\ell,m')  &=  \delta_{\ell',\tilde\ell}\cdot\sqrt{\frac{2\ell+1}{2\ell'+1}}\cdot c^k(\ell,0,\ell',0).\\
\sum_m c^k(\ell,m+r,\ell',m) c^k(\ell,m+r,\tilde\ell,m)  &=  \delta_{\ell,\tilde\ell} \cdot \frac{\sqrt{(2\ell+1)(2\ell'+1)}}{2k+1}\cdot c^k(\ell,0,\ell',0).\\
\sum_m c^k(\ell,m+r,\ell',m)c^q(\ell,m+r,\ell',m)  &= \delta_{k,q}\cdot\frac{\sqrt{(2\ell+1)(2\ell'+1)}}{2k+1}\cdot c^k(\ell,0,\ell',0).
\end{align}
</math>

==配位子場理論におけるスレーター積分==
[[配位子場理論]]において、次の値をスレーター積分 (またはスレーター-コンドンのパラメータ) という。<ref>{{Cite book|和書|author1=上村洸|authorlink1=上村洸|author2=菅野暁|authorlink2=菅野暁|author3=田辺行人|authorlink3=田辺行人|year=1969|title=配位子場理論とその応用|publisher=[[裳華房]]|id=ISBN 978-4-7853-2404-9}}
</ref>

:<math>F^k(d,d)=\int^{\infty}_{0} r_1^2 dr_1 \int^{\infty}_{0} r_2^2 dr_2 R_{32}^2(r_1) R_{32}^2(r_2) \frac{r_<^k}{r_>^{k+1}}</math>
ここで<math>R_{nl}(r)</math>は[[波動関数]]の動径部分である。

また次の<math>F_k</math>もスレーター積分という。'''コンドン-ショートレーパラメータ'''とも呼ばれる。
:<math>F_0=F^0</math>
:<math>F_2=\frac{1}{49}F^2</math>
:<math>F_4=\frac{1}{441}F^4</math>

[[ラカー]](Racah)は原子スペクトルの理論で次の[[ラカーパラメーター]]''A''、''B''、''C''を導入した。
:<math>A=F_0 -49 F_4</math>
:<math>B=F_2 -5 F_4</math>
:<math>C=35F_4</math>

== 参考文献 ==
<references/>


{{デフォルトソート:すれえたあせきふん}}
[[Category:原子物理学]]
[[Category:量子化学]]
[[Category:対称性]]
[[Category:回転対称性]]
[[Category:人名を冠した数式]]