スーパー楕円のソースを表示

{{Expand English|date=2025-03-06}}
[[ファイル:Superellipse.svg|サムネイル|300x300ピクセル|スーパー楕円の例 <math>a=1, \ b=0.75</math>]]
'''スーパー楕円'''（スーパーだえん、{{Lang-en-short|Superellipse}}）は[[楕円]]に類似した閉曲線である。[[ガブリエル・ラメ]]に因んで'''ラメ曲線'''（{{Lang-en-short|Lamé curve}}、{{Lang-fr-short|Courbe de Lamé}}）とも称される{{Sfn|Barr|1983}}<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Lame Curves" , [[マックチューター数学史アーカイブ|MacTutor History of Mathematics archive]]</ref>。この曲線は長軸、短軸およびそれらについての対称性という点で楕円と同様の幾何学的特徴を持つが、全体の形状は異なる。

[[直交座標系]]では、次の式を満たすすべての点 (''x, y'') の集合である

: <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1,</math>

ここで、''n''、''a、b''は正の数であり、{{abs|&nbsp;}}は[[絶対値]]を示す。

[[媒介変数]] <math>t \in [0, 2\pi)</math> で表示すると
:<math>\begin{align}
  x &= a \operatorname{sgn}(\cos t) |\cos t|^{2/n} \\
  y &= b \operatorname{sgn}(\sin t) |\sin t|^{2/n} \\
\end{align}</math>
となる。sgn は[[符号関数]]である。
== 数学的性質 ==
=== 垂足曲線 ===
スーパー楕円の[[垂足曲線]]は直接的な計算で求めることができる<ref>{{Cite book |title=An Elementary Treatise On The Differential Calculus  Ed. 2nd |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607 |date=1892 |first=joseph |last=Edwards|page=169}}</ref>。
<math display="block">\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1,</math>
の垂足曲線は[[極座標系|極方程式]]で次のように表される。
<math display="block">(a \cos \theta)^{\tfrac{n}{n-1}}+(b \sin \theta)^{\tfrac{n}{n-1}}=r^{\tfrac{n}{n-1}}.</math> {{clear}}
== 関連項目 ==
* [[アステロイド (曲線)]]
* [[デルトイド]]
* [[ルーローの三角形]]
* [[Lp空間]]

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 参考文献 ==
* {{Citation|洋書|last=Barr|first1=Alan H.|title=Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa|year=1983|publisher=Rensselaer Polytechnic Institute|ref= harv}} (Ph.D. dissertation using superellipsoids)
* {{Citation|洋書|last=Barr|first1=Alan H.|contribution=Rigid Physically Based Superquadrics|title=Graphics Gems III|year=1992|editor-last=Kirk|editor-first=David|publisher=Academic Press|isbn=978-0-12-409672-1|pages=137–159 ([http://www.graphicsgems.org/gemsiii/sqfinal.c code]: 472–477)}}
* {{Citation|洋書|last=Gielis|first1=Johan|title=Inventing the Circle: The Geometry of Nature|year=2003|place=Antwerp|publisher=Geniaal Press|isbn=978-90-807756-1-9}}

== 外部リンク ==

* {{SpringerEOM|title=Lamé curve|id=Lam%C3%A9_curve&oldid=11566|last=Sokolov|first=D.D.}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/lame/lame.shtml "Lamé Curve"] at MathCurve.
* {{MathWorld|title=Superellipse}}
* {{MacTutor|id=Lame|title=Lame Curves}}
* [http://www.2dcurves.com/power/powerse.html "Super Ellipse"] on 2dcurves.com
* [http://www.procato.com/superellipse/ Superellipse Calculator & Template Generator]
* [http://users.cs.cf.ac.uk/Paul.Rosin/fitting.html C code for fitting superellipses]

{{デフォルトソート:すうはあたえん}}
[[Category:閉曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]