セルバーグクラスのソースを表示

{{要改訳}}
数学における'''セルバーグクラス'''（Selberg class）とは、[[L-函数]]のクラスの[[公理]]的定義である。セルバーグクラスの元は、[[ディリクレ級数]]であり、L-函数、あるいは[[ゼータ函数]]と共通に呼ばれる函数によって満たされる 4つの公理に従う。この 4つの公理は、これらの函数の本質的な性質を捉えていると思われる。このクラスの完全な性質は未だ予想にすぎないが、定義は[[保型形式]]や[[リーマン予想]]との関係に対して見方を与え、これらの分類と性質の説明を与えるのではないかと期待されている。このクラスは、[[アトル・セルバーグ]] (Atle Selberg) により {{harv|Selberg|1992}} で定義された。
<!--In [[mathematics]], the '''Selberg class''' is an [[axiom]]atic definition of a class of [[L-function|''L''-function]]s.  The members of the class are [[Dirichlet series]] which obey four axioms that seem to capture the essential properties satisfied by most functions that are commonly called ''L''-functions or [[zeta function]]s.  Although the exact nature of the class is conjectural, the hope is that the definition of the class will lead to a classification of its contents and an elucidation of its properties, including insight into their relationship to [[automorphic form]]s and the [[Riemann hypothesis]].  The class was defined by [[Atle Selberg]] in {{harv|Selberg|1992}}.-->

==定義==
セルバーグクラス S の定義は、 Re(s)&nbsp;&gt;&nbsp;1 で絶対収束する[[ディリクレ級数]]
:<math>F(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</math>
で、次の 4 つの公理を満たすもの全てと定義する。

{{番号付きリスト
| [[解析函数|解析性]]: 函数 (s &minus; 1)<sup>m</sup>F(s) は、ある非負な整数 m があり、有限の[[:en:order of an entire function|オーダー]]<!--現在、日本語版の「整函数」には、orderの説明はない-->の[[整函数]]である。
| [[ラマヌジャン予想]]: 任意の ε&nbsp;>&nbsp;0; に対し、<math>a_1 = 1</math> であり、<math>a_n \ll_\epsilon n^\epsilon</math> である。
| [[函数等式]]: 次の形のガンマ要素が存在する。
:<math>\gamma(s)=e^{i\phi}Q^s
\prod_{i=1}^k \Gamma (\omega_is+\mu_i)</math>
ここに、<math>\phi</math> は実数であり、Q は実数で正、Γ は[[ガンマ函数]]、&omega;<sub>1</sub> は実数で正、&mu;<sub>i</sub> は非負な実部を持つ複素数で、函数
:<math>\Phi(s) = \gamma(s) F(s)\,</math>
は、
:<math>\Phi(s)=\overline{\Phi(1-\overline{s})};</math>
を満たす。
| [[オイラー積]]: F(s) は、次のように素数を渡る積として書くことができる。
:<math>F(s)=\prod_p F_p(s)\text{ for Re}(s)>1\,</math>
ここに、
:<math>\log F_p(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{b_{p^n}}{p^{ns}}</math>
であり、ある θ &lt; 1/2 が存在して、
:<math>b_{p^n}=O(p^{n\theta})</math>
である。
}}
<!--==Definition==
The formal definition of the class ''S'' is the set of all [[Dirichlet series]]

:<math>F(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}</math>

absolutely convergent for Re(''s'')&nbsp;&gt;&nbsp;1 that satisfy four axioms:

{{ol
| [[analytic function|Analyticity]]: the function (''s'' &minus; 1)<sup>''m''</sup>''F''(''s'') is an [[entire function]] of finite [[order of an entire function|order]] for some non-negative integer ''m'';

| [[Ramanujan conjecture]]: ''a''<sub>1</sub> = 1 and <math>a_n \ll_\epsilon n^\epsilon</math> for any ε&nbsp;&gt;&nbsp;0;

| [[Functional equation (L-function)|Functional equation]]: there is a gamma factor of the form

:<math>\gamma(s)=e^{i\phi}Q^s
\prod_{i=1}^k \Gamma (\omega_is+\mu_i)</math>
where φ is real, ''Q'' real and positive, Γ is the [[gamma function]], the &omega;<sub>1</sub> real and positive, and the &mu;<sub>''i''</sub> complex with non-negative real part, so that the function

:<math>\Phi(s) = \gamma(s) F(s)\,</math>

satisfies

:<math>\Phi(s)=\overline{\Phi(1-\overline{s})};</math>

| [[Euler product]]: ''F''(''s'') can be written as a product over primes:

:<math>F(s)=\prod_p F_p(s)\text{ for Re}(s)>1\,</math>

with

:<math>\log F_p(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{b_{p^n}}{p^{ns}}</math>

and, for some θ &lt; 1/2,

:<math>b_{p^n}=O(p^{n\theta}).\,</math>
}}-->

===定義へのコメント===

&mu;<sub>i</sub> が負のとき、[[リーマン予想]]を満たさないような L-函数が知られているので、条件として &mu;<sub>i</sub> の実部が非負であることを加えている。特に、例外固有値に関連付いている[[マース形式|マースカスプ形式]](Maass cusp form)は、[[ラマヌジャン・ピーターソン予想]]が成り立ち、函数等式を持つが、リーマン予想を満たさない。

&theta; &lt; 1/2 という条件は重要である。&theta; = 1/2 の場合は、{{仮リンク|ディリクレのエータ函数|en|Dirichlet eta function}}(Dirichlet eta-function)があるが、リーマン予想が成立しない。<ref>{{harvnb|Conrey|Ghosh|1993|loc=§1}}</ref>

条件 4 は、a<sub>n</sub> が[[乗法的関数|乗法的]]であることを言っていて、
:<math>F_p(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{p^n}}{p^{ns}}\text{ for Re}(s)>0</math>
が成り立つ。
<!---===Comments on definition===

The condition that the real part of &mu;<sub>''i''</sub> be non-negative is because there are known ''L''-functions that do not satisfy the [[Riemann hypothesis]] when &mu;<sub>''i''</sub> is negative. Specifically, there are [[Maass cusp form]]s associated with exceptional eigenvalues, for which the [[Ramanujan–Peterssen conjecture]] holds, and have a functional equation, but do not satisfy the Riemann hypothesis.

The condition that &theta; &lt; 1/2 is important, as the &theta; = 1/2 case includes the [[Dirichlet eta function|Dirichlet eta-function]], which violates the Riemann hypothesis.<ref>{{harvnb|Conrey|Ghosh|1993|loc=§1}}</ref>

It is a consequence of 4. that the ''a<sub>n</sub>'' are [[multiplicative function|multiplicative]] and that
:<math>F_p(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_{p^n}}{p^{ns}}\text{ for Re}(s)>0.</math>-->

===例===
S の元の典型例は、[[リーマンゼータ函数]]である<ref>{{cite book | title=In Search of the Riemann Zeros: Strings, Fractal Membranes and Noncommutative Spacetimes | first=Michel Laurent | last=Lapidus | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2008 | isbn=0821842226 | zbl=1150.11003 | page=389 }}</ref>。他の例は、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数#モジュラー判別式|モジュラ判別式]]が Δ である L-函数
:<math>L(s,\Delta)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}</math>
である。ここに <math>a_n=\tau(n)/n^{11/2}</math> とし、τ(n) は[[ラマヌジャンのタウ函数]]とする<ref>{{harvnb|Murty|2008}}</ref>。加えて、F が S の元で、χ が[[ディリクレ指標|原始ディリクレ指標]]であれば、
:<math>F^\chi(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)a_n}{n^s}</math>
で定義される F<sup>χ</sup> も S の元である。

全ての知られている例は、[[保型形式のL-函数]](automorphic L-function)であり、F<sub>p</sub>(s) の相反性(reciprocals)は有界な次数 p<sup>&minus;s</sup> の多項式である<ref>{{harvnb|Murty|1994}}</ref>。
<!---===Examples===
The prototypical example of an element in ''S'' is the [[Riemann zeta function]].<ref>{{cite book | title=In Search of the Riemann Zeros: Strings, Fractal Membranes and Noncommutative Spacetimes | first=Michel Laurent | last=Lapidus | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2008 | isbn=0821842226 | zbl=1150.11003 | page=389 }}</ref>  Another example, is the ''L''-function of the [[modular discriminant]] Δ
:<math>L(s,\Delta)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}</math>
where <math>a_n=\tau(n)/n^{11/2}</math> and τ(''n'') is the [[Ramanujan tau function]].<ref>{{harvnb|Murty|2008}}</ref> Additionally, if ''F'' is in ''S'' and χ is a [[primitive Dirichlet character]], then ''F''<sup>χ</sup> defined by
:<math>F^\chi(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\chi(n)a_n}{n^s}</math>
is also in ''S''.

All known examples are [[automorphic L-function|automorphic ''L''-function]]s, and the reciprocals of ''F<sub>p</sub>''(''s'') are polynomials in ''p''<sup>&minus;''s''</sup> of bounded degree.<ref>{{harvnb|Murty|1994}}</ref>-->

==基本的性質==
リーマンゼータ函数がそうであるように、S の元 F はガンマ要素 γ(s) の極から発生する'''自明なゼロ点'''を持つ。他のゼロ点は F の'''非自明なゼロ点'''と呼ばれる。これらは全て、ある帯状領域 {{nowrap|1 &minus; A ≤ Re(s) ≤ A}} に位置する。F の非自明なゼロ点で {{nowrap|0 ≤ Im(s) ≤ T}} にあるものの数を N<sub>F</sub>(T) で表すとする<ref>境界上にあるゼロ点は半分の重複度を数えるとする。</ref>。セルバーグは
:<math>N_F(T)=d_F\frac{T\log(T+C)}{2\pi}+O(\log T).</math>
であることを示した。ここに d<sub>F</sub> は F の'''次数'''（あるいは'''次元'''）と呼ばれる。これは、
:<math>d_F=2\sum_{i=1}^k\omega_i</math>
によりあたえられる<ref>ω<sub>i</sub> は、F により一意に定義されるとは限らないが、セルバーグの結果は、この和がwell-definedであることを示している。</ref>。F&nbsp;=&nbsp;1 は、その次数が 1 より小さな 唯一のS の函数である。
<!---==Basic properties==
As with the Riemann zeta function, an element ''F'' of ''S'' has '''trivial zeroes''' that arise from the poles of the gamma factor γ(''s''). The other zeroes are referred to as the '''non-trivial zeroes''' of ''F''. These will all be located in some strip {{nowrap|1 &minus; ''A'' ≤ Re(''s'') ≤ ''A''}}. Denoting the number of non-trivial zeroes of ''F'' with {{nowrap|0 ≤ Im(''s'') ≤ ''T''}} by ''N<sub>F</sub>''(''T''),<ref>The zeroes on the boundary are counted with half-multiplicity.</ref> Selberg showed that
:<math>N_F(T)=d_F\frac{T\log(T+C)}{2\pi}+O(\log T).</math>
Here, ''d<sub>F</sub>'' is called the '''degree''' (or '''dimension''') of ''F''. It is given by<ref>While the ω<sub>''i''</sub> are not uniquely defined by ''F'', Selberg's result shows that their sum is well-defined.</ref>
:<math>d_F=2\sum_{i=1}^k\omega_i.</math> It can be shown that ''F''&nbsp;=&nbsp;1 is the only function in ''S'' whose degree is less than 1.-->

F と G がセルバーグクラスであれば、それらの積はセルバーグクラスであり
:<math>d_{FG}=d_F+d_G.</math>

が成り立つ。S の函数 {{nowrap|F ≠ 1}} は、F<sub>i</sub> が S に属すような F&nbsp;=&nbsp;F<sub>1</sub>F<sub>2</sub> と記述できるならいつでも F&nbsp;=&nbsp;F<sub>1</sub> もしくは、F&nbsp;=&nbsp;F<sub>2</sub> であるとき、函数が''原始的'''であるという。d<sub>F</sub>&nbsp;=&nbsp;1 ならば、F は原始的である。すべての S の函数 {{nowrap|''F'' ≠ 1}} は原始的な函数で記述できるである。次に示すセルバーグの予想は、原始函数への分解が一意的であることを意味する。

原始的函数の例として、リーマンゼータ函数や原始的なディリクレ指標を持つ[[ディリクレのL-函数]]がある。下記の予想 1 と 2 を前提とすると、ラマヌジャン予想を満たす[[既約表現|既約な]][[尖点表現|カスプ的な]][[保型形式|保型表現]]のL-函数は、原始的である<ref>{{harvnb|Murty|1994|loc=Lemma 4.2}}</ref>。
<!---If ''F'' and ''G'' are in the Selberg class, then so is their product and
:<math>d_{FG}=d_F+d_G.</math>
A function {{nowrap|''F'' ≠ 1}} in ''S'' is called '''primitive''' if whenever it is written as ''F''&nbsp;=&nbsp;''F''<sub>1</sub>''F''<sub>2</sub>, with ''F<sub>i</sub>'' in ''S'', then ''F''&nbsp;=&nbsp;''F''<sub>1</sub> or ''F''&nbsp;=&nbsp;''F''<sub>2</sub>. If ''d<sub>F</sub>''&nbsp;=&nbsp;1, then ''F'' is primitive. Every function {{nowrap|''F'' ≠ 1}} of ''S'' can be written as a product of primitive functions. Selberg's conjectures, described below, imply that the factorization into primitive functions is unique.

Examples of primitive functions include the Riemann zeta function and [[Dirichlet L-function|Dirichlet ''L''-functions]] of primitive Dirichlet characters. Assuming conjectures 1 and 2 below, ''L''-functions of [[irreducible representation|irreducible]] [[cuspidal representation|cuspidal]] [[automorphic representation]]s that satisfy the Ramanujan conjecture are primitive.<ref>{{harvnb|Murty|1994|loc=Lemma 4.2}}</ref>-->

==セルバーグの予想==

{{harv|Selberg|1992}}でセルバーグは、S の函数に関連する予想を提出した。
*予想 1: S の全ての F に対し、整数 n<sub>F</sub> が存在し、
::<math>\sum_{p\leq x}\frac{|a_p|^2}{p}=n_F\log\log x+O(1)</math>
:となり、F が原始的であれば、いつも n<sub>F</sub>&nbsp;=&nbsp;1 であろう。
*予想 2: 異なる原始的な F,&nbsp;F′&nbsp;∈&nbsp;S に対し
::<math>\sum_{p\leq x}\frac{a_pa_p^\prime}{p}=O(1)</math>
:となるであろう。
*予想 3: もし、
::<math>F=\prod_{i=1}^mF_i</math>
:が原始的な函数へと分解し、χ が原始的ディリクレ指標であれば、
::<math>F^\chi=\prod_{i=1}^mF_i^\chi</math>
:となり、F<sub>i</sub><sup>χ</sup> は原始的であろう。
*S に対するリーマン予想: S の全ての元 F に対し、F の非自明なゼロ点は全て直線 Re(s)&nbsp;=&nbsp;1/2 の上にあるであろう。
<!---==Selberg's conjectures==

In {{harv|Selberg|1992}}, Selberg made conjectures concerning the functions in ''S'':
*Conjecture 1: For all ''F'' in ''S'', there is an integer ''n<sub>F</sub>'' such that
::<math>\sum_{p\leq x}\frac{|a_p|^2}{p}=n_F\log\log x+O(1)</math>
:and ''n<sub>F</sub>''&nbsp;=&nbsp;1 whenever ''F'' is primitive.
*Conjecture 2: For distinct primitive ''F'',&nbsp;''F''′&nbsp;∈&nbsp;''S'',
::<math>\sum_{p\leq x}\frac{a_pa_p^\prime}{p}=O(1).</math>
*Conjecture 3: If
::<math>F=\prod_{i=1}^mF_i</math>
:is a factorization of ''F'' into primitive functions and χ is a primitive Dirichlet character, then
::<math>F^\chi=\prod_{i=1}^mF_i^\chi</math>
:and the ''F<sub>i</sub>''<sup>χ</sup> are primitive.
*Riemann hypothesis for ''S'': For all ''F'' in ''S'', the non-trivial zeroes of ''F'' all lie on the line Re(''s'')&nbsp;=&nbsp;1/2.-->

===予想の結果===

予想 1 と 2 は、F が s&nbsp;=&nbsp;1 で位数 m の極を持つと、F(s)/ζ(s)<sup>m</sup> は整函数であることを示唆している。特にこの結果は、デデキント予想<ref>デデキントの卓越した予想を立てた．<math>\mathbb{Q}</math> の任意の代数拡大
<math>F</math> に対し、ゼータ函数 <math>\zeta_F (s)</math> はリーマンのゼータ函数 <math>\zeta (s)</math> で割ることができる。つまり、商 <math>\zeta_F (s)/\zeta(s)</math> は整函数となる。さらに一般的に、デデキント予想は、<math>K</math> が <math>F</math> の有限拡大であれば、<math>\zeta_K (s)/\zeta_F(s)</math> は整函数になるであろうという予想である。この予想は未だ解決されていない。</ref>を含んでいる。

{{仮リンク|ラム・ムーティ|en|M. Ram Murty}}(M. Ram Murty)は {{harv|Murty|1994}} で、予想 1 と 2 は[[アルティンのL-函数|アルティン予想]](Artin conjecture)を含むことを示した。実際、ムーティは、有理数の[[アーベル拡大|可解拡大]](solvable extension)の[[ガロア群]]に対応する[[アルティンのL-函数]]が、[[ラングランズ予想]]により予想されるように、[[保型形式|保型表現]]であることを示した<ref>{{harvnb|Murty|1994|loc=Theorem 4.3}}</ref>。

S の函数は、[[素数定理]]の類似をも満たす。F(s) は直線 Re(s)&nbsp;=&nbsp;1 上のゼロ点を持たない。上記のように、予想 1 と 2 は S の中の函数の原始的な函数への一意的な分解を意味する。他の結果としては、F が原始的であれば、n<sub>F</sub>&nbsp;=&nbsp;1 と同値である<ref>{{harvnb|Conrey|Ghosh|1993|loc=§ 4}}</ref>。
<!---===Consequences of the conjectures===

Conjectures 1 and 2 imply that if ''F'' has a pole of order ''m'' at ''s''&nbsp;=&nbsp;1, then ''F''(''s'')/ζ(''s'')<sup>''m''</sup> is entire. In particular, they imply Dedekind's conjecture<ref>A celebrated conjecture of Dedekind asserts that for any ﬁnite algebraic extension
<math>F</math> of <math>\mathbb{Q}</math>, the zeta function <math>\zeta_F (s)</math> is divisible by the Riemann zeta function <math>\zeta (s)</math>. That
is, the quotient <math>\zeta_F (s)/\zeta(s)</math> is entire. More generally, Dedekind conjectures that if
<math>K</math> is a ﬁnite extension of <math>F</math>, then <math>\zeta_K (s)/\zeta_F(s)</math> should be entire. This conjecture is
still open.</ref>.

[[M. Ram Murty]] showed in {{harv|Murty|1994}} that conjectures 1 and 2 imply the [[Artin conjecture (L-functions)|Artin conjecture]]. In fact, Murty showed that [[Artin L-function|Artin ''L''-functions]] corresponding to irreducible representations of the [[Galois group]] of a [[solvable extension]] of the rationals are [[automorphic representation|automorphic]] as predicted by the [[Langlands conjectures]].<ref>{{harvnb|Murty|1994|loc=Theorem 4.3}}</ref>

The functions in ''S'' also satisfy an analogue of the [[prime number theorem]]: ''F''(''s'') has no zeroes on the line Re(''s'')&nbsp;=&nbsp;1. As mentioned above, conjectures 1 and 2 imply the unique factorization of functions in ''S'' into primitive functions. Another consequence is that the primitivity of ''F'' is equivalent to ''n<sub>F</sub>''&nbsp;=&nbsp;1.<ref>{{harvnb|Conrey|Ghosh|1993|loc=§ 4}}</ref>-->

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{Citation |last=Selberg |first=Atle |title=Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989) |publisher=Univ. Salerno |location=Salerno |mr=1220477 |zbl=0787.11037 |year=1992 |chapter=Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series |pages=367–385 }} Reprinted in Collected Papers, vol '''2''', Springer-Verlag, Berlin (1991)
*{{Citation |last=Conrey |first=J. Brian |author-link=:en:Brian Conrey |last2=Ghosh |first2=Amit |title=On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees |year=1993 |journal=Duke Mathematical Journal |volume=72 |number=3 |pages=673–693 |arxiv=math.NT/9204217 |mr=1253620 |zbl=0796.11037 }}
*{{Citation |last=Murty |first=M. Ram |author-link=M. Ram Murty |title=Selberg's conjectures and Artin ''L''-functions |year=1994 |publisher=American Mathematical Society |journal=Bulletin of the American Mathematical Society, New Series |volume=31 |number=1 |pages=1–14 |mr=1242382 |arxiv=math/9407219 |zbl=0805.11062 }}
*{{Citation |last=Murty |first=M. Ram |author-link=M. Ram Murty |title=Problems in analytic number theory |year=2008 |edition=Second |publisher=[[:en:Springer-Verlag|Springer-Verlag]] |series=[[Graduate Texts in Mathematics]], Readings in Mathematics |volume=206 |mr=2376618 |zbl=1190.11001 |isbn=978-0-387-72349-5 |doi=10.1007/978-0-387-72350-1 |at=Chapter 8 }}
*{{citation |last=Ivić |first=Aleksandar |title=The theory of Hardy's ''Z''-function |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=196 |location=Cambridge |publisher=[[:en:Cambridge University Press|Cambridge University Press]] |year=2013 |isbn=978-1-107-02883-8 |zbl=pre06093527 }}

==関連項目==
* [[ゼータ函数]]（日本語版のゼータ函数のリスト）
* [[:en:List of zeta functions|英語版のゼータ函数のリスト]]

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[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数学に関する記事]]