セルバーグ積分のソースを表示

数学において、'''セルバーグ積分'''（{{lang-en-short|Selberg integral}}）は、オイラーの[[ベータ関数]]の ''n'' 次元への一般化であり、{{harvs|txt|authorlink=アトル・セルバーグ|first=Atle|last= Selberg|year=1944}} により導入された。

==セルバーグの積分公式==
:<math> \begin{align}
S_{n} (\alpha, \beta, \gamma) & =
\int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1}
\prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n \\

 & = \prod_{j = 0}^{n-1} 
\frac {\Gamma(\alpha + j \gamma) \Gamma(\beta + j \gamma) \Gamma (1 + (j+1)\gamma)} 
{\Gamma(\alpha + \beta + (n+j-1)\gamma) \Gamma(1+\gamma)}
\end{align}
</math>

セルバーグの公式は、well poised hypergeometric series に対する{{仮リンク|ディクソンの等式|en|Dixon's identity}}を含んでおり、また{{仮リンク|ダイソンの予想|en|Dyson's conjecture}}の特別な場合をいくつか含んでいる。

==青本の積分公式==
{{harvtxt|Aomoto|1987}} は少しだけ一般的な次の積分公式を証明した。
:<math>
\int_0^1 \cdots \int_0^1 \left(\prod_{i=1}^k t_i\right)\prod_{i=1}^n t_i^{\alpha-1}(1-t_i)^{\beta-1}
\prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n 
</math>
:<math>=
S_n(\alpha,\beta,\gamma) \prod_{j=1}^k\frac{\alpha+(n-j)\gamma}{\alpha+\beta+(2n-j-1)\gamma}.
</math>

==メータの積分==
メータ (Mehta) の積分は、
:<math>
\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \prod_{i=1}^n e^{-t_i^2/2}
\prod_{1 \le i < j \le n} |t_i - t_j |^{2 \gamma}\,dt_1 \cdots dt_n
</math>
である。これは直線上を動く原点に引き寄せられる点電荷の気体の分配函数である {{harv|Mehta|2004}}。その値はセルバーグ積分の値から導手することができ、
:<math>\prod_{j=1}^n\frac{\Gamma(1+j\gamma)}{\Gamma(1+\gamma)}</math>
となる。これは {{harvtxt|Mehta|Dyson|1963}} により予想された。彼らはセルバーグのより早期の仕事について知らなかった。

==マクドナルドの積分==
{{harvtxt|Macdonald|1982}} はメータの積分のすべての有限ルート系への次のような拡張を予想した。（メータのもともとの場合は ''A''<sub>''n''&minus;1</sub> というルート系に対応する。）
:<math>\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\cdots\int \left|\prod_r\frac{2(x,r)}{(r,r)}\right|^{\gamma}e^{-(x_1^2+\cdots+x_n^2)/2}dx_1\cdots dx_n 
=\prod_{j=1}^n\frac{\Gamma(1+d_j\gamma)}{\Gamma(1+\gamma)}.</math>
積はルート系のルート ''r'' 全体を渡り、数 ''d''<sub>''j''</sub> は鏡映群の不変式環の生成元の次数である。{{harvtxt|Opdam|1989}} はすべての結晶鏡映群に対する統一的な証明を与えた。数年後彼は、Garvan によるコンピュータによる計算支援を利用して、完全な一般性を以ってそれを証明した ({{harvtxt|Opdam|1993}})。

==参考文献==
*{{Citation | author1-link = George Andrews (mathematician) | author2-link = Richard Askey | last1=Andrews | first1=George E. | last2=Askey | first2=Richard | last3=Roy | first3=Ranjan | title=Special functions | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | isbn=978-0-521-62321-6 | mr=1688958 | year=1999 | volume=71}} (Chapter 8)
*{{citation
   |last1=Aomoto
   |first1=K
   |title=On the complex Selberg integral
   |journal=The Quarterly Journal of Mathematics
   |year=1987
   |volume=38 | issue = 4
   |pages=385–399
   |doi=10.1093/qmath/38.4.385}}  
*{{citation|url=http://www.ams.org/bull/2008-45-04/S0273-0979-08-01221-4/home.html 	   	
|title=The importance of the Selberg integral
|first= Peter J.|last= Forrester|first2= S. Ole |last2=Warnaar
|journal= Bull. Amer. Math. Soc. |volume=45 |year=2008|pages= 489–534|doi=10.1090/S0273-0979-08-01221-4|issue=4  }}
*{{Citation | last1=Macdonald | first1=I. G. | title=Some conjectures for root systems | doi=10.1137/0513070 | mr=674768 | year=1982 | journal=SIAM Journal on Mathematical Analysis | issn=0036-1410 | volume=13 | issue=6 | pages=988–1007}}
*{{Citation | last1=Mehta | first1=Madan Lal | title=Random matrices | publisher=Elsevier/Academic Press, Amsterdam | edition=3rd | series=Pure and Applied Mathematics (Amsterdam) | isbn=978-0-12-088409-4 | mr=2129906 | year=2004 | volume=142}}
*{{Citation | last1=Mehta | first1=Madan Lal | last2=Dyson | first2=Freeman J. | title=Statistical theory of the energy levels of complex systems. V | doi=10.1063/1.1704009 | mr=0151232 | year=1963 | journal=[[Journal of Mathematical Physics]] | issn=0022-2488 | volume=4 | pages=713–719 | issue=5}}
*{{citation|last=Opdam|first=E.M.|year=1989|title=Some applications of hypergeometric shift operators|issue=1|journal=Invent. Math.|volume=98|doi=10.1007/BF01388841|mr=1010152|pages=275&ndash;282}}
*{{citation|last=Opdam|first=E.M.|year=1993|title=Dunkl operators, Bessel functions and the discriminant of a finite Coxeter group|journal=Compositio Mathematica |volume=85|issue=3|pages=333&ndash;373|zbl=0778.33009|mr=1214452|url= http://www.numdam.org/item?id=CM_1993__85_3_333_0}}
*{{Citation | last1=Selberg | first1=Atle | title=Remarks on a multiple integral | mr=0018287 | year=1944 | journal=Norsk Mat. Tidsskr. | volume=26 | pages=71–78}}

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