セール双対性のソースを表示

[[代数幾何学]]という[[数学]]の分野において、'''セール双対'''（セールそうつい、Serre duality）は、[[ジャン＝ピエール・セール]]によって証明された、[[代数多様体]]の[[連接層]]の[[層係数コホモロジー|コホモロジー]]についての[[双対性 (数学)|双対性]]である。基本的な主張は[[非特異]][[射影多様体]]上の[[ベクトル束]]に関するものだが、[[アレクサンドル・グロタンディーク]]による（例えば[[代数多様体の特異点|特異点]]を持つ多様体にも適用できる）広範な一般化も存在する。定理の主張は、{{mvar|n}} 次元多様体においてコホモロジー群 {{math|''H''<sup>''i''</sup>}} が別の群 {{math|''H''<sup>''n''&minus;''i''</sup>}} の[[双対空間]]であるというものである。セール双対は、位相幾何学における[[ポアンカレ双対]]の、連接層のコホモロジーでの類似でもある。

また、セール双対は射影多様体とは限らない[[コンパクト空間|コンパクト]][[複素多様体]]についても成り立つ。[[複素幾何学]]の設定では、セール双対は[[ホッジ理論]]の[[ドルボーコホモロジー]]への応用の結果、あるいは[[楕円型作用素]]の理論の結果とみなせる。

以上の（代数幾何学・複素幾何学における）2つの解釈は、非特異な複素射影多様体については一致する。これは層係数コホモロジーとドルボーコホモロジーを結びつける[[ドルボーコホモロジー|ドルボーの定理]]の帰結である。
==ベクトル束のセール双対==
===代数的なバージョン===
<math>X</math>を体<math>k</math>上の<math>n</math>次元非特異多様体とする。<math>X</math>の[[標準束]]<math>K_X</math>を、<math>X</math>上の<math>n</math>形式のなす[[直線束]]、すなわち[[余接束]]の最高次外冪
:<math>K_X=\Omega^n_X={\bigwedge}^n(T^*X).</math>
と定義する。さらに、<math>X</math>が<math>k</math>上[[固有射|固有]]（例えば射影的ならばこの条件は満たされる）だと仮定する。このときセール双対の主張は以下である。
<math>X</math>上の代数的なベクトル束<math>E</math>と整数<math>i</math>について、有限次元ベクトル空間の自然な同型
:<math>H^i(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})^{\ast}</math>
が存在する。
ここで<math>\otimes</math>はベクトル束の[[テンソル積]]である。とくに両辺の次元を比較すると、等式
:<math>h^i(X,E)=h^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})</math>
が成り立つ。
ポアンカレ双対のときと同様に、セール双対の主張する同型も層係数コホモロジーの[[カップ積]]に由来する。すなわち、カップ積と<math>H^n(X,K_X)</math>上の自然なトレース写像を合成したもの
:<math>H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})\to H^n(X,K_X)\to k</math>
が{{仮リンク|完全ペアリング|en|Bilinear form}}になる。トレース写像は、[[ドラームコホモロジー]]の積分（<math>n</math>形式を<math>X</math>全体で積分するという写像）の層係数コホモロジーにおける類似である。

===微分幾何的なバージョン===
==代数曲線==
[[代数曲線]]の場合は既に[[リーマン・ロッホの定理]]に含まれている．曲線 {{mvar|C}} に対して coherent 群 {{math|''H''<sup>''i''</sup>}} は {{math|''i'' > 1}} に対して消える；しかし {{math|''H''<sup>1</sup>}} は一般には非自明である．実際，定理の基本関係式は {{math|''l''(''D'')}} と {{math|''l''(''K'' &minus; ''D'')}} に関わり，ここで {{mvar|D}} は[[因子 (代数幾何学)|因子]]であり {{mvar|K}} は[[標準類]]の因子である．[[Jean-Pierre Serre|セール]]以降我々は {{math|''l''(''K'' &minus; ''D'')}} を {{math|''H''<sup>1</sup>(''D'')}} の次元と認識している，ただし今 {{mvar|D}} は因子 {{mvar|D}} によって決定される[[直線束]]を意味する．つまり，この場合のセール双対性は群 {{math|''H''<sup>1</sup>(''D'')}} と {{math|''H''<sup>0</sup>(''KD''{{sup|*}})}} を関係づけ，次元の関係が分かる（表記：{{mvar|K}} は標準直線束，{{math|''D''*}} は双対直線束，並置は直線束の[[テンソル積]]）．

この定式化において，リーマン・ロッホの定理は{{仮リンク|層のオイラー標数|en|Euler characteristic of a sheaf}}
:''h''<sup>0</sup>(''D'') &minus; ''h''<sup>1</sup>(''D''), 
を曲線の[[種数]]
:''h''<sup>1</sup>(''C'',''O''<sub>''C''</sub>),
と {{mvar|D}} の次数のことばで計算したものと見ることができる．高次元に一般化できるのはこの形である．

したがって曲線のセール双対性は非常に古典的なものではあるが，興味深い観点を持っている．例えば，[[リーマン面]]の理論において，複素構造の{{仮リンク|変形理論|en|deformation theory}}は古典的に {{仮リンク|quadratic differential|en|quadratic differential}}（すなわち {{math|''L''(''K''<sup>2</sup>)}} の切断）を用いて研究される．[[小平邦彦]]と {{仮リンク|D. C. Spencer|en|D. C. Spencer}} の変形理論は {{math|''H''<sup>1</sup>(''T'')}} を通した変形を同一視する，ここで {{mvar|T}} は[[接束]]層 {{math|''K''*}} である．双対性はなぜこれらのアプローチが一致するかを示す．

==起源と一般化==
理論の起源は[[多変数複素関数]]論に関するセールの先の研究にある．[[アレクサンドル・グロタンディーク]]の一般化において，セール双対性ははるかに広い設定における {{仮リンク|coherent 双対性|en|coherent duality}}の一部となる．{{mvar|V}} が多様体のとき上の {{mvar|K}} の役割は一般のセール双対性では[[余接束]]の[[行列式束]]によってなされ，完全に一般には {{mvar|K}} は {{mvar|V}} の[[非特異]]性のなんらかの仮定なしでは'''ただ1つの'''層ではありえない．完全に一般的な定式化は[[導来圏]]と [[Ext 関手]]を使うことで，{{mvar|K}} が層の[[鎖複体]]，すなわち {{仮リンク|dualizing complex|en|dualizing complex}} によって表されることが可能となる．それにもかかわらず，定理の主張は recognisably セールのものである．

==参考文献==
{{参照方法|date=2017年8月|section=1}}
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977}}, see Ch. III.7
*{{SpringerEOM|title=Duality|urlname=Duality}}
* {{Citation | last1=Huybrechts | first1=Daniel | title=Complex geometry| publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin | year=2005 |author-link=Daniel Huybrechts}}, see p. 171.
* {{Citation | last1=Tate | first1=John | author1-link=John Tate | title=Residues of differentials on curves | url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1968_4_1_1/ASENS_1968_4_1_1_149_0/ASENS_1968_4_1_1_149_0.pdf | year=1968 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série | issn=0012-9593 | volume=1 | pages=149–159}} contains a proof for Serre duality for curves
*[https://rigtriv.wordpress.com/2008/05/29/serre-duality/ Serre duality] at the [[weblog]] [https://rigtriv.wordpress.com/ Rigorous trivialities] 
*[http://math.stackexchange.com/questions/2403/precise-connection-between-poincare-duality-and-serre-duality A link between Poincaré and Serre dualities via Hodge theory] on [[Stack exchange]]

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