ゼルニケ多項式のソースを表示

[[Image:Zernike polynomials2.png|360px|thumb|ゼルニケ多項式のうち、初めの21個を示す。]]

'''ゼルニケ多項式''' (ゼルニケたこうしき、{{lang-en|Zernike polynomials}}）とは、[[単位円]]上で定義された[[直交多項式]]である。

とくに光学において軸対称な光学収差を回折理論に基づいて解析的に取り扱う際に用いられる。<ref>
{{cite journal
 |last   = Zernike
 |first  = F.
 |year   = 1934
 |title  = Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode
 |journal= Physica
 |volume=1
 |number= 8
 |doi=10.1016/S0031-8914(34)80259-5
|bibcode=1934Phy.....1..689Z
 |pages  = 689–704
}}</ref><ref>
{{cite book
|author=[[Max Born|Born, Max]], and [[Emil Wolf|Wolf, Emil]]
|title=Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light
|year=1999
|publisher=Cambridge University Press
|location=Cambridge, UK
|isbn=9780521642224
|pages=986
|url=https://books.google.com/books/about/Principles_of_Optics.html?id=aoX0gYLuENoC
|edition=7th}}</ref>。

呼称は、[[位相差顕微鏡]]の発明によって1953年に[[ノーベル物理学賞]]を受賞した光物理学者[[フリッツ・ゼルニケ]]に由来する。

== 定義 ==
ゼルニケ多項式 <math>Z^{m}_n(\rho,\varphi)</math> は、

:<math>Z^{m}_n(\rho,\varphi) = 
\begin{cases}
R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) & m\ge 0\\
R^{|m|}_n(\rho)\,\sin(|m|\,\varphi) & m< 0
\end{cases}</math>

により定義される。ここで、 ''n'' は非負整数、 ''m'' は ''n'' ≧ |''m''| なる整数であり、 ''ρ'' は 動径 (0 ≦ ''ρ'' ≦ 1)、 ''φ'' は偏角である。ゼルニケ多項式は <math>|Z^{m}_n(\rho,\varphi)| \le 1</math> の範囲の値を取る。ここで、動径多項式 <math>R_n^m(\rho)</math> は、 ''n'' − ''m'' が偶数の場合、

:<math>R^m_n(\rho) = \sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}} \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\left (\tfrac{n+m}{2}-k \right )! \left (\tfrac{n-m}{2}-k \right)!} \;\rho^{n-2\,k}</math>

また奇数の場合0として定義される。

=== 他の定義 ===
動径多項式は、[[二項係数]]を用いて、

:<math>R_n^m(\rho)=\sum_{k=0}^{\tfrac{n-m}{2}}(-1)^k \binom{n-k}{k} \binom{n-2k}{\tfrac{n-m}{2}-k} \rho^{n-2k}</math>.

と書き表すことができ、これより多項式の係数はすべて整数であることが示される。

ガウスの[[超幾何関数]]を用いて表現することもできる。この表現は、漸化式や微分方程式の導出の他、本多項式がヤコビの多項式の一部であることを示すのに有用である。

:<math>\begin{align}
R_n^m(\rho) &= \binom{n}{\tfrac{n+m}{2}}\rho^n \ {}_2F_{1}\left(-\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};-n;\rho^{-2}\right) \\
&= (-1)^{\tfrac{n-m}{2}}\binom{\tfrac{n+m}{2}}{m}\rho^m \ {}_2F_{1}\left(1+\tfrac{n+m}{2},-\tfrac{n-m}{2};1+m;\rho^2\right)
\end{align}</math>

動径多項式 <math>R_n^m(\rho)</math> に含まれる項 <math>\rho^{n-2k}</math> は、[[バーンスタイン基底関数]]を用いて展開できる。 ''n'' が偶数の場合は <math>b_{s,n/2}(\rho^2)</math> 、奇数の場合は <math>b_{s,(n-1)/2}(\rho^2)</math> と <math>\rho</math> の積で展開される。ここで、 ''s'' は <math>\lfloor n/2\rfloor-k \le s \le \lfloor n/2\rfloor</math> の範囲をとる。これより、動径多項式は有限次のバーンスタイン関数として表される。

:<math>R_n^m(\rho) = \frac{1}{\binom{\lfloor n/2\rfloor}{\lfloor m/2\rfloor}} \rho^{n\mod 2} \sum_{s=\lfloor m/2\rfloor}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s} \binom{s}{\lfloor m/2\rfloor}\binom{(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil} b_{s,\lfloor n/2\rfloor}(\rho^2).</math>

=== Nollによる記法 ===
2つの指数 ''n'',''m'' を並べて、1つの指数　''j'' に統合する方法として、Noll<ref name=noll1976>{{cite journal
|first1=R. J.
|last1=Noll
|title=Zernike polynomials and atmospheric turbulence
|journal=J. Opt. Soc. Am.
|volume=66
|year=1976
|url=ftp://ftp.bioeng.auckland.ac.nz/pub/pub/jtur044/references/fitting/NOLL1976.pdf
|doi=10.1364/JOSA.66.000207
|page=207
|bibcode=1976JOSA...66..207N
|issue=3}}</ref>により提案されたのは、

:<math>
j = \frac{n(n+1)}{2}+|m|+\left\{\begin{array}{ll}
0, & m>0 \land n \in \{0,1\} \pmod 4;\\
0,  & m<0 \land n \in \{2,3\} \pmod 4;\\
1,  & m \ge 0 \land n \in \{2,3\} \pmod 4;\\
1, & m \le 0 \land n \in \{0,1\} \pmod 4.
\end{array}\right.
</math>

とするものである。初めの20項を下表に示す。

{|class="wikitable"
!n,m
{{!!}} 0,0{{!!}}1,1{{!!}} 1,−1 {{!!}} 2,0{{!!}} 2,−2 {{!!}} 2,2{{!!}}3,−1{{!!}} 3,1 {{!!}} 3,−3 {{!!}} 3,3 {{!!}}4,0 {{!!}}4,2 {{!!}}4,−2{{!!}}4,4{{!!}}4,−4{{!!}}5,1{{!!}}5,−1{{!!}}5,3 {{!!}}5,−3{{!!}}5,5
|-------
! j
{{!}} 1{{!!}}2{{!!}} 3 {{!!}} 4 {{!!}} 5 {{!!}} 6 {{!!}} 7 {{!!}}8 {{!!}} 9{{!!}} 10 {{!!}}11 {{!!}}12 {{!!}}13 {{!!}}14{{!!}}15{{!!}}16{{!!}} 17 {{!!}} 18 {{!!}}19 {{!!}}20
|}

=== OSA/ANSIによる記法 ===
[[OSA]]<ref name=thibos2002>{{cite journal
|first1=L. N.
|last1=Thibos
|first2=R. A.
|last2=Applegate
|first3=J. T.
|last3=Schwiegerling
|first4=R.
|last4=Webb
|title=Standards for reporting the optical aberrations of eyes
|journal=Journal of Refractive Surgery
|volume=18
|issue=5
|year=2002
|url=http://voi.opt.uh.edu/2000-JRS-standardsforrepotingtheopticalaberrationsofeyes.pdf
|page=S652–60}}</ref> / [[ANSI]]標準ゼルニケ多項式は、以下のように定義される。

:<math>j =\frac{n(n+2)+m}{2}</math>

初めの20項を下表に示す。

{|class="wikitable"
!n,m
{{!!}} 0,0{{!!}}1,-1{{!!}} 1,1 {{!!}} 2,-2{{!!}} 2,0 {{!!}} 2,2{{!!}}3,-3{{!!}} 3,-1 {{!!}} 3,1 {{!!}} 3,3 {{!!}}4,-4 {{!!}}4,-2 {{!!}}4,0{{!!}}4,2{{!!}}4,4{{!!}}5,-5{{!!}}5,-3{{!!}}5,-1 {{!!}}5,1{{!!}}5,3
|-------
! j
{{!}} 0 {{!!}} 1 {{!!}} 2 {{!!}} 3 {{!!}} 4 {{!!}} 5 {{!!}} 6 {{!!}} 7 {{!!}} 8 {{!!}} 9 {{!!}} 10 {{!!}} 11 {{!!}} 12 {{!!}} 13 {{!!}} 14 {{!!}} 15 {{!!}} 16 {{!!}} 17 {{!!}} 18 {{!!}} 19
|}

=== Fringeによる記法 ===
フリンジゼルニケ多項式は、以下のように定義される。

:<math>j = \left(1+\frac{n+|m|}{2}\right)^2-2|m|+\frac{1-\sgn m}{2} </math>

この定義は光学設計ソフトウェアや光学検査で多く用いられる<ref>Loomis, J., "A Computer Program for Analysis of Interferometric Data," Optical Interferograms, Reduction and Interpretation, ASTM STP 666, A. H. Guenther and D. H. Liebenberg, Eds., American Society for Testing and Materials, 1978, pp. 71-86.</ref><ref>{{cite conference|conference=Proc SPIE |volume=4771|pages=276-286|year=2002|doi=10.1117/12.482169|title=Orthogonality of Zernike polynomials | first1=V. L. |last1=Genberg |first2=G. J. |last2=Michels|first3=K. B. |last3=Doyle|book-title=Optomechanical design and Engineering 2002}}</ref>。初めの20項を下表に示す。

{|class="wikitable"
!n,m
{{!!}} 0,0{{!!}}1,1{{!!}} 1,−1 {{!!}} 2,0{{!!}} 2,2 {{!!}} 2,-2{{!!}}3,1{{!!}} 3,-1 {{!!}} 4,0 {{!!}} 3,3 {{!!}}3,-3 {{!!}}4,2 {{!!}}4,−2{{!!}}5,1{{!!}}5,−1{{!!}}6,0{{!!}}4,4{{!!}}4,-4 {{!!}}5,3{{!!}}5,-3
|-------
! j
{{!}} 1{{!!}}2{{!!}} 3 {{!!}} 4 {{!!}} 5 {{!!}} 6 {{!!}} 7 {{!!}}8 {{!!}} 9{{!!}} 10 {{!!}}11 {{!!}}12 {{!!}}13 {{!!}}14{{!!}}15{{!!}}16{{!!}} 17 {{!!}} 18 {{!!}}19 {{!!}}20
|}

== 性質 ==
=== 直交性 ===
動径部分は以下の直交関係を満たす<ref>{{cite article|first1=V. | last1=Lakshminarayanan|first2=Andre |last2=Fleck|doi=10.1080/09500340.2011.554896|journal=J. Mod. Opt.|year=2011|bibcode=2011JMOp...58..545L|volume=58|issue=7|pages=545–561|title=Zernike polynomials: a guide}}</ref>。

:<math>\int_0^1 \rho \sqrt{2n+2}R_n^m(\rho)\,\sqrt{2n'+2}R_{n'}^{m}(\rho)\,d\rho = \delta_{n,n'}</math>

偏角部分については、初等的な計算により、

:<math>\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\cos(m'\varphi)\,d\varphi=\epsilon_m\pi\delta_{|m|,|m'|},</math>
:<math>\int_0^{2\pi} \sin(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=(-1)^{m+m'}\pi\delta_{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,</math>
:<math>\int_0^{2\pi} \cos(m\varphi)\sin(m'\varphi)\,d\varphi=0</math>

ここで <math>\epsilon_m</math> は <math>m=0</math> のとき2、<math>m\neq0</math> のとき1と定義される。これらより、単位円状でのゼルニケ多項式の直交性

:<math>\int Z_n^m(\rho,\varphi)Z_{n'}^{m'}(\rho,\varphi) \, d^2r =\frac{\epsilon_m\pi}{2n+2}\delta_{n,n'}\delta_{m,m'}</math>

が導かれる。ここで <math>d^2r=\rho\,d\rho\,d\varphi</math> であり <math>n-m</math> と <math>n'-m'</math> はいずれも偶数と仮定している。

=== 対称性 ===

x軸に関する軸対称性より、

:<math>Z_n^{m}(\rho,\varphi)=(-1)^m Z_n^{m}(\rho,-\varphi)</math>

原点に関する点対称性より、

:<math>Z_n^m(\rho,\varphi) = (-1)^m Z_n^m(\rho,\varphi+\pi)</math>

ここで、 <math>n-m</math> は偶数であると仮定しているので、 <math>(-1)^m</math> は <math>(-1)^n</math> と書き換えることができる。動径多項式は、n,mに応じて偶関数または奇関数である。

:<math>R_n^m(\rho)=(-1)^n R_n^m(-\rho)=(-1)^m R_n^m(-\rho)</math>

三角関数の周期性より、原点を中心とした ''m'' 回回転対称性が生じる。

:<math>Z_n^m \left (\rho, \varphi+ \tfrac{2\pi k}{m} \right )=Z_n^m(\rho,\varphi),\qquad k= 0, \pm 1,\pm 2,\dots</math>

=== 漸化式 ===
動径多項式は、以下の漸化式を満たす<ref name="barmak">Honarvar Shakibaei Asli, Barmak; Raveendran, Paramesran (July 2013). "Recursive formula to compute Zernike radial polynomials" Opt. Lett. (OSA) 38 (14): 2487–2489. {{DOI|10.1364/OL.38.002487}}</ref>。

:<math>\begin{align}
R_n^m(\rho)+R_{n-2}^m(\rho)=\rho\left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho)+R_{n-1}^{m+1}(\rho)\right] \text{ .}
\end{align}</math>

動径多項式の定義より、<math>R_m^m(\rho) = \rho^m, \quad R_{m+2}^m(\rho) = ((m+2)\rho^2 - (m+1))\rho^m</math> である。これと、以下の三項間漸化式<ref name="kintner1976">
{{cite journal
|first1=E. C.
|last1=Kintner
|doi=10.1080/713819334
|title=On the mathematical properties of the Zernike Polynomials
|journal=Opt. Acta
|volume=23
|year=1976
|pages=679–680
|bibcode=1976AcOpt..23..679K
|issue=8
}}</ref>
により、すべての <math>R_n^m(\rho)</math> を計算することができる。

:<math>
R_n^m(\rho) = \frac{2(n-1)(2n(n-2)\rho^2-m^2-n(n-2))R_{n-2}^m(\rho) - n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^m(\rho)}{(n+m)(n-m)(n-2)} \text{ .}
</math>

この式より、動径多項式の導関数を、2つの動径多項式から計算することができる。

:<math>
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\! \rho} R_n^m(\rho) = \frac{(2 n m (\rho^2 - 1) + (n-m)(m + n(2\rho^2 - 1))) R_n^m(\rho) - (n+m)(n-m) R_{n-2}^m(\rho)}{2 n \rho (\rho^2 - 1)} \text{ .}
</math>

== 例 ==
=== 動径多項式 ===
動径多項式は以下のような式となる。

:<math> R^0_0(\rho) = 1 \,</math>

:<math> R^1_1(\rho) = \rho \,</math>

:<math> R^0_2(\rho) = 2\rho^2 - 1 \,</math>

:<math> R^2_2(\rho) = \rho^2 \,</math>

:<math> R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho \, </math>

:<math> R^3_3(\rho) = \rho^3 \,</math>

:<math> R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1 \,</math>

:<math> R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2 \,</math>

:<math> R^4_4(\rho) = \rho^4 \,</math>

:<math> R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho \,</math>

:<math> R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3 \,</math>

:<math> R^5_5(\rho) = \rho^5 \,</math>

:<math> R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 - 1 \,</math>

:<math> R^2_6(\rho) = 15\rho^6 - 20\rho^4 + 6\rho^2 \,</math>

:<math> R^4_6(\rho) = 6\rho^6 - 5\rho^4 \,</math>

:<math> R^6_6(\rho) = \rho^6 \,</math>

=== ゼルニケ多項式 ===
ゼルニケ多項式は以下のような式となる。なお、各式は

:<math>\int_0^{2\pi} \int_0^1 Z_j^2\,\rho\,d\rho\,d\theta = \pi</math>

を満たすよう規格化されている。

{| class="wikitable sortable"
|-
! &nbsp; || OSA/ANSI<br/>指数<br>(<math>j</math>) || Noll<br/>指数<br> (<math>j</math>) 
!Fringe<br />指数<br> (<math>j</math>)!! 動径<br/>次数<br>(<math>n</math>) !! 偏角<br/>次数<br>(<math>m</math>) !! <math>Z_j</math> !! 名称
|-
| <math>Z_0^0</math> || {{0}}0 || {{0}}1 
|1|| 0 || {{0}}0 || <math>1</math> || Piston
|-
| <math>Z_1^{-1}</math> || {{0}}1 || {{0}}3 
|3|| 1 || −1 || <math>2 \rho \sin \theta</math> ||  Tilt (Y-Tilt, Vertical tilt)
|-
| <math>Z_1^1</math> || {{0}}2 || {{0}}2 
|2|| 1 || +1 || <math>2 \rho \cos \theta</math> ||  Tip (X-Tilt, Horizontal tilt)
|-
| <math>Z_2^{-2}</math> || {{0}}3 || {{0}}5 
|6|| 2 || −2 || <math>\sqrt{6} \rho^2 \sin 2 \theta</math> || Oblique [[非点収差|astigmatism]]
|-
| <math>Z_2^0</math> || {{0}}4 || {{0}}4 
|4|| 2 || {{0}}0 || <math>\sqrt{3} (2 \rho^2 - 1)</math> || Defocus
|-
| <math>Z_2^2</math> || {{0}}5 || {{0}}6 
|5|| 2 || +2 || <math>\sqrt{6} \rho^2 \cos 2 \theta</math> || Vertical astigmatism
|-
| <math>Z_3^{-3}</math> || {{0}}6 || {{0}}9 {{!!}}11 || 3 || −3 || <math>\sqrt{8} \rho^3 \sin 3 \theta</math> || Vertical trefoil
|-
| <math>Z_3^{-1}</math> || {{0}}7 || {{0}}7 {{!!}}8 || 3 || −1 || <math>\sqrt{8} (3 \rho^3 - 2\rho) \sin \theta</math> || Vertical [[コマ収差|coma]]
|-
| <math>Z_3^1</math> || {{0}}8 || {{0}}8 {{!!}} 7 || 3 || +1 || <math>\sqrt{8} (3 \rho^3 - 2\rho) \cos \theta</math> || Horizontal coma
|-
| <math>Z_3^3</math> || {{0}}9 || 10 {{!!}} 10 || 3 || +3 || <math>\sqrt{8} \rho^3 \cos 3 \theta</math> || Oblique trefoil
|-
| <math>Z_4^{-4}</math> || 10 || 15 
|18|| 4 || −4 || <math>\sqrt{10} \rho^4 \sin 4 \theta</math> || Oblique quadrafoil
|-
| <math>Z_4^{-2}</math> || 11 || 13 {{!!}}13 || 4 || −2 || <math>\sqrt{10} (4 \rho^4 - 3\rho^2) \sin 2 \theta</math> || Oblique secondary astigmatism
|-
| <math>Z_4^0</math> || 12 || 11 {{!!}} 9|| 4 || {{0}}0 || <math>\sqrt{5} (6 \rho^4 - 6 \rho^2 +1)</math> || Primary [[球面収差|spherical]]
|-
| <math>Z_4^2</math> || 13 || 12 {{!!}}12 || 4 || +2 || <math>\sqrt{10} (4 \rho^4 - 3\rho^2) \cos 2 \theta</math> || Vertical secondary astigmatism
|-
| <math>Z_4^4</math> || 14 || 14 
|17|| 4 || +4 || <math>\sqrt{10} \rho^4 \cos 4 \theta</math> || Vertical quadrafoil

|}

== 出典 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:せるにけたこうしき}}
[[Category:直交多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:光学]]
[[Category:波面センサ]]